Νομίζω ότι στο Θέμα Δ2 β υπάρχει αστοχία. Το υλικό σημείο δε διέρχεται αναγκαστικά από το . Επισυνάπτω ένα παράδειγμα (αρχείο ggb).

Ανέπτυξε την $f$ σε δυναμοσειρά.


Γιατί η f αναπτύσσεται σε δυναμοσειρά και στο σύνορο τού τόπου, όπου στην περίπτωση που εξετάζουμε είναι ο μοναδιαίος κυκλικός δίσκος;

Ουσιαστικά η $g$ είναι $g(z)=\sum_{k=1}^{\infty} f^{(k)}(0)\frac{z^{k-1}}{k!}$ που είναι αναλυτική.

Η ισότητα αυτή γιατί ...

Πραγματικά, η g είναι η ολόμορφη επέκταση τής f(z)/z επί τού μοναδιαίου κυκλικού δίσκου. Αυτό αποδεικνύεται συνδυάζοντας για τη συνάρτηση f(z)/z τα εξής:
1ο Αν μια συνάρτηση είναι ολόμορφη σ' έναν τόπο T τού μιγαδικού επιπέδου εξαιρέσει ενός σημείου a τού T, τότε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για ...

Έχετε και μια δεύτερη επιλογή. Να υποθέσετε, εκτός των άλλων, ότι η f είναι αναλυτική συνάρτηση στο [α,β], χωρίς η f' να σταθεροποιείται σε κάποιο υποδιάστημά του.
Τότε, αν η f' είναι τέτοια, ώστε, να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ' ένα σημείο xo τού (α,β) αποδεικνύεται ότι η f' θα είναι γνησίως ...

Αυτή τη φορά, για να αποδείξετε την 2, χρησιμοποιήσατε αυθαίρετα το ότι όταν μια συνεχής συνάρτηση δεν διατηρεί το ίδιο είδος μονοτονίας σε ένα διάστημα, τότε, αναγκαστικά, υπάρχει εσωτερικό σημείο τού διαστήματος όπου εκατέρωθεν αυτού αλλά αρκούντως κοντά του, αλλάζει η μονοτονία τής συνάρτησης ...

Η αλήθεια είναι ότι δεν περίμενα αυτόν τον ορισμό, διότι, βάσει αυτού, η πρόταση:

" Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[α,β]→R είναι τέτοια, ώστε, η f′ να παρουσιάζει ακρότατο στο x₀∈(α,β), τότε το x₀ είναι θέση σημείου καμπής τής f ", είναι ψευδής.

Υπάρχει παράδειγμα συνάρτησης f, όπου ενώ η f ...

Προχωρώντας λίγο περισσότερο, απ' την στιγμή που η 4 καλύπτει την 2, μπορείτε να αποδείξετε μόνο την 4 και μάλιστα η απόδειξη μπορεί να είναι άμεση στην περίπτωση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο [α,β], με f' συνεχή η οποία δεν σταθεροποιείται σε κανένα υποδιάστημα τού [α,β] και τέτοια, ώστε, f ...

Όσον αφορά στην απόδειξη τής 4ης παρατήρησης, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής: Πώς από την ισότητα $f'\left(\xi \right)=f'\left(t \right)$ και το γεγονός ότι η $f$ έχει υποτεθεί κυρτή στο $\left[\alpha ,\xi \right]$, συμπεραίνετε ότι η $f'$ είναι σταθερή σε ολόκληρο το $\left[\alpha ,\beta \right]$; Αυτό ...

Όμως, ακόμη κι αν υποτεθεί ότι η $f^{\prime }$ είναι φραγμένη στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$, οπότε το $M:=\sup_{\alpha \leq x\leq \beta
}f^{\prime }\left( x\right)$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε, από που προκύπτει ότι υπάρχει $x_{0}\in \left[ \alpha ,\beta \right]$ τέτοιο, ώστε ...

Πρώτα απ' όλα, νομίζω ότι καλό είναι να διατυπωθεί στην εργασία σας ο ορισμός που χρησιμοποιείτε για το σημείο καμπής, διότι υπάρχουν γι' αυτό διάφοροι μή ισοδύναμοι ορισμοί. Έτσι, μπορεί μια πρόταση που είναι αληθής ως προς τον ένα απ' αυτούς να είναι ψευδής ως προς τον άλλο. Αυτή τη στιγμή δεν έχω ...

Ποιόν ορισμό χρησιμοποιείτε για το σημείο καμπής; Επίσης, πάλι όσον αφορά στην απόδειξη τής Εικασίας 2, θα ήθελα να ρωτήσω από που προκύπτει ότι η f' είναι φραγμένη στο (α,β);

Αν έχω καταλάβει καλά, στην απόδειξη τής Εικασίας 2 χρησιμοποιείται το εξής: "Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[α,β]→R με f′(α)=f′(β) είναι τέτοια, ώστε, η f′ να παρουσιάζει ακρότατο στο x₀∈(α,β), τότε το x₀ είναι θέση σημείου καμπής τής f." Όμως, αυτό είναι κάτι που δεν ισχύει.

Η σύνθεση gof ' ορίζεται πάντα ή πρέπει να βρούμε μία κατάλληλη συνάρτηση g και ποιος μας εξασφαλίζει την ύπαρξή της σε αυτήν την περίπτωση;
Αν f ' (x)=l για κάθε x στο (α,β) προφανώς η σύνθεση ορίζεται στο (α,β). Σε διαφορετική περίπτωση, με χρήση τού Θεωρήματος Darboux, μπορεί, πάλι, να ...

Το ΘΜΤ τού Διαφορικού Λογισμού καθώς κι άλλες εφαρμογές μπορούν να προκύψουν από την παρακάτω Πρόταση, επιλέγοντας κατάλληλα τη συνάρτηση $g$.

Πρόταση. Έστω $f:\left[ \alpha ,\beta \right] \rightarrow
\mathbb{R}$ συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ και παραγωγίσιμη ...

grigkost έγραψε:Έχει συζητηθεί στό "α^β+β^α>1 καί μιά γενίκευσή της" καί μάλιστα, -όπως δηλώνει καί ο τίτλος- μέ μιά γενίκευσή της.

Ευχαριστώ πολύ για την παραπομπή

Να αποδείξετε ότι, για κάθε