Η αναζήτηση βρήκε 117 εγγραφές

από Datis-Kalali
Κυρ Σεπ 29, 2019 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 470

Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:R \rightarrow R$, όπου $f(2)>-1$ και για κάθε $x,y \in R$ ισχυεί: $f(xf(y)+y)=f(x+y)+xy$ Πρόβλημα 2: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$. Έστω $D$, το σημείο τομής του Α-ύψους με την πλευρά $BC$. Ο κύκλος με διάμετρος $AD$ και κέντρο $O$, τέμνει την πλευρά $...
από Datis-Kalali
Σάβ Ιουν 22, 2019 4:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 4610

Re: JBMO 2019

Πρόβλημα 2 Είναι φανερό ότι $a$ και $b$ είναι μη-μηδενικοί. Βλέπουμε πως η σχέση γράφεται $(a^4-b^4=2019(a-b)$, δηλαδή $(a+b)(a^2+b^2)=2019$ Αυτό σημαίνει ότι η περίπτωση $a<0$, $b<0$ είναι αδύνατη. Για να καταλήξουμε σε άτοπο, χώρις βλάβη της γενικότητας $a>b>0$ Παρατηρούμε ότι αφού $c>0$ , έχουμε...
από Datis-Kalali
Σάβ Ιουν 22, 2019 3:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 4610

Re: JBMO 2019

Πρόβλημα 3 Καταρχάς έστω ότι $R$ είναι το συμμετρικό του σημείου $H$ ως προς το σημείο $M$ και $D$ το σημείο τομής των $AN$ και $HM$. Είναι γνωστό ότι το σημείο $R$ ανήκει πάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο $ADBR$ είναι εγγράψιμο, δηλαδή ότι...
από Datis-Kalali
Πέμ Απρ 25, 2019 6:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Θεωρία αριθμών- Συνδυαστική απο TST Περσία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 456

Θεωρία αριθμών- Συνδυαστική απο TST Περσία

Ο κύριος Α επιλέγει 10 διαφορετικούς θετικούς ακέραιους και δίνει τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια και τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες ολων των ζεύγων των αριθμών (συνολικά 90 αριθμούς) στον κύριο Β. Μπορεί ο κύριος Β να βρίσκει τους 10 αρχικούς αριθμούς , εάν ξέρει μόνο οι 90 αριθμοί αυτοί; (Πηγή: Ir...
από Datis-Kalali
Σάβ Μαρ 30, 2019 3:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2755

Re: Επιλογη Junior 2019

Λύση για το 2: Η εξίσωση γράφεται: $3\cdot 2^{x}=(n-2)(n+2)$ Δηλαδή αφου $(n-2)$ , $(n+2)$ είναι τα δυο ισοδύναμα mod 4, έχουμε δυο περιπτώσεις: Περίπτωση 1: $n-2=3\cdot 2^{a}$ και $n+2=2^b$ Δηλαδή $4=2^{b}-3\cdot 2^{a} \Rightarrow 2^{a}(2^{b-a}-3)=4 \Rightarrow a=2, b-a=2 \Rightarrow x=6 \Rightarro...
από Datis-Kalali
Σάβ Μαρ 30, 2019 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2755

Re: Επιλογη Junior 2019

Λύση για το 1:
Έστω M το μέσο του AB
Έχουμε OM//EZ άρα \angle{AZ\Delta}=\angle{AOM}=\angle{AOM}=\angle{AOB}/2=\angle{A\Gamma B}=\angle{A\Gamma\Delta}.
Άρα το τετράπλευρο A \Gamma \Delta Z είναι εγγράψιμο.
από Datis-Kalali
Δευ Φεβ 11, 2019 11:23 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1442

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς $\displaystyle{p}$, ώστε ο αριθμός $\displaystyle{1^{p^3+p+1}+2^{p^3+p+1}+\cdots+2019^{p^3+p+1}}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{p}$. Από μικρό θεώρημα $Fermat$: $a^{p^3}\equiv a^{p^2} \equiv a^p \equiv a$ Άρα $a^{p^3+p+1}\equiv a^3 \pmod{p}...
από Datis-Kalali
Πέμ Δεκ 06, 2018 5:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1100

Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού

Να εξετάσετε εάν υπάρχουν πολυώνυμα δευτέρου βαθμού f(x),g(x) και h(x), έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης f(g(h(x)))=0 είναι οι αριθμοί 1,2,3,4,5,6,7,8
από Datis-Kalali
Πέμ Νοέμ 29, 2018 7:37 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 442

Συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ που οριζέται ως: $\begin{cases} f(x)=1-\Big(\sqrt{kx}+\sqrt{(1-k)(1-x)}\Big)^2 , x>k \\ f(x)=0 , x\leq k \end{cases} $ όπου $0<k<1$ είναι πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος $n$ έτσι ώστε: $\underbrace{fofofo...of}_\text{n t...
από Datis-Kalali
Τετ Σεπ 05, 2018 9:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 543

Συναρτησιακή εξίσωση-Περσία 2018

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f: \mathbb{R}^{\ge 0} \to \mathbb{R}^{\ge 0} που ικανοποιούν την εξίσωση
f(x^3+xf(xy))=f(xy)+x^2f(x+y)για κάθε x,y \in \mathbb{R}^{\ge 0}
από Datis-Kalali
Τρί Σεπ 04, 2018 11:54 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 3ο Γύρο Ολύμπιαδας Περσίας (Ιράν) 2018
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 852

