Έστω $\displaystyle f:R \to R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle {f^3}(x) + f(x) + \,1\, = \,x,\,x \in R$.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$.

H απορία μου είναι η εξής :
Μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση $\displaystyle g(x) = {x^3} + x + 1,\,x \in R$ , να βρούμε ...

R BORIS έγραψε: Τρί Ιαν 15, 2019 8:11 am Θα έπρεπε το συνιλο τιμών της να είναι όλο το πουν δεν εχει αποδειχθεί

Aυτο που είχα κατά νου, μάλιστα. Ευχαριστώ.

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ είναι τέτοια ώστε $\displaystyle{ f (x + f (x + y)) = f (2x) + y, ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$. $\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$
Να δείξετε ότι η $f$ είναι 1-1.


Eαν θέταμε [tex]$x=y$ η σχέση θα γινόταν $f(x+f(2x))=f(2x) +x$. Eαν τώρα θέταμε ...

Παρακαλώ την βοήθεια σας
H ακμή ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/sec.Να βρεθεί πόσο γρήγορα αυξάνει ο όγκος του ως προς την επιφάνεια του όταν η ακμή του γίνει 12 cm.


Με πάσα επιφύλαξη διότι δεν είμαι ούτε καθηγητής ούτε μαθητής

Ψαχνουμε να βρουμε το $\displaystyle\lim_{t\rightarrow 4}\dfrac ...

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB<A\Gamma$.Φέρνουμε την διχοτόμο $A\Delta$ και παίρνουμε σημείο $M$ εσωτερικό του $A\Delta$ . Να δείξετε ότι $M\Gamma - MB< A\Gamma - AB$.


$MG-MB<AG-AB=>MG-AG<MB-AB \overset{MB-AB<AM}{\rightarrow} MG-AG<AM$ που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας. Κάπου λογικά έχω ...

Varignon.pngΗ ωραιότατη λύση που παραθέτει ο θεματοδότης , με βάζει σε πειρασμό να προτείνω το εξής :

Έστω σημείο $S$ στο εσωτερικό του τετραπλεύρου , έτσι ώστε το $AKSN$ να είναι

παραλληλόγραμμο . Αν αποδειχθεί ότι και το $CMSL$ είναι παραλληλόγραμμο τότε ,

λόγω και των ισοτήτων των μαύρων ...

Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών ετέρου τετραπλεύρου ισούται προς το ήμισυ αυτού.
Γνώμη για την άσκηση;(βαθμός δυσκολίας).


Φαντάζομαι ότι αναφέρεσαι στα εμβαδά των τετραπλεύρων.

Απλή, θα έλεγα, ενδιαφέρουσα σχολική άσκηση, εφαρμογή βασικών ιδιοτήτων. Όμως ...

Να δειχθεί ότι το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών ετέρου τετραπλεύρου ισούται προς το ήμισυ αυτού.
Γνώμη για την άσκηση;(βαθμός δυσκολίας).

Κι άλλη ισότητα.pngΠροεκτείναμε τις πλευρές $AB , BC$ του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC , $ κατά τμήματα

$BA'=AB$ και $CB'=BC$ . Η ευθεία $A'C$ τέμνει την $AB'$ στο σημείο $S$ .

Δείξτε ότι : $SC=SB'$ . Προτείνω να την αφήσουμε για ένα 24-ωρο στους μαθητές .


Έχουμε ότι $\angle B ...

Σας ευχαριστώ για την απάντηση. Ας σημειώσω ότι έχω κάποια χρόνια που αποφοίτησα από το λύκειο και επειδή μου άρεσε η Γεωμετρία ανά περιόδους ασχολούμαι όσο μπορώ και μερικά πράγματα ίσως δεν τα παρατηρώ.

Ερώτηση :Για να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο δεν θα έπρεπε να προεκταθουν οι εξωτερικές εφαπτόμενες έως ότου τμηθουν έστω στο και έπειτα λόγω των ισοτήτων να καταλήξουμε στο ότι είναι ισοσκελές τραπέζιο;Εκτός και αν παραλήφθηκε χάριν συντομίας;

Έστω δυο εξωτερικώς εφαπτόμενοι άνισοι κύκλοι κέντρων $K,K'$.Επιλέγουμε σημεία $A,A'$ και $B,B'$ στους κύκλους $K,K'$ αντίστοιχα ώστε $AB$ και $A'B'$ να είναι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενές. Να δειχθεί α)Ότι το τετράπλευρο $ABB'A'$ είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο β)Να δειχθεί το αντίστροφο ...

παραλληλόγραμμο_11_12_17.png

Στο $\vartriangle PMD$ η $PA$ είναι ο φορέας της διχοτόμου αφού τα τόξα των χορδών $AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ είναι ίσα .

Από την άλλη μεριά αν $N$ το μέσο της χορδής $MD$ η $AN$ είναι μεσοκάθετος στο $MD$.

Το $\vartriangle PMD$ είναι λοιπόν αναγκαστικά ...

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 7:10 pm Με πρόλαβε ο Θανάσης, το αφήνω για τον κόπο...paralelogram.png

Σ'ευχαριστώ πολυ!!

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 6:57 pm PARALLELODRAMM.pngΌχι κάτι ριζικά διαφορετικό : Οι μπλε ίσες , οι ροζ ίσες (εξωτερικές εγγεγραμμένων

και ισοσκελή ) , άρα : και ( οι χορδές ίσες )

Σ'ευχαριστώ πολυ

Παραλληλόγραμμο.Κ..png
Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα $AGPB, ADKB$ είναι $\boxed{G\widehat PB = D\widehat KB},$ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών

$\displaystyle G\widehat AB,D\widehat AB.$ Ακόμα οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, καθώς επίσης και οι κόκκινες. $\displaystyle M\widehat DG ...

Doloros έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 3:43 pm Παραλληλόγραμμο.png

Το τρίγωνο είναι ισοσκέλες και εγγράψιμα. Μικρή σε έκταση λύση αλλά όχι απλή .

Σ'ευχαριστώ

Δίδεται περιφέρεια και μια σταθερά διάμετρος αυτής $AOB$(O κέντρο της περιφέρειας).Με κέντρο το $A$ γράφουμε άλλη περιφέρεια η ο οποία τέμνει την πρώτη στα σημεία $G$, $D$.Συνδέουμε το τυχαίο σημείο $M$ της δεύτερης περιφέρειας με τα $G,D$ και οι $MG, MD$ τέμνουν την πρώτη περιφέρεια στα $P, K$.Να ...

καλησπέρα παιδια εαν θελετε δωστε μ μια λυση στο παρακατω: Διδεται περιφερεια και τυχαια διαμετρος αυτης ΑΒ και απο το Α αγουμε τυχαια ευθεια που τεμνει την περιφερεια στο σημειο Γ και στο σημειο Δ την εφαπτομενη στο Β. Επι της προεκτασης της ΒΓ λαμβανουμε ΒΕ=ΒΔ και ζητειται ο γεωμετρικος τοπος της ...

αν θελετε παιδια δωστε μου μια λυση στο παρακατω:Διδεται ημιπεριφερεια διαμετρου ΑΟΒ και φερουμε σε ενα σημειο αυτης Γ εφαπτομενη που οριζει επι της ΑΒ σημειο Δ.H καθετος απο το Ο επι της διχοτομου της γωνιας ΓΔΟ τεμνει την εφαπτομενη στο σημειο Μ του οποιου ζητειται να βρεθει ο Γ.Τ.

Καλησπέρα
Το ...