14) Έστω μετρήσιμα τ.ω
i) για κάθε
ii) για κάθε
Τότε .
Η αναζήτηση βρήκε 216 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:25 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
- Απαντήσεις: 68
- Προβολές: 8780
- Πέμ Σεπ 19, 2019 11:42 am
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- Θέμα: Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 747
Re: Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα
Εστω $X$ χώρος με νόρμα. Για $x\in X-\left \{ 0 \right \}$ θέτουμε $\hat{x}=\frac{x}{\left \| x \right \|}$ Εστω $x_{n},x\in X-\left \{ 0 \right \} $ με $x_{n}\rightarrow 0$ Να δείξετε ότι $\hat{x_{n}}\rightarrow \hat{x}$ αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία φυσικών $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ με $a_{n...
- Πέμ Αύγ 15, 2019 1:44 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 912
Re: Συνθήκη για ομοιόμορφη σύγκλιση
Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα: Έστω $f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty} $ ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε $\forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N$ και για κάθε διάστημα $I$ στο $[0...
Re: Υπάρχει m
Έστω $a_1, a_2, \dots , a_n$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι υπάρχει $1 \leq m \leq n -1$ με την ιδιότητα: $\displaystyle{ \left | \sum_{k=1}^{m} a_k - \sum_{k=m+1}^{n} a_k \right | \leq \max \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}}$ Είναι η άσκηση 37 του πρώτου κεφαλαίου . https://ecla...
- Πέμ Απρ 11, 2019 10:24 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: σημείο συμπύκνωσης
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 631
Re: σημείο συμπύκνωσης
Με αφορμή αυτό. https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=64234 Αν $A\subseteq \mathbb{R}$ και $x\in A$ . Το $x$ λέγεται σημείο συμπύκνωσης του $A$ αν για κάθε $\epsilon > 0$ το σύνολο $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap A$ είναι υπεραριθμήσιμο. Να δειχθεί ότι : Αν $A\subseteq \mathbb{R}$ είν...
- Τετ Απρ 10, 2019 6:43 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 1187
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
...Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x}) \cap A\, {\color{red}{=\varnothing}$ ... Άσχετα με την άσκηση, η σημειωμένη πρόταση δεν είναι αληθής, αφού $x\in A$ και $ x\in(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})$. Κάτι άλλο είχατε κατά νου... Ευχαριστώ , το σωστό είναι :$...
- Τετ Απρ 10, 2019 4:17 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 1187
Re: Σημείο συσσώρευσης υπεραριθμήσιμου συνόλου.
Να αποδειχθεί ότι κάθε υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (εφοδιασμένο με την συνήθη μετρική) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσής του. Έστω $A$ το παραπάνω σύνολο. Τότε υποθέτουμε ότι κανένα $x\in A$ δεν είναι σ.σ του $A$. Τότε $\forall x\in A \exists \epsilon_{x}>0 : (x-\epsilon_{x}...
- Πέμ Φεβ 21, 2019 7:52 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
- Θέμα: Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1390
- Τρί Φεβ 19, 2019 12:38 am
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- Θέμα: Όριο ολοκληρωμάτων
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1429
Re: Όριο ολοκληρωμάτων
Έστω ότι $f$ συνεχής για $x=0$ και φραγμένη. $s_n=\frac{\int_{-1}^{1}f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}= \frac{\int_{-\delta }^{\delta }f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}+\frac{\int_{A_{\delta}} f(x)(1-x^2)^ndx}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}$ (1) όπου $A_\delta =[-1,1]\setminus [-\delta ...
- Κυρ Φεβ 10, 2019 12:45 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όριο αθροίσματος
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 906
Re: Όριο αθροίσματος
Για περισσότερα βλέπε και εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... and_limsup
https://artofproblemsolving.com/communi ... and_limsup
- Παρ Φεβ 08, 2019 4:14 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όριο αθροίσματος
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 906
Re: Όριο αθροίσματος
Έστω ακολουθία $a_n$ τέτοια ώστε $a_n>0$ , $\limsup a_n =2$ , $\liminf a_n =1$ και $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{a_k}}=1}$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=1}$. Θα την έβαζα στο νέο φάκελο "Ασκήσεις ΜΟΝΟ ...
- Δευ Ιαν 28, 2019 3:19 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Dirichlet για γενικευμένα.
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 813
Re: Dirichlet για γενικευμένα.
Εστω $f,g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με τις ιδιότητες Η $f$ είναι φθίνουσα και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$ Υπάρχει $M>0$ ώστε για κάθε $x>0$ είναι $\displaystyle|\int_{0}^{x}g(t)dt|\leq M$ Να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{0}^{\infty }f(t)g(t)dt$ συγκλίνει Έστω $x\geq...
- Πέμ Ιαν 03, 2019 7:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Ψάχνουμε τον εκθέτη
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1010
Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$ Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης $k$ για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει $\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$ Edit: Μελετήστ...
- Πέμ Ιαν 03, 2019 7:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Ψάχνουμε τον εκθέτη
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1010
Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$ Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης $k$ για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει $\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$ Edit: Μελετήστ...
Re: Ακολουθία
Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε: $\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N}}$ να δειχθεί ότι: (Ι) $\displaystyle{\frac{x_{n}}{n}}$ συγκλίνει. (ΙΙ) Έστω $k $ θετικός ακέραιος, αν η συνθήκη ισχύει για: $\displaystyle{|m-n| < k}$...
Re: Ακολουθία
Οργάνωνα κάτι σημειώσεις εν όψει εξεταστικής και έπεσα πάνω σε αυτή την άσκηση Απειροστικού 2, μου φάνηκε ενδιαφέρουσα, οπότε και την προτείνω: Έστω $\displaystyle{x_{n}, n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία θετικών πραγματικών τέτοια ώστε: $\displaystyle{x_{m+n}\leq x_{m}+x_{n} , m,n \in \mathbb{N}}$ να δ...
- Κυρ Νοέμ 11, 2018 2:51 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1048
Re: midpoint convex και φραγμένη άνω είναι κυρτή
Εστω $I\subseteq \mathbb{R}$ανοικτό διάστημα και $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση που είναι άνω φραγμένη σε κάθε $[a,b]\subseteq I$ (το φράγμα μπορεί να εξαρτάται από το κλειστό διάστημα) Αν για κάθε $x_{1},x_{2}\in I$ ισχύει ότι $f(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2})\leq \dfrac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ τότ...
- Σάβ Αύγ 11, 2018 5:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 554
Re: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ
Με αφορμή αυτό https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=62341 Δίνεται η οικογένεια συναρτήσεων $f_a(x)=2e^{x-a}-x^2,x>0,a>1$ η οποία έχει δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων $x_1,x_2$ με $x_1\in(0,1)$ και $x_2\in(a,+\infty ).$ Συμβολίζουμε $x_1:=x_1(a),x_2:=x_2(a)$ τις θέσεις όταν παράμετρος είνα...
- Παρ Αύγ 10, 2018 2:15 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1458
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Μια ακόμη προσπάθεια. $(\Rightarrow )$ $f$ αύξουσα $\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$ $ \Rightarrow \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq \inf\left...
- Κυρ Αύγ 05, 2018 5:12 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Χαρακτηρισμός αύξουσας
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1458
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Η κατεύθυνση $\Leftarrow$ αποδίδεται στον A.Zygmund. Την κατεύθυνση $\Rightarrow$ από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα. Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή. Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα. Ηδη την μια κατεύθυνση τη...