Demetres έγραψε: Σάβ Αύγ 24, 2019 5:24 pm Από όλα αυτά που έγραψες, εκείνο που βοηθά είναι το εξής:

Αφού τότε υπάρχει ρητός ώστε

Σκέψου τώρα τι επιπλέον θέλεις για το .

ή κάτι άλλο;

Καλησπέρα.
Έστω $a,b,c \in \mathbb{R}$ με $a+b<c.$ Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο ρητοί $p,q$ ώστε $a<p,b<q$ και $p+q<c.$

Σκέφτομαι ότι $p+q$ είναι ρητός, $a+b\in \mathbb{R}$, από πυκνότητα ρητών $a+b<p+q<c$.
Για τα $a<p,b<q$ ποιά είναι η ιδέα; $a<c-b$, άρα υπάρχει ρητός $p: a<p<c-b$; (Όμοια για $b<q ...

Είχα μπερδευτεί λίγο με τις διάφορες παρεμβάσεις. Σας ευχαριστώ!

Έχεις κάνει λάθος στην υπόθεση.Είναι $x<y+\epsilon$ για κάθε $\epsilon>0$ και όχι $y+\epsilon \leq x$ για κάθε $\epsilon>0$.
Δοκίμασε να πάρεις ένα μικρότερο $\epsilon$.Μπορείς να πάρεις όποιο $\epsilon$ θέλεις αρκεί να είναι θετικό.
Κάνε το σχήμα της πραγματικής ευθείας και τότε θα δεις ποιο ...

Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$

Θεώρησα ότι $x>y$, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω ...

Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$

Θεώρησα ότι $x>y$, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος ...

Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$

Θεώρησα ότι $x>y$, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;

Βλέπω το δέντρο και χάνω το δάσος. Σας ευχαριστώ πάρα πολύ!

Είναι ασαφής διατύπωση. Φυσικά εννοώ ότι τελικό συμπέρασμα, επειδή η $g:1-1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}.$


Τότε δυστυχώς η απόδειξη που γράφεις είναι εσφαλμένη, και δεν πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα.

Κάνω άλλη μια προσπάθεια γιατί δεν φαίνεται να έγινε κατανοητό τι εννοούσα στο προηγούμενο ...

Με συγχωρείτε, στο $\left ( ii \right )$ δεν έχω καταλάβει ο ίδιος την ολοκλήρωση της απόδειξης. Καλούμε να αποδείξω ύπαρξη τυχαίου στοιχείου $y$ στο $B$, έτσι ώστε $g\left ( y \right )=z$. Το συμπέρασμα ποιό είναι; Ότι από $g\left ( f\left ( x \right ) \right )=z=g\left ( y \right )\Rightarrow f ...

... Η ερώτηση που πρέπει να κάνεις στον εαυτό σου είναι "γιατί δεν είσαι σίγουρος;".


Θα συμφωνήσω με τον Κώστα (stranger) διότι η άσκηση είναι τόσο, μα τόσο, απλή που αν είσαι φοιτητής του Μαθηματικού πρέπει να επιληφθείς του θέματος. Το κέντρο των Μαθηματικών είναι αλλού. Η παραπάνω άσκηση ...

Καλησπέρα,

Έστω $f:A\rightarrow B$ και $g:B\rightarrow C$ δύο συναρτήσεις.
$\left ( i \right )$ Αν η συνάρτηση $g\circ f$ είναι $1-1$ να δειχθεί ότι η $f$ είναι $1-1$.
$\left ( ii \right )$ Αν η συνάρτηση $g\circ f$ είναι επί να δειχθεί ότι η $g$ είναι επί.

Απ.:
$\left ( i \right ) x_{1}, x_{2}\in ...

Σας ευχαριστώ για τα σχόλιά σας. Τον τελευταίο καιρό προετοιμάζομαι για να δώσω ένα μάθημα της σχολής μου, που περιλαμβάνει βασική θεωρία μαθηματικών και κάνω ότι μπορώ για να ξεκαθαρίσω όσα περισσότερα γίνεται. Φυσικά προκύπτουν και απορίες, από τις οποίες επιλεκτικά κάποιες δημοσιεύω εδώ, καθώς ...

Έστω $f:X\rightarrow Y$ μια συνάρτηση και $B\subseteq Y.$ Να δείξετε ότι $f^{-1}\left ( Y-B \right )=X-f^{-1}\left ( B \right ).$

Απ.:
Έστω $x\in f^{-1}\left ( Y-B \right )\Leftrightarrow f\left ( x \right )\in Y-B\Leftrightarrow f\left ( x \right )\in Y\wedge f\left ( x \right )\notin B ...

Σας ευχαριστώ.

Μια σχέση $\sigma :E\rightarrow E$ λέγεται αντισυμμετρική αν ισχύει: $\left ( \forall x,y \in E \right ):x\sigma y \wedge y\sigma x\Rightarrow x=y.$
Αλλιώς, είναι αντισυμμετρική αν και μόνο αν για τυχόντα $x,y$ έχουμε: $\left ( x,y \right )\in \sigma \wedge x\neq y\Rightarrow \left ( y,x \right ...

Για τυχόντα στοιχεία $x,y \in A$ και, επειδή οι $\leq _{1}, \leq _{2}$ είναι αντισυμμετρικές, έχουμε: $x\leq y\Rightarrow x\leq _{1}y \wedge x\leq _{2}y\Rightarrow \sim \left ( y\nleqslant _{1}x\vee y\nleqslant _{2}x \right )\Rightarrow y\nleqslant _{1}x\wedge y\nleqslant _{2}x\Rightarrow y ...

Φαντάζομαι εννοείς σχέση μερικής διάταξης (partial order).

Μπορείς να μας πεις τι έχεις κάνει μέχρι στιγμής και που δυσκολεύεσαι;


Εφόσον δεν διευκρινίζεται εάν είναι μερικής διάταξης, το παίρνω ως δεδομένο (μου δημιουργήθηκε όμως η απορία τι θα άλλαζε αν ζητούσε ολικής).

Για τυχόν $x \in A ...

Έστω ένα σύνολο και δύο σχέσεις διάταξης στο . Ορίζουμε μια νέα σχέση στο ως εξής:

και

Να δείξετε ότι η είναι επίσης σχέση διάταξης στο .

Ευχαριστώ πάρα πολύ για την ενασχόληση.