3ο Γύρο Ολύμπιαδας Περσίας (Ιράν) 2018

Αυτά είναι μερικά θέματα απο τήν φετινή ολυμπίαδα της περσίας. 1) Δίνεται το τρίγωνο $ABC$ με ορθόκεντρο $H$. Έστω ότι ο κύκλος $\omega$ (με κέντρο $O'$) είναι το περίκυκλο του τρίγωνου $BHC$ και ο κύκλος $\Omega$ είναι ο κύκλος Euler του τρίγωνου $ABC$. Επίλεγουμε τυχαίο σημείο $X$ στον μικρό τόξου...
από Datis-Kalali
Τρί Αύγ 21, 2018 7:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 648

Θέμα απο Βalkan ΜΟ Shortlist

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με ορθόκεντρο $H$, βαρύκενρο $G$ και περιεγγεγραμένο κύκλο $w$. Έστω ότι $D$ και $M$ είναι τα σημεία τομής των ευθιών $AH$ και $AG$ με την πλευρά $BC$ αντοίστοιχα. Οι ημιευθείες $\vec{MH}$ και $\vec{DG}$ τέμνουν τον κύκλο $w$ στα σημεία $P$ και $Q$ αντοίστοιχα. Να αποδ...
από Datis-Kalali
Τρί Ιούλ 10, 2018 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 7141

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 5 Δίνεται μια άπειρη ακολουθία $a_1,a_2,\ldots$ θετικών ακεραίων. Έστω ότι υπάρχει ακέραιος $N > 1$ ώστε για κάθε $n \geqslant N$, ο αριθμός $\displaystyle \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$ να είναι ακέραιος. Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ...
από Datis-Kalali
Τρί Ιούλ 10, 2018 3:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 7141

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 4 Ένα κελί , είναι ένα σημείο $(x, y)$ του επιπέδου ώστε τα $x$ και $y$ να είναι και τα δύο θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του $20$. Αρχικά υπάρχουν $400$ κενά κελιά. Ο Αντρέας και ο Βασίλης τοποθετούν εναλλάξ πέτρες στα κελιά με τον Αντρέα να αρχίζει πρώτος. Σε κάθε του κίνηση, ο Αντρ...
από Datis-Kalali
Δευ Ιούλ 09, 2018 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 7141

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 1 Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $\Gamma$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία $D$ και $E$ βρίσκονται στα τμήματα $AB$ και $AC$ αντίστοιχα ώστε $AD = AE$. Οι μεσοκάθετες των $BD$ και $CE$ τέμνουν τα μικρά τόξα $AB$ και $AC$ του $\Gamma$ στα σημεία $F$ και $G$ αντίστοιχα. Να αποδει...
από Datis-Kalali
Τρί Ιούλ 03, 2018 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 584

Συναρτησιακή εξίσωση στους θετικούς ακέραιους

Έστω ότι Ν είναι το σύνολο θετικών ακεραιων. Να βρείτε όλες τις συαρτήσεις f:N \rightarrow N που είναι ένα προς ένα και ικανοποίουν την σχέση
f(f(n)) \le \frac{n+f(n)}{2}
για κάθε n \in N
από Datis-Kalali
Παρ Ιουν 22, 2018 1:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2733

Re: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

Πρόβλημα 3: Έστω $k>1$ ένας θετικός ακέραιος και $n>2018$ ένας περιττός θετικός ακέραιος. Οι μη μηδενικοί ρητοί αριθμοί $x_1, x_2, \ldots, x_n$ δεν είναι όλοι ίσοι μεταξύ τους και ικανοποιούν την $\displaystyle {{x}_{1}}+\frac{k}{{{x}_{2}}}={{x}_{2}}+\frac{k}{{{x}_{3}}}={{x}_{3}}+\frac{k}{{{x}_{4}}...
από Datis-Kalali
Πέμ Ιουν 21, 2018 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2733

Re: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

1) Θέτουμε $m=dm_0$ , $n=dn_0$ όπου $(m,n)=d$ $d^3({m_0}^5-{n_0}^5 )=16m_0n_0$ (1) Αφού $(m_0,n_0)=1$ ${m_0}^5-{n_0}^5 \vert 16$ οπότε πρεέι να λύσουμε τις εξισώσεις ${m_0}^5-{n_0}^5=1$, που είναι άτοπο απο το θεώρημα Mihaelescu ή ${m_0}^5-{n_0}^5=2$ που έχει μοναδική λύση $(m_0,n_0)=(1,-1)$ ή ${m_0...
από Datis-Kalali
Τρί Μάιος 01, 2018 6:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 605

Ακολουθία

Η ακολουθία \{a_n\}_{n=1} ^{\infty} ορίζεται με τις σχέσεις:
a_1=a_2=a_3=1, a_{n+1}=\frac{a_n a_{n-1} +1}{a_{n-2}}
Να δείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί ακέραιοι.
από Datis-Kalali
Δευ Απρ 09, 2018 11:40 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετοιμασία για BMO-Άλγεβρα και θεωρία αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 551

Προετοιμασία για BMO-Άλγεβρα και θεωρία αριθμών

Θέμα 1: Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $(x,y)$που ικανοποιούν την εξίσωση $3^{2x-1}+3^x+1=7^{y}$ Θέμα 2: Έστω ότι $a,b,c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι $\frac{a^3b}{(3a+2b)^3}+\frac{b^3c}{(3b+2c)^3}+\frac{c^3a}{(3c+2a)^3} \ge \frac{a^2bc}{(2a+2b+c)^3}+\frac{ab^2c}{(2b+2c...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση