Μου φαίνεται εύκολο για πρόβλημα 3. Ιδίως για σχετικά πρόσφατη ολυμπιάδα.
Από την άλλη το αρχικό πρόβλημα φαίνεται εξαιρετικά δύσκολο. Έχω μια ιδέα η οποία πρέπει να δουλεύει αλλά θέλει θεώρημα πρώτων αριθμών και μάλιστα με μη τετριμμένο τρόπο. Γνωρίζουμε αν το πρόβλημα έχει πιο στοιχειώδη λύση ή ...
Η αναζήτηση βρήκε 25 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Παρ Ιουν 16, 2017 3:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Δύσκολο πρόβλημα!!
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 6617
- Πέμ Ιουν 15, 2017 12:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Τετράγωνο απόστασης
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1851
Re: Τετράγωνο απόστασης
Πρόκειται για το πρόβλημα 2 της ολυμπιάδας της Βραζιλίας 2016.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 90p7304182
https://artofproblemsolving.com/communi ... 90p7304182
- Τρί Ιουν 13, 2017 11:35 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Δύσκολο πρόβλημα!!
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 6617
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
WLOG έγραψε:Να αποδείξετε ότι για κάθευπάρχουν άπειροι αριθμοί
ώστε ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης του
να είναι μεγαλύτερος του
.
- Τρί Ιουν 13, 2017 11:35 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Δύσκολο πρόβλημα!!
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 6617
Re: Δύσκολο πρόβλημα!!
Έστω $p_i$ ο iοστός πρώτος αριθμός.
Έστω $p_k$ ο ελάχιστος πρώτος που είναι μεγαλύτερος από $cn$ τότε ο αριθμός
$n=(p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_{k-1})^{l}$ ικανοποιεί το ζητούμενο για κάθε ακέραιο $l>0$.
Δε μου φαίνεται να ανήκει σε αυτό το φάκελο.
Μάλλον κάπου κάνεις λάθος. Ορίζεις το $p_k ...
Έστω $p_k$ ο ελάχιστος πρώτος που είναι μεγαλύτερος από $cn$ τότε ο αριθμός
$n=(p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_{k-1})^{l}$ ικανοποιεί το ζητούμενο για κάθε ακέραιο $l>0$.
Δε μου φαίνεται να ανήκει σε αυτό το φάκελο.
Μάλλον κάπου κάνεις λάθος. Ορίζεις το $p_k ...
- Τρί Ιουν 13, 2017 3:50 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Δύσκολο πρόβλημα!!
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 6617
Δύσκολο πρόβλημα!!
Να αποδείξετε ότι για κάθε υπάρχουν άπειροι αριθμοί ώστε ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης του να είναι μεγαλύτερος του .
υπάρχουν άπειροι αριθμοί ώστε ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης του να είναι μεγαλύτερος του .- Δευ Απρ 10, 2017 9:28 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Αρρητότητα ρίζας 2
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 3330
Re: Αρρητότητα ρίζας 2
Γενικότερα αν $p$ πρώτος τότε ο $p^{1/2}$ είναι άρρητος.
Καλύτερα να μην ανακαλύπτουμε τον τροχό.
Είναι ήδη γνωστό από την αρχαιότητα ότι ο $\sqrt N$ είναι άρρητος εκτός όταν ο $N$ είναι τέλειο τετράγωνο.
Μιλάω για ανακάλυψη του τροχού γιατί στο άρθρο μου που παραπέμπω, ανάγραφω καμιά δεκαριά ...
Καλύτερα να μην ανακαλύπτουμε τον τροχό.
Είναι ήδη γνωστό από την αρχαιότητα ότι ο $\sqrt N$ είναι άρρητος εκτός όταν ο $N$ είναι τέλειο τετράγωνο.
Μιλάω για ανακάλυψη του τροχού γιατί στο άρθρο μου που παραπέμπω, ανάγραφω καμιά δεκαριά ...
- Κυρ Απρ 09, 2017 11:25 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Αρρητότητα ρίζας 2
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 3330
Re: Αρρητότητα ρίζας 2
Γενικότερα αν 
πρώτος τότε ο 
είναι άρρητος.
πρώτος τότε ο είναι άρρητος.- Τετ Μαρ 01, 2017 6:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης #6-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 2881
Re: Τεστ Εξάσκησης #6-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί το πλήθος των υποσυνόλων $B$ του συνόλου $\{1,2,3,\dots,2016\}$ που το άθροισμα των στοιχείων τους είναι πολλαπλάσιο του 2017.
Θεωρούμε την γεννήτρια συνάρτηση $P(x) = (1+x)(1+x^2) \cdots (1+x^{2016})$. Ο συντελεστής του $x^n$ στο ανάπτυγμά της είναι το πλήθος των υποσυνόλων ...
- Σάβ Φεβ 25, 2017 2:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Δύσκολη Σχέση!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 830
Re: Δύσκολη Σχέση!
Από τα δεδομένα μπορεί να κατασκευαστεί το παρακάτω σχήμα. Η πρώτη σχέση εκφράζει τον νόμο των συνημιτόνων, οπότε $\displaystyle{AB=5,}$ η δεύτερη το Πυθαγόρειο Θεώρημα, οπότε $\displaystyle{AC=3}$ και η τρίτη τον νόμο των συνημιτόνων, οπότε $\displaystyle{BC=4.}$ Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle ...
