14) Έστω μετρήσιμα τ.ω

i) για κάθε

ii) για κάθε

Τότε .

Εστω $X$ χώρος με νόρμα.

Για $x\in X-\left \{ 0 \right \}$ θέτουμε $\hat{x}=\frac{x}{\left \| x \right \|}$

Εστω $x_{n},x\in X-\left \{ 0 \right \} $
με
$x_{n}\rightarrow 0$

Να δείξετε ότι $\hat{x_{n}}\rightarrow \hat{x}$
αν και μόνο αν
υπάρχει ακολουθία φυσικών $(a_{n})_{n\in \mathbb{N ...

Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω $f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty} $ ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε $\forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N$ και για κάθε διάστημα $I$ στο ...

Έστω $a_1, a_2, \dots , a_n$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει $1 \leq m \leq n -1$ με την ιδιότητα:


$\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}$


Είναι η άσκηση 37 του πρώτου κεφαλαίου ...

Με αφορμή αυτό.
https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=64234

Αν $A\subseteq \mathbb{R}$
και $x\in A$ .
Το $x$ λέγεται σημείο συμπύκνωσης του $A$ αν για κάθε $\epsilon > 0$
το σύνολο $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap A$ είναι υπεραριθμήσιμο.

Να δειχθεί ότι :
Αν $A\subseteq \mathbb{R ...

...Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}) \cap A\, {\color{red}{=\varnothing}$ ...

Άσχετα με την άσκηση, η σημειωμένη πρόταση δεν είναι αληθής, αφού $x\in A$ και $ x\in(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})$. Κάτι άλλο είχατε κατά νου...

Ευχαριστώ , το σωστό ...

Να αποδειχθεί ότι κάθε υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσής του.


Έστω $A$ το παραπάνω σύνολο. Τότε υποθέτουμε ότι κανένα $x\in A$ δεν είναι σ.σ του $A$.
Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x ...

M.S.Vovos έγραψε: Πέμ Φεβ 21, 2019 5:54 pm Αναρωτιέμαι αν κάποιος γνωρίζει την απόδειξη της μοναδικότητας ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα. Δυστυχώς οι σημειώσεις μου δεν έχουν την απόδειξη.

Φιλικά,
Μάριος

https://www.maa.org/sites/default/files/Yuster19807.pdf

Έστω ότι $f$ συνεχής για $x=0$ και φραγμένη.
$s_n=\frac{\int_{-1}^{1}f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}= \frac{\int_{-\delta }^{\delta }f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}+\frac{\int_{A_{\delta}} f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}$ (1)
όπου $A_\delta =[-1,1]\setminus [-\delta ...

Για περισσότερα βλέπε και εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... and_limsup

Έστω ακολουθία $a_n$ τέτοια ώστε $a_n>0$ , $\limsup a_n =2$ , $\liminf a_n =1$ και $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{a_k}}=1}$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=1}$.


Θα την έβαζα στο νέο φάκελο "Ασκήσεις ...

Εστω

$f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με τις ιδιότητες

Η $f$ είναι φθίνουσα και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$

Υπάρχει $M>0$ ώστε για κάθε $x>0$ είναι $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$

Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt$

συγκλίνει ...

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης $k$ για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει


$\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$

για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a ...

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης $k$ για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει


$\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$

για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$

Edit ...

Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε:
$\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N}}$

να δειχθεί ότι:
(Ι) $\displaystyle{\frac{x_{n}}{n}}$ συγκλίνει.

(ΙΙ) Έστω $k $ θετικός ακέραιος, αν η συνθήκη ισχύει για:
$\displaystyle{|m-n ...

Οργάνωνα κάτι σημειώσεις εν όψει εξεταστικής και έπεσα πάνω σε αυτή την άσκηση Απειροστικού 2,
μου φάνηκε ενδιαφέρουσα, οπότε και την προτείνω:

Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε:
$\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N ...

Εστω $I\subseteq \mathbb{R}$ανοικτό διάστημα

και $f:I\rightarrow \mathbb{R}$

συνάρτηση που είναι άνω φραγμένη σε κάθε $[a,b]\subseteq I$
(το φράγμα μπορεί να εξαρτάται από το κλειστό διάστημα)

Αν για κάθε $x_{1},x_{2}\in I$

ισχύει ότι $f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2})\leq \dfrac{f(x_{1})+f(x_{2 ...

Με αφορμή αυτό https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=62341

Δίνεται η οικογένεια συναρτήσεων $f_a(x)=2e^{x-a}-x^2,x>0,a>1$ η οποία έχει δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων

$x_1,x_2$ με $x_1\in(0,1)$ και $x_2\in(a,+\infty ).$ Συμβολίζουμε $x_1:=x_1(a),x_2:=x_2(a)$

τις θέσεις όταν ...

Μια ακόμη προσπάθεια.
$(\Rightarrow )$
$f$ αύξουσα
$\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$
$ \Rightarrow \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq \inf ...

Η κατεύθυνση $\Leftarrow$ αποδίδεται στον A.Zygmund.
Την κατεύθυνση $\Rightarrow$
από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα.
Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή.
Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα.
Ηδη την μια κατεύθυνση ...