Τα τρίγωνα που δημιουργούνται από την κόρυφη μέχρι την βάση έχουν βάσεις λόγω ομοιότητας.

Έτσι, , και εύκολα .

Ότι πρέπει.png
Καλημέρα.

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB>BC$ και σημείο $D$ στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε
$\angle ABD=\angle DBC=\alpha , \angle BAD=\beta$ και $\angle ACD=90^{0}-\alpha -\beta$.
Δείξτε ότι το $D$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$.

Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια στην ωραία ...

Να δείξετε ότι η εξίσωση $\sqrt {{x^2} + 3x + 4} - \sqrt {2{x^2} - x + 9} = \sqrt {{x^2} + x + 1}$ είναι αδύνατη στο $R$

Έστω ότι έχει λύσεις στο $\mathbb{R}$.

Αφού $\sqrt{x^2+x+1}>0$ ($D<0$...), πρέπει $\sqrt {{x^2} + 3x + 4} - \sqrt {2{x^2} - x + 9}>0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 4 ...

Πορεία προς τη Μίλητο.png Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο $ABCD$ , η διαγώνιος $AC$ διέρχεται

από το μέσο $M$ της $BD$ . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\widehat{BAD} ,\widehat{BCD}$

τέμνουν τη $BD$ στα σημεία $E,Z$ . Δείξτε ότι : $ME=MZ$

Θέλουμε $ME=MZ$, και αφού $BM=MD$, αρκεί $BE=ZD$.

Έστω $AB=x ...

katheto tmima.png

Προεκτείνουμε την $SD$, που τέμνει την $AB$ στο $M$. Έστω ακόμη $KL \perp PO$.

Προφανώς $\widehat{PSQ}=\widehat{PTQ}=90^0$.

Ισχύει $\widehat{PSD}=\widehat{SQP}=90^0-\widehat{KQB}=90^0-\widehat{QBK}=\widehat{SAB}$, άρα όλες οι γωνίες σημειωμένες μπλε και
πράσινο στο σχήμα ...

Θεωρούμε κύκλο $(O,R)$, $AB$ μία διάμετρό του και τυχόν σημείο $C$ της $OB$ με $OC<R$.

Ο κύκλος $(C,CO)$ τέμνει τον κύκλο $(O,R)$ στα $D,E$. Αν η ευθεία $CD$ τέμνει τον $(O,R)$ στο $Z$, να δείξετε ότι $\widehat{AOZ}=3\widehat{DOB}$.

GONIES.png

Υ.Γ. Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που θα δώσουν ...

Ας σοβαρευτούμε.png Επέκταση : Γράφω τόξο κέντρου $B$ και ακτίνας $BP=BS$ . Φέρω το κάθετο τμήμα $PD$ .

Δείξτε ότι για κάθε σημείο $T$ , αυτού του τόξου ( άρα και για το $P$ ) , είναι $\widehat{ATS}=\widehat{STD}$ .

Αφού $PD$ ύψος στο ορθογώνιο $PAB$, πρέπει $BP^2=BD \cdot BA \Leftrightarrow BT ...

Οι ευθείες τέμνονται κάθετα στο .
Είναι .

Να δείξετε ότι .

Ο δαιμόνιος μαθηματικός.png Βάζω ένα απλό θέμα και έχω την περιέργεια να δω πόσους τρόπους θα επινοήσει

ο δαιμόνιος μαθηματικός , ώστε να δώσει διαφορετική λύση από τους άλλους .

Στο σχήμα βλέπετε ένα ημικύκλιο και το μοναδικό ζητούμενο είναι η $\epsilon \phi\theta$ ...

Φέρνουμε $SK \perp AB ...

Γ) Αν $r=2k+1$, τότε $A=r^4+6r^2-7=16k(k+1)(k(k+1)+2)$. Έστω $k(k+1)=2l$.

$A=32l(2l+2) =64l(l+1)=64 \cdot 2m=128m$, και το ζητούμενο έπεται.

Καλησπέρα. Πιστεύω ότι η μετάβαση $A=r^4+6r^2-7=16k(k+1)(k(k+1)+2)$ χρειάζεται παραπάνω ανάλυση.



Πολύ σωστά, χρειάζεται περαιτέρω εξήγηση.

Είναι

$A ...

Βρείτε τους πρώτους $a,b,c$ ώστε $\displaystyle{ 2a - b + 7c = 1826 }$ και $\displaystyle{ 3a + 5b + 7c = 2007 .}$

Έστω $2a-b+7c=1826 \,\, (1), 3a+5b+7c=2007 \,\, (2)$.

