Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:R \rightarrow R$, όπου $f(2)>-1$ και για κάθε $x,y \in R$ ισχυεί: $f(xf(y)+y)=f(x+y)+xy$ Πρόβλημα 2: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$. Έστω $D$, το σημείο τομής του Α-ύψους με την πλευρά $BC$. Ο κύκλος με διάμετρος $AD$ και κέντρο $O$, τέμνει την πλευρά $...

Πρόβλημα 2 Είναι φανερό ότι $a$ και $b$ είναι μη-μηδενικοί. Βλέπουμε πως η σχέση γράφεται $(a^4-b^4=2019(a-b)$, δηλαδή $(a+b)(a^2+b^2)=2019$ Αυτό σημαίνει ότι η περίπτωση $a<0$, $b<0$ είναι αδύνατη. Για να καταλήξουμε σε άτοπο, χώρις βλάβη της γενικότητας $a>b>0$ Παρατηρούμε ότι αφού $c>0$ , έχουμε...

Πρόβλημα 3 Καταρχάς έστω ότι $R$ είναι το συμμετρικό του σημείου $H$ ως προς το σημείο $M$ και $D$ το σημείο τομής των $AN$ και $HM$. Είναι γνωστό ότι το σημείο $R$ ανήκει πάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο $ADBR$ είναι εγγράψιμο, δηλαδή ότι...

Ο κύριος Α επιλέγει 10 διαφορετικούς θετικούς ακέραιους και δίνει τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια και τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες ολων των ζεύγων των αριθμών (συνολικά 90 αριθμούς) στον κύριο Β. Μπορεί ο κύριος Β να βρίσκει τους 10 αρχικούς αριθμούς , εάν ξέρει μόνο οι 90 αριθμοί αυτοί; (Πηγή: Ir...

Λύση για το 2: Η εξίσωση γράφεται: $3\cdot 2^{x}=(n-2)(n+2)$ Δηλαδή αφου $(n-2)$ , $(n+2)$ είναι τα δυο ισοδύναμα mod 4, έχουμε δυο περιπτώσεις: Περίπτωση 1: $n-2=3\cdot 2^{a}$ και $n+2=2^b$ Δηλαδή $4=2^{b}-3\cdot 2^{a} \Rightarrow 2^{a}(2^{b-a}-3)=4 \Rightarrow a=2, b-a=2 \Rightarrow x=6 \Rightarro...

Λύση για το 1:
Έστω το μέσο του
Έχουμε άρα .
Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{p}$, ώστε ο αριθμός $\displaystyle{1^{p^3+p+1}+2^{p^3+p+1}+\cdots+2019^{p^3+p+1}}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{p}$. Από μικρό θεώρημα $Fermat$: $a^{p^3}\equiv a^{p^2} \equiv a^p \equiv a$ Άρα $a^{p^3+p+1}\equiv a^3 \pmod{p}...

Να εξετάσετε εάν υπάρχουν πολυώνυμα δευτέρου βαθμού και , έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ που οριζέται ως: $\begin{cases} f(x)=1-\Big(\sqrt{kx}+\sqrt{(1-k)(1-x)}\Big)^2 , x>k \\ f(x)=0 , x\leq k \end{cases} $ όπου $0<k<1$ είναι πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος $n$ έτσι ώστε: $\underbrace{fofofo...of}_\text{n t...

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση
για κάθε

Αυτά είναι μερικά θέματα απο τήν φετινή ολυμπίαδα της περσίας. 1) Δίνεται το τρίγωνο $ABC$ με ορθόκεντρο $H$. Έστω ότι ο κύκλος $\omega$ (με κέντρο $O'$) είναι το περίκυκλο του τρίγωνου $BHC$ και ο κύκλος $\Omega$ είναι ο κύκλος Euler του τρίγωνου $ABC$. Επίλεγουμε τυχαίο σημείο $X$ στον μικρό τόξου...

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με ορθόκεντρο $H$, βαρύκενρο $G$ και περιεγγεγραμένο κύκλο $w$. Έστω ότι $D$ και $M$ είναι τα σημεία τομής των ευθιών $AH$ και $AG$ με την πλευρά $BC$ αντοίστοιχα. Οι ημιευθείες $\vec{MH}$ και $\vec{DG}$ τέμνουν τον κύκλο $w$ στα σημεία $P$ και $Q$ αντοίστοιχα. Να αποδ...

Πρόβλημα 5 Δίνεται μια άπειρη ακολουθία $a_1,a_2,\ldots$ θετικών ακεραίων. Έστω ότι υπάρχει ακέραιος $N > 1$ ώστε για κάθε $n \geqslant N$, ο αριθμός $\displaystyle \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$ να είναι ακέραιος. Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ...

Πρόβλημα 4 Ένα κελί , είναι ένα σημείο $(x, y)$ του επιπέδου ώστε τα $x$ και $y$ να είναι και τα δύο θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του $20$. Αρχικά υπάρχουν $400$ κενά κελιά. Ο Αντρέας και ο Βασίλης τοποθετούν εναλλάξ πέτρες στα κελιά με τον Αντρέα να αρχίζει πρώτος. Σε κάθε του κίνηση, ο Αντρ...

Πρόβλημα 1 Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $\Gamma$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία $D$ και $E$ βρίσκονται στα τμήματα $AB$ και $AC$ αντίστοιχα ώστε $AD = AE$. Οι μεσοκάθετες των $BD$ και $CE$ τέμνουν τα μικρά τόξα $AB$ και $AC$ του $\Gamma$ στα σημεία $F$ και $G$ αντίστοιχα. Να αποδει...

Έστω ότι Ν είναι το σύνολο θετικών ακεραιων. Να βρείτε όλες τις συαρτήσεις που είναι ένα προς ένα και ικανοποίουν την σχέση

για κάθε

Πρόβλημα 3: Έστω $k>1$ ένας θετικός ακέραιος και $n>2018$ ένας περιττός θετικός ακέραιος. Οι μη μηδενικοί ρητοί αριθμοί $x_1, x_2, \ldots, x_n$ δεν είναι όλοι ίσοι μεταξύ τους και ικανοποιούν την $\displaystyle {{x}_{1}}+\frac{k}{{{x}_{2}}}={{x}_{2}}+\frac{k}{{{x}_{3}}}={{x}_{3}}+\frac{k}{{{x}_{4}}...

1) Θέτουμε $m=dm_0$ , $n=dn_0$ όπου $(m,n)=d$ $d^3({m_0}^5-{n_0}^5 )=16m_0n_0$ (1) Αφού $(m_0,n_0)=1$ ${m_0}^5-{n_0}^5 \vert 16$ οπότε πρεέι να λύσουμε τις εξισώσεις ${m_0}^5-{n_0}^5=1$, που είναι άτοπο απο το θεώρημα Mihaelescu ή ${m_0}^5-{n_0}^5=2$ που έχει μοναδική λύση $(m_0,n_0)=(1,-1)$ ή ${m_0...

Η ακολουθία ορίζεται με τις σχέσεις:
,
Να δείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί ακέραιοι.

Θέμα 1: Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $(x,y)$που ικανοποιούν την εξίσωση $3^{2x-1}+3^x+1=7^{y}$ Θέμα 2: Έστω ότι $a,b,c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι $\frac{a^3b}{(3a+2b)^3}+\frac{b^3c}{(3b+2c)^3}+\frac{c^3a}{(3c+2a)^3} \ge \frac{a^2bc}{(2a+2b+c)^3}+\frac{ab^2c}{(2b+2c...