Η λύση μου για το 2ο θέμα Β Λυκείου

Αρκεί να αποδείξουμε πως $x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)\in \mathbb{Z}$
Δηλαδή αρκεί $x^3+y^3\wedge xy\in \mathbb{Z}$

$\bullet$ Ισχύει ότι $(x+y)^2\in \mathbb{Z}$ άρα $x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2xy\in \mathbb{Z}$$(1)$

$\bullet$ Επίσης ...

Η λύση μου για το 2ο θέμα Β Λυκείου

Αρκεί να αποδείξουμε πως $x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)\in \mathbb{Z}$
Δηλαδή αρκεί $x^3+y^3\wedge xy\in \mathbb{Z}$

$\bullet$ Ισχύει ότι $(x+y)^2\in \mathbb{Z}$ άρα $x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2xy\in \mathbb{Z}$$(1)$

$\bullet$ Επίσης $(x ...

Αυτό είναι πράγματι ένα θέμα.Ας μη ξεχνάμε και πως ο διαγωνισμός Βιολογίας συμπίπτει με τον διαγωνισμό Αστρονομίας φέτος στις 3 Φεβρουαρίου .Γιατί να μην δίνουμε σε αυτά τα παιδιά τη δυνατότητα συμμετοχής/διάκρισης και στα δύο μαθήματα;

NT3) Να βρείτε τις τριάδες $x,y,z> 0$,που ικανοποιούν την εξίσωση:
$1+2^{x}3^{y}=z^{2}$



1) $c=2^k$ και $c+1=3^y$. Έχουμε λοιπόν ότι $3^y-1=2^k$, από το θεώρημα $Catalan$ προκύπτει ότι μοναδική λύση είναι η $y=2$ και $k=3$, άρα $y=2$ και $x=5$, οπότε $z=17$.



Πολύ ωραία λύση,μια μικρή ...

NT4) Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, τέτοια ώστε το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματός τους να είναι 3,
η διαφορά τους να είναι πρώτος αριθμός και το γινόμενο τους να είναι τετράγωνο θετικού ακεραίου.

NT3) Να βρείτε τις τριάδες ,που ικανοποιούν την εξίσωση:

Πρόβλημα 51

Η Λουκία παρατήρησε ότι οι αδερφές της είναι δύο περισσότερες από τους αδερφούς της. Ο Γρηγόρης, αδερφός της Λουκίας, παρατήρησε ότι οι αδερφές του είναι τριπλάσιες από τους αδερφούς του. Πόσα είναι όλα τα αδέρφια;


Έστω $g$ ο αριθμός των κοριτσιών και $b$ των αγοριών

$\left ...

Άμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση οπότε
με τον περιορισμό παίρνουμε τις λύσεις:

Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

Δίνεται ότι ο αριθμός διαιρείται από κάποιον πρώτο μεγαλύτερο του .Να βρείτε αυτόν τον πρώτο.

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

Ύστερα αναγράφουμε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη.


Πώς επιβεβαίωσες ότι δεν υπάρχουν άλλες;

Παίρνοντας τα πολλαπλάσια $(k,l,m)=(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)$ που είναι τα μόνα που μπορούν να πραγματοποιήσουν τη συνθήκη που θέσαμε.

Σε όλες τις υπόλοιπες ...

Γεια σου Νικόλα.Η άσκηση δεν νομίζω ότι αντιστοιχεί σε προχωρημένο επίπεδο juniors.

Πρώτα απ'όλα παίρνουμε $k,l,m$ με
$1\leq k\leq 31$
$1\leq l\leq 12$
$17\leq m\leq 40$
συμβολίζοντας αντίστοιχα τις μέρες,τους μήνες και τα χρόνια αντίστοιχα.
Επίσης χρειαζόμαστε να έχουμε ως υποτείνουσα το έτος ...

Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής.
1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων $(a,b,c)$
που ικανοποιούν την εξίσωση
$a^3+b^3-3ab=2017^c+1$




Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 ...

Πρόβλημα 4

Έστω $R$ και $S$ διαφορετικά σημεία ενός κύκλου $\Omega$ τέτοια, ώστε το
ευθύγραμμο τμήμα $RS$ να μην είναι διάμετρός του. Έστω$\ell$ η εφαπτομένη του
κύκλου $\Omega$ στο σημείο $R$. Σημείο $T$ είναι τέτοιο, ώστε το$S$ να είναι το μέσον του
ευθυγράμμου τμήματος $RT$. Στο μικρότερο τόξο ...

Πολύ ωραίες οι λύσεις σου Διονύση!

Όσο για την άσκηση 3,να περιμένω να λυθεί πρωτού ανεβάσω και τα επόμενα 3 προβλήματα ή όχι;

Μην ξεχνάτε ότι όπως είχα πει υπάρχουν και άλλοι τρόποι λύσης των ασκήσεων

Προσοχή! Αν ο διαγωνισμός είναι ακόμη σε εξέλιξη τότε μάλλον δεν είναι θεμιτό να συζητούμε τις ασκήσεις του εδώ.

Παναγιώτη, μπορείς να μας ενημερώσεις σχετικά με τους κανονισμούς του διαγωνισμού;

Καλησπέρα,ο διαγωνισμός έχει τελειώσει εδώ και κάμποσο καιρό.Οποιαδήποτε λύση σας είναι ευπρόσδεκτη ...

1) Στο $\bigtriangleup ABC$,το σημείο $D$ βρίσκεται πάνω στη πλευρά $BC$ ώστε $AD$ κάθετη στη $BC$.Θεωρούμε $I$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ABC$ , $I_{B}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ADB$, $I_{C}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ACD$ και $I_{D}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup DI_{B}I_{C ...

Καλησπέρα αν και λίγο αργά!

Πρώτα απ'όλα ας θεωρήσουμε ότι γίνεται να αναδιατάξουμε τα ψηφία του $2^a$ σε $2^b$ όπου $a<b$
και ας θεωρήσουμε $2^b-2^a$

Τότε επειδή το $2^b$ προέρχεται από τα ίδια ψηφία του $2^a$ από γνωστό λήμμα έχουμε ότι το $9|2^b-2^a$


Επειδή $2^3<10<2^4$ θα έχουμε το πολύ $4 ...

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των ακεραίων στο οποίο το σύστημα



δεν έχει πραγματικές λύσεις ;