- Σάβ Φεβ 25, 2017 1:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Δύσκολη Σχέση!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 830
Δύσκολη Σχέση!
Οι θετικοί πραγματικοί 
ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:
+ 
+ 
= 25
+ 
= 9
+ 
+ = 16
Να βρεθεί το + 2
+ 3
ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: + + = 25 + = 9 + + = 16Να βρεθεί το
+ 2 + 3- Πέμ Φεβ 23, 2017 10:16 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
- Απαντήσεις: 162
- Προβολές: 46386
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Για να λυθούν όλες οι απορίες σχετικά με τις βάσεις, παραθέτω τις βάσεις:
1) για β γυμν = 15
2) για γ γυμν = 14
3) για α λυκ = 14
4) για β λυκ = 10
5) για γ λυκ = 10
1) για β γυμν = 15
2) για γ γυμν = 14
3) για α λυκ = 14
4) για β λυκ = 10
5) για γ λυκ = 10
- Πέμ Φεβ 23, 2017 7:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
- Απαντήσεις: 162
- Προβολές: 46386
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Δεν ξέρω!!Irenem έγραψε:Αυτό είναι σίγουρο ? Γιατί στην β γυμνασίου εγράψα 3 θέματα τουλάχιστον και δεν κατάφερα να προκριθώ .WLOG έγραψε:Από ότι ξέρω 15 στην β γυμνασίου και 14 στην γ γυμνασίου.Athena apo έγραψε:καλη επιτυχια σε ολους .Που περίπου κυμανθηκαν οι βασεις?
- Πέμ Φεβ 23, 2017 7:06 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
- Απαντήσεις: 162
- Προβολές: 46386
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Από ότι ξέρω 15 στην β γυμνασίου και 14 στην γ γυμνασίου.Athena apo έγραψε:καλη επιτυχια σε ολους .Που περίπου κυμανθηκαν οι βασεις?
- Πέμ Φεβ 23, 2017 3:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1112
Re: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!
Με πόσους τρόπους μπορούμε να γεμίσουμε μια τσάντα με n φρούτα ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:
1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
Το πρόβλημα είναι απλό αν χρησιμοποιήσουμε ...
1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
Το πρόβλημα είναι απλό αν χρησιμοποιήσουμε ...
- Πέμ Φεβ 23, 2017 3:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1112
Re: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!
Με πόσους τρόπους μπορούμε να γεμίσουμε μια τσάντα με n φρούτα ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:
1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
Το πρόβλημα είναι απλό αν χρησιμοποιήσουμε ...
1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
Το πρόβλημα είναι απλό αν χρησιμοποιήσουμε ...
- Πέμ Φεβ 23, 2017 12:28 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1112
Αδύνατη Καταμέτρηση!!!
Με πόσους τρόπους μπορούμε να γεμίσουμε μια τσάντα με n φρούτα ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:
1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
- Δευ Ιαν 30, 2017 1:08 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
- Απαντήσεις: 126
- Προβολές: 25250
Re: Αρχιμήδης 2016-2017
Άσκηση 6 (Seniors)
Αν
είναι πολυώνυμα έτσι ώστε:
Να δείξετε ότι το
διαιρεί το 
Αν
είναι πολυώνυμα έτσι ώστε: Να δείξετε ότι το
διαιρεί το - Σάβ Ιαν 28, 2017 6:28 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
- Απαντήσεις: 162
- Προβολές: 46386
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Τελικά το $3$ο $b$ πρόβλημα της Γ΄Γυμνασιου τι ζητούσε; :lol: . Να βρούμε όλα τα πολλαπλάσια του $9$ και όλα τα πολλαπλάσια του $6$ που δεν είναι πολλαπλάσια του $9$ και το αντίθετο ή να βρούμε όλα τα πολλαπλάσια του $9$ που δεν είναι πολλαπλάσια του $6$ και όλα τα πολλαπλάσια του $6$ που δεν είναι ...
- Σάβ Ιαν 28, 2017 5:45 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
- Απαντήσεις: 162
- Προβολές: 46386
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Τελικά το $3$ο $b$ πρόβλημα της Γ΄Γυμνασιου τι ζητούσε; :lol: . Να βρούμε όλα τα πολλαπλάσια του $9$ και όλα τα πολλαπλάσια του $6$ που δεν είναι πολλαπλάσια του $9$ και το αντίθετο ή να βρούμε όλα τα πολλαπλάσια του $9$ που δεν είναι πολλαπλάσια του $6$ και όλα τα πολλαπλάσια του $6$ που δεν είναι ...
- Σάβ Ιαν 28, 2017 1:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
- Απαντήσεις: 162
- Προβολές: 46386
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Η τεταρτη στην γ γυνασιου εβγαινε και χωρις φυσικη :idea: :idea:
Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...
Βγαινει και χωρις την ταχυτητα :!: :!:
Περίγραψε την λύση σου αν θέλεις ...
Η φυσική και τα μαθηματικα είναι τόσο κοντά, το ένα συμπληρώνει το άλλο. Απλά συχγέεται συχνά το γεγονός ότι ο τύπος της ταχύτητας διδάσκεται στην φυσική...
Βγαινει και χωρις την ταχυτητα :!: :!:
Περίγραψε την λύση σου αν θέλεις ...