mathematica.gr

Άσκηση 20η Στο παιχνίδι της εικόνας μπορούμε να μετακινούμε την κενή θέση σύροντας κατάλληλα ένα γειτονικό της κομμάτι ώστε να καταλάβει τη θέση αυτή. Είναι δυνατό μετά από κάποιες κινήσεις η κενή θέση να βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά να έχει γίνει αντιμετάθεση του $14$ με το $15$; 14-15-puzzle.pn...

Θέμα Β. Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrrow \mathbb{R}$ με $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$, η οποία είναι και $1-1$, ώστε: $\displaystyle{\displaystyle f(x) - x \leq 0 , \forall x \in \mathbb{R}}$ i. Να υπολογιστούν τα όρια: $\lim_{x \to - \infty} f(x)$ και $\lim_{x \to + \infty} f^{-1}(x)$...

Α)Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε $s>TP>OP=8$ ,αφού το TP είναι η υποτείνουσα του $OTP$. Β) Έστω $(x_s,y_s)$ οι συντεταγμένες του $S$ τότε επειδή το $S$ ανήκει στον κύκλο $O: x^2 +y^2=16$ θα ισχύει $x_s ^2+y_s ^2 =16$ όμως $s= TS + SP = x_s + \sqrt{y_s^2 + (8-x_s)^2}= x_s+ \sqrt{16-16x_s+64}$ και...

Σωστό. Έστω $\lim_{x \to x_0}f(x)=c$ Έστω συνάρτηση $g(x)=f(x)-f(x_0)$ Τότε έχουμε $\lim_{x \to x_0}g(x)=c-f(x_0)$ Όμως για κάθε $x>x_0$ έχουμε λόγω της μονοτονίας της $f$ $f(x)<f(x_0) \Leftrightarrow g(x)<0 \Rightarrow \lim_{x \to x_0^{+}}g(x) \le 0 $ και για κάθε $x<x_0$ έχουμε λόγω της μονοτονίας...

Θέτουμε $g(x)=f(x)-x$ και οι σχέσεις ξαναγράφονται : $g(x+8)\le g(x)$ (1) $g(x+11)\ge g(x)$. (2) Από τα παραπάνω παίρνουμε $g(x+3)\ge g(x)$ (3). Από την (1) έχουμε $g(x)\ge g(x+8) \ge g(x+16) \ge g(x+24)$ Από την (3) έχουμε $g(x)\le g(x+3)\le \dots \le g(x+24)$ Άρα $g(x)=g(x+24)$ και άρα $g(x)=g(x+3...

Αν $n=0$ παίρνουμε $m=1,p=2$ Αν $n=1$ παίρνουμε $m=1,p=3$ Αν $n>1$ τότε ${{2n}\choose{n}}= 2{{2n-1}\choose{n-1}}$ και $2|n!$ Άρα $2|p \Rightarrow p=2$. Έστω $u_2(a)$ ο εκθέτης του 2 στην παραγοντοποίση σε πρώτους παράγοντες του $a$. Έστω $u_2({{2n}\choose{n}})=m'$ τότε $u_2(n!)=m'$ αν δεν ισχύει το ...

Διαγώνισμα 10 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors Πρόβλημα 1 Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $f:\mathbb{R^{+}}\rightarrow\mathbb{R^{+}}$ και οι μη σταθερές συναρτήσεις $g:\mathbb{R^{+}}\rightarrow\mathbb{R^{+}}$ που ικανοποιούν την σχέχη: $f(x+y+g(y))+g(y+f(z))=g(z+f(y))+g(y)+f(x+(y+1)g(y))}$ για κάθε θετικ...

Διαγώνισμα 3 Πρόβλημα 4 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ οι οποίες ικανοποιούν την συναρτησιακή σχέση: $f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x)$ Για $x=y=0$ έχουμε $f(f(0))=0$ Για $x=y=f(0)$ παίρνουμε $f(f(0)f(f(0)))=f(0)^2+f(0) \Rightarrow f(0)=0$ Για $x=0$ παίρνουμε $f(f(y))=y$ ά...

Διαγώνισμα 2 Πρόβλημα 3 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB<AC<BC$ και οι διχοτόμοι του $BD$ και $CE$. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $AEC$ και $ADB$ ξανατέμνονται στο $F$. Η $FD$ τέμνει την $EC$ στο $L$ και η $FE$ τέμνει την $DB$ στο $K$. Αν οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ELF$ κ...

