Η αναζήτηση βρήκε 73 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Παρ Ιαν 26, 2018 12:32 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
- Απαντήσεις: 96
- Προβολές: 25813
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Η λύση μου για το 2ο θέμα Β Λυκείου Αρκεί να αποδείξουμε πως $x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)\in \mathbb{Z}$ Δηλαδή αρκεί $x^3+y^3\wedge xy\in \mathbb{Z}$ $\bullet$ Ισχύει ότι $(x+y)^2\in \mathbb{Z}$ άρα $x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2xy\in \mathbb{Z}$$(1)$ $\bullet$ Επίσης $(x^2...
- Τρί Ιαν 23, 2018 12:28 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
- Απαντήσεις: 96
- Προβολές: 25813
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Η λύση μου για το 2ο θέμα Β Λυκείου Αρκεί να αποδείξουμε πως $x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)\in \mathbb{Z}$ Δηλαδή αρκεί $x^3+y^3\wedge xy\in \mathbb{Z}$ $\bullet$ Ισχύει ότι $(x+y)^2\in \mathbb{Z}$ άρα $x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2xy\in \mathbb{Z}$$(1)$ $\bullet$ Επίσης $(x^2+...
- Τετ Ιαν 10, 2018 2:41 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Ημερομηνίες επιστημονικών μαθητικών διαγωνισμών
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1343
Re: Ημερομηνίες επιστημονικών μαθητικών διαγωνισμών
Αυτό είναι πράγματι ένα θέμα.Ας μη ξεχνάμε και πως ο διαγωνισμός Βιολογίας συμπίπτει με τον διαγωνισμό Αστρονομίας φέτος στις 3 Φεβρουαρίου .Γιατί να μην δίνουμε σε αυτά τα παιδιά τη δυνατότητα συμμετοχής/διάκρισης και στα δύο μαθήματα;
- Παρ Ιαν 05, 2018 12:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
- Απαντήσεις: 22
- Προβολές: 4272
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
NT3) Να βρείτε τις τριάδες $x,y,z> 0$,που ικανοποιούν την εξίσωση: $1+2^{x}3^{y}=z^{2}$ 1) $c=2^k$ και $c+1=3^y$. Έχουμε λοιπόν ότι $3^y-1=2^k$, από το θεώρημα $Catalan$ προκύπτει ότι μοναδική λύση είναι η $y=2$ και $k=3$, άρα $y=2$ και $x=5$, οπότε $z=17$. Πολύ ωραία λύση,μια μικρή παρατήρηση.Το θ...
- Παρ Ιαν 05, 2018 12:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
- Απαντήσεις: 22
- Προβολές: 4272
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
NT4) Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, τέτοια ώστε το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματός τους να είναι 3,
η διαφορά τους να είναι πρώτος αριθμός και το γινόμενο τους να είναι τετράγωνο θετικού ακεραίου.
η διαφορά τους να είναι πρώτος αριθμός και το γινόμενο τους να είναι τετράγωνο θετικού ακεραίου.
- Παρ Ιαν 05, 2018 10:23 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
- Απαντήσεις: 22
- Προβολές: 4272
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
NT3) Να βρείτε τις τριάδες ,που ικανοποιούν την εξίσωση:
- Σάβ Οκτ 14, 2017 7:20 pm
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)
- Απαντήσεις: 131
- Προβολές: 127357
Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)
Πρόβλημα 51 Η Λουκία παρατήρησε ότι οι αδερφές της είναι δύο περισσότερες από τους αδερφούς της. Ο Γρηγόρης, αδερφός της Λουκίας, παρατήρησε ότι οι αδερφές του είναι τριπλάσιες από τους αδερφούς του. Πόσα είναι όλα τα αδέρφια; Έστω $g$ ο αριθμός των κοριτσιών και $b$ των αγοριών $\left\{\begin{matr...
- Παρ Σεπ 22, 2017 11:42 pm
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Με τι ισούται ;
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1367
Re: Με τι ισούται ;
Άμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση οπότε
με τον περιορισμό παίρνουμε τις λύσεις:
με τον περιορισμό παίρνουμε τις λύσεις:
- Τετ Σεπ 13, 2017 1:06 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Tricky θεωρία αριθμών
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 2149
Tricky θεωρία αριθμών
Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:
- Πέμ Σεπ 07, 2017 3:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Μεγάλος πρώτος διαιρέτης
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1111
Μεγάλος πρώτος διαιρέτης
Δίνεται ότι ο αριθμός διαιρείται από κάποιον πρώτο μεγαλύτερο του .Να βρείτε αυτόν τον πρώτο.