Πολλαπλασιάζοντας την $(1)$ επί $5$ παίρνουμε $10a-5b+35c=9130$ και προσθέτοντας αυτή με την $(2)$ έχουμε $13a+42c=11137=7 ...

Δύο προς τρία.png Πάνω στη μεσοκάθετο τμήματος $AB$ , εντοπίστε σημείο $S$ , ώστε αν η κάθετη $BP$

από το $B$ προς την ευθεία $AS$ , την τμήσει σε σημείο $Q$ , να είναι : $\dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{3}{2}$

Έστω $QP=3x, PB=2x,QA=5x$.

Από Π.Θ. , $AP=4x$. Από το ορθογώνιο $PAB$, $AB=2x\sqrt{5}, AM=x ...

Οι επαφές βοηθάνε.png Σημείο $P$ κινείται στο ανατολικό τεταρτοκύκλιο , ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2R$ , του οποίου

το μέσο ( βόρειος πόλος ) είναι το $N$ . Η εφαπτόμενη στο $P$ τέμνει την προέκταση της $AB$ στο $S$ ,

ενώ η $PA$ τέμνει την ακτίνα $ON$ στο $T$ . α) Δείξτε ότι : $\dfrac{SB}{SP}=tan ...

KATHETES.png

Ευθύ: Έστω $AC \perp BD$, και θα αποδείξουμε ότι $KLMN$ εγγράψιμο.

Οι γωνίες σημειωμένες με $x,y,\varphi,\omega$ είναι ίσες από τα εγγράψιμα.

Όμως, $x+\omega=90^0, \varphi+y=90^0 \Leftrightarrow (x+y)+(\varphi+\omega)=180^0 \Leftrightarrow \widehat{KLM}+\widehat{MNK}=180^0$, και το ...

Διακρίσεις.png Μοιράστε οικόπεδο $\displaystyle ABC$ , σχήματος ισοσκελούς τριγώνου , με κάθετο προς τη βάση ,

τμήμα $SP$ , έτσι ώστε το μπλε τμήμα να είναι διπλάσιο από το ροζ .

Φέρνουμε το ύψος $AM$, και έστω $(APSB)=2(PSC)=2E$. Τότε, $(MAC)=\dfrac{(ABC)}{2}=\dfrac{3E}{2}$.

Τα τρίγωνα $MAC ...

Α) Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί n για τους οποίους ο αριθμός 2n + 1 διαιρεί τον αριθμό $n^2 + n - 2$.
Β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε το άθροισμα δύο οποιονδήποτε από αυτούς να είναι δύναμη του 5.
Γ) Αν ο r είναι περιττός ακέραιος να αποδειχθεί ...

Τμηματικά προβλήματα.png Χορδή κύκλου $(O,R)$ , η οποία έχει ως άκρα , το νότιο πόλο $S$ και σημείο $P$ του βορείου ημικυκλίου ,

τέμνει την οριζόντια ακτίνα $OA$ , στο σημείο $T$ , ώστε : $OT=t$ . Η κάθετη της χορδής στο $P$

και η εφαπτομένη του κύκλου στο ίδιο σημείο , τέμνουν την προέκταση της ...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $\hat{B} = 120^o$ και $BD \perp BA$ όπου $D$ σημείο της πλευράς $AC$.

Αν $AB = DC = 1$ , να υπολογίσετε το τμήμα $AD$.

Αν $\widehat{BAC}=\varphi$, τότε $\widehat{DCB}=60-\varphi$. Έστω ακόμη $AD=x, BD=y$

Με νόμο ημιτόνων στο $BAC$, $\sin(60-\varphi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2x ...

tmimata.png


Φέρνω κάθετο στην $AC$ στο $C$, που τέμνει την μεσοκάθετο της $BC$ στο $O$.

Φέρνω τον κύκλο με κέντρο το $O$ και ακτίνα την $OB$, που προφανώς εφάπτεται στις $AB,AC$ (αφού $AB=AC$).

Παίρνω τυχαίο σημείο $T$ του κύκλου και φέρνω την εφαπτόμενή του στο $T$, που τέμνει τις $AB,\,AC ...

Ημικύκλιο σε ορθογώνιο.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AB=12 , AC=5$ . Εντοπίστε σημείο $D$ της $AB$ ,

ώστε αν το ημικύκλιο διαμέτρου $AD$ τέμνει την υποτείνουσα στα $S , P$ , να είναι $CS=BP$ .

Θα μπορούσατε να κάνετε το ίδιο , αν ήταν $AB=8 , AC=6$ ; Ποια σχέση πρέπει να ...