Θέματα μεγάλων 1) Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $c(O,R)$ (με $AΒ<AC<CB$) και τα σημεία επαφής $D,E,F$ του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές $BC,AC,AB$, αντίστοιχα, Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $AEF$ τέμνει τον $c$ στο $A'$.Ο περιγεγραμμένος του ...

Ο κανονισμός της ΕΜΕ λέει

Οι εξεταζόμενοι δεν έχουν δικαίωμα αναβαθμολόγησης στο διαγωνισμό «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ».

http://www.hms.gr/?q=node/398.

Έστω : $T(x)=7sinx+6cosx , x\in ( 0,\dfrac{\pi}{2} )$ Α) Βρείτε την $tanx$ , αν : $A(x)=9$ Β) Βρείτε την $tanx$ , όταν η παράσταση $A(x)$ , λάβει τη μέγιστη τιμή της . Αν δεν σας φαίνεται για θέμα μαθηματικών προσανατολισμού , θυμηθείτε ότι , ως μαθητές Θετικού Προσανατολισμού είστε γνώστες και της...

Ισότητα από παραλληλία.png Έστω κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου $O$ ) και $E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD$ . Αν $N,Q,M,P$ είναι τα σημεία τομής της εκ του $K\equiv AC\cap BD$ παραλλήλου προς την $EF$ με τις ευθείες $AB,BC,CD,DA$ αντίστοιχα...

Έστω τετράπλευρο $ABCD$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $O$. Οι διαγώνιοι $AC$ και $BD$ τέμνονται στο $L$, ενώ οι $AD$ και $BC$ στο $K$. Από το $K$ φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενες στο κύκλο $O$ και έστω $S$, $T$ τα σημεία επαφής τους. Να αποδείξετε ότι τα $S, L, T$ είναι συνευθειακά. Το σημείο $K$ είναι σημείο ...

Ονομάζουμε μονοπάτι ίππου μία σειρά κινήσεων του ίππου στη σκακιέρα έτσι ώστε να επισκέπτεται κάθε κουτάκι της σκακιέρας ακριβώς μία φορά. Αν το μονοπάτι καταλήξει σε κουτάκι που απέχει από την αρχική θέση του ίππου κατά μία κίνηση τότε το μονοπάτι ονομάζεται κλειστό. Να βρεθούν τα $N$ για τα οποία...

Επειδη τα δύο τελευταία θέματα συνδυαςτικης που ανέβασα δεν ηταν και πολυ ωραια θα ανταποδώσω εις διπλούν με αυτο το πανέμορφο κατα την προσωπική μου αποψη θεμα. Ας το αφήσουμε μέχρι αύριο για τους μαθητές Να αποδείξετε οτι καθε πολύγωνο με $21$ κορυφές εχει δυο διαγώνιους που σχηματίζουν γωνία μικ...

Όμορφα. Τι λέτε και για αυτή; $\displaystyle{x^{y}\cdot y^{x}=72}$ Αν δεν κανω κάποιο λάθος αν ακολουθήσουμε την τακτική του JimNt. πιο πάνω θα βρούμε την $(x,y)=(2,3),(3,2)$ αλλα και την $(x,y)=(72,1),(1,72)$ Η απάντησή σου είναι σωστή αλλά νομίζω το σκεπτικό σου είναι λάθος καθώς σε ασκήσεις τέτο...

Έστω ο ρητός



Όπου έχουμε :
φορές το
φορές το
φορές το

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Έστω ενα ευθύγραμμο τμήμα ώστε να ειναι και . Να βρείτε το πληθος των σημείων του πλέγματος που βρίσκονται πανω στο ευθύγραμμο τμήμα.

Για Μαθητές έως και αύριο βράδυ .

Οι και είναι πραγματικοί ή ακέραιοι;

Να βρείτε τους ακεραίους $x,y$ ωστε: $x^6+3x^3+1=y^4$ Αν $x>0$ έχουμε $(x^3+1)^2<x^6+3x^3+1<(x^3+2)^2$ άρα η εξίσωση δεν έχει λύσεις . Αν $x=-1$ τότε έχουμε $y^4=-1$ που είναι αδύνατο. Αν $x<-1$ έχουμε $(x^3+1)^2>x^6+3x^3+1>(x^3+2)^2$ άρα η εξίσωση δεν έχει λύσεις . Αν $x=0$ η εξίσωση γίνεται $y^4=...