- Παρ Σεπ 01, 2017 3:06 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Δύσκολη διοφαντική
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1887
Δύσκολη διοφαντική
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:
- Παρ Αύγ 18, 2017 1:28 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Πυθαγόρεια Τριάδα
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2189
Re: Πυθαγόρεια Τριάδα
Ύστερα αναγράφουμε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη. Πώς επιβεβαίωσες ότι δεν υπάρχουν άλλες; Παίρνοντας τα πολλαπλάσια $(k,l,m)=(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)$ που είναι τα μόνα που μπορούν να πραγματοποιήσουν τη συνθήκη που θέσαμε. Σε όλες τις υπόλοιπες πυθαγόρειες τ...
- Τρί Αύγ 15, 2017 5:43 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Πυθαγόρεια Τριάδα
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2189
Re: Πυθαγόρεια Τριάδα
Γεια σου Νικόλα.Η άσκηση δεν νομίζω ότι αντιστοιχεί σε προχωρημένο επίπεδο juniors. Πρώτα απ'όλα παίρνουμε $k,l,m$ με $1\leq k\leq 31$ $1\leq l\leq 12$ $17\leq m\leq 40$ συμβολίζοντας αντίστοιχα τις μέρες,τους μήνες και τα χρόνια αντίστοιχα. Επίσης χρειαζόμαστε να έχουμε ως υποτείνουσα το έτος οπότε...
- Σάβ Αύγ 12, 2017 1:03 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1348
Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής. 1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων $(a,b,c)$ που ικανοποιούν την εξίσωση $a^3+b^3-3ab=2017^c+1$ Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow$ Καλ...
- Τετ Ιούλ 19, 2017 8:24 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: IMO 2017
- Απαντήσεις: 17
- Προβολές: 3861
Re: IMO 2017
Πρόβλημα 4 Έστω $R$ και $S$ διαφορετικά σημεία ενός κύκλου $\Omega$ τέτοια, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $RS$ να μην είναι διάμετρός του. Έστω$\ell$ η εφαπτομένη του κύκλου $\Omega$ στο σημείο $R$. Σημείο $T$ είναι τέτοιο, ώστε το$S$ να είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος $RT$. Στο μικρότερο τόξο $...
- Παρ Ιούλ 14, 2017 3:32 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1336
Re: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
Πολύ ωραίες οι λύσεις σου Διονύση!
Όσο για την άσκηση 3,να περιμένω να λυθεί πρωτού ανεβάσω και τα επόμενα 3 προβλήματα ή όχι;
Μην ξεχνάτε ότι όπως είχα πει υπάρχουν και άλλοι τρόποι λύσης των ασκήσεων
Όσο για την άσκηση 3,να περιμένω να λυθεί πρωτού ανεβάσω και τα επόμενα 3 προβλήματα ή όχι;
Μην ξεχνάτε ότι όπως είχα πει υπάρχουν και άλλοι τρόποι λύσης των ασκήσεων
- Δευ Ιούλ 10, 2017 7:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1336
Re: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
Προσοχή! Αν ο διαγωνισμός είναι ακόμη σε εξέλιξη τότε μάλλον δεν είναι θεμιτό να συζητούμε τις ασκήσεις του εδώ. Παναγιώτη, μπορείς να μας ενημερώσεις σχετικά με τους κανονισμούς του διαγωνισμού; Καλησπέρα,ο διαγωνισμός έχει τελειώσει εδώ και κάμποσο καιρό.Οποιαδήποτε λύση σας είναι ευπρόσδεκτη! Επ...
- Δευ Ιούλ 10, 2017 2:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1336
Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)
1) Στο $\bigtriangleup ABC$,το σημείο $D$ βρίσκεται πάνω στη πλευρά $BC$ ώστε $AD$ κάθετη στη $BC$.Θεωρούμε $I$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ABC$ , $I_{B}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ADB$, $I_{C}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup ACD$ και $I_{D}$ το έκκεντρο του $\bigtriangleup DI_{B}I_{C}$....
- Σάβ Ιούλ 08, 2017 2:47 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Κινέζικη ἀριθμοθεωρητική
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1204
Re: Κινέζικη ἀριθμοθεωρητική
Καλησπέρα αν και λίγο αργά! Πρώτα απ'όλα ας θεωρήσουμε ότι γίνεται να αναδιατάξουμε τα ψηφία του $2^a$ σε $2^b$ όπου $a<b$ και ας θεωρήσουμε $2^b-2^a$ Τότε επειδή το $2^b$ προέρχεται από τα ίδια ψηφία του $2^a$ από γνωστό λήμμα έχουμε ότι το $9|2^b-2^a$ Επειδή $2^3<10<2^4$ θα έχουμε το πολύ $4$ δυνά...
- Πέμ Ιούλ 06, 2017 9:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Όμορφη άσκηση
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1318
Όμορφη άσκηση
Ποιο είναι το άθροισμα όλων των ακεραίων στο οποίο το σύστημα
δεν έχει πραγματικές λύσεις ;
δεν έχει πραγματικές λύσεις ;