Η αναζήτηση βρήκε 297 εγγραφές

από min##
Δευ Απρ 06, 2020 2:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 340

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Μια σύντομη για την 4.
Παίρνοντας το συμμετρικό I_{A}' του I_{A} ως προς το M βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των A-Nagel,A-Gergonne πως I_{A}' \in EF και επομένως αρκεί EF//MI_{A}.Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου AF/AM=AI/AT=AE/AI_{A} από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο
από min##
Τρί Μαρ 31, 2020 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 313

Re: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Μια σύντομη υπενθύμιση ορισμών (αλά Google Translate :lol: )-αν και κάποιοι από τους παρακάτω δεν είναι οι επίσημοι,είναι αυτοί που βολεύουν για τα παραπάνω: Προβολικότητα μεταξύ δύο σημειοσειρών (=σειρών σημείων) σε ευθείες $l_{1},l_{2}$ είναι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση $f$ που διατηρεί το Διπλ...
από min##
Τρί Μαρ 31, 2020 2:07 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 313

Re: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Βρήκα μια με αρκετή Προβολική που όμως κάνει τη δουλειά: vittassdsko.png Έστω $X \equiv E'E''\cap F'F'',Y \equiv D'D''\cap F'F'',Z \equiv D'D''\cap E'E''$ και $X_{1}\equiv AB\cap YZ,X_{2}\equiv AC\cap YZ,Y_{1}\equiv BC \cap XZ,Y_{2}\equiv BA\cap XZ,Z_{1}\equiv AC\cap XY,Z_{2}\equiv BC\cap XY$ Τότε α...
από min##
Δευ Μαρ 30, 2020 1:12 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 419

Re: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι

4.Επί 2,πλην 3 και στα δύο μέλη και καταλήγει στην 3\geq \sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2} που ισχύει από B-C-S (είναι πχ.\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq \sum (\dfrac{b^2}{b^2+a^2}+\dfrac{c^2}{c^2+a^2}))
από min##
Δευ Μαρ 30, 2020 12:39 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 158

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

4. Έστω ότι μένει ο $k$ στο τέλος. Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής: Για κάθε $i$ που διαιρεί το $k$ και μόνο για αυτά τα $i$,όταν φτάσουμε στο $A_{i}$ η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του $k$ στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το $k$ στο τέλος ,πρέπει να έχει...
από min##
Παρ Μαρ 27, 2020 5:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 281

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

Γεια σας κύριε Βήττα. Μας λείψατε :geek: :lol: Ελπίζω να'στε μια χαρά. Μια λύση ακόμη: Έστω $A'\equiv AD\cap (K)$. Κινούμε το $E$ στον κύκλο του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα $a$. Παρατηρούμε ότι και το $Q$ κινείται στον κύκλο του με την ίδια ταχύτητα (χορδής και εφαπτομένης στο $D$),όπως και το $Z$ μ...
από min##
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 183

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Όπα μισό. Νομίζω δεν ισχύει αυτό για δακτύλιους. Αν πχ. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ τότε ο δακτύλιος των ακεραίων του $K$ έχει βάση την $\left \{1,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right \}$ και όχι την $\left \{ 1,\sqrt{5} \right \}$,παρότι το ελάχιστο πολυώνυμο του $\sqrt{5}$ υπέρ του $\mathbb{Q}$ είναι το $x^2-...
από min##
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:00 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση με κύβο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 315

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

Είναι το https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://mathworld.wolfram.com/FermatsSandwichTheorem.html&ved=2ahUKEwjfhfeY4rfoAhWLShUIHSJ2CXUQFjAAegQIAhAB&usg=AOvVaw0wTAazYoa7PTv6XFE5jQVb&cshid=1585212933768. Από ότι φαίνεται δεν την είχε λύσει ο ίδιος. Μάλιστα στη Wikipedia λέει ότι ...
από min##
Τετ Μαρ 25, 2020 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση με κύβο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 315

Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο

Να αποδειχθεί ότι η Διοφαντική εξίσωση $\displaystyle{ y^2 = x^3 - 2, }$ έχεις λύσεις τις $(x,y) = (3,\pm 5)$. Νομίζω είναι κλασική και οφείλεται στον $Fermat$. Αντιμετωπίζεται με (σχετικά) στοιχειώδη Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.Την αφήνω όποιος θέλει να δοκιμάσει Edit.Βασικά όπως είναι η εκφώνηση,αρκ...
από min##
Δευ Μαρ 23, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Αθροίσματα τετραγώνων
Απαντήσεις: 28
Προβολές: 1014

Re: Αθροίσματα τετραγώνων

Μα δεν έκανα κάτι περίεργο:Η ισότητα τιμών δίνει (και με τη Nullstellensatz) ισότητα πολυωνύμων/συντελεστών.Αν οι πίνακες είναι συμμετρικοί (το παρέλειψα πλήρως παραπάνω) παίρνουμε 2a_{ij}=2b_{ij} \forall i,j-αυτό που θέμε.
Αν πάλι δεν είναι,παίρνουμε a_{ij}+a_{ji}=b_{ij}+b_{ji} \forall i,j.
από min##
Δευ Μαρ 23, 2020 12:12 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διοφαντική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 153

Re: Διοφαντική

$Mod 360$ έχουμε: $4^x\equiv 4,(16,64,256,304,136,184) mod 360$ (στην παρένθεση οι κλάσεις που επαναλαμβάνονται) $3^y\equiv 3,(9,27,81,243) mod 360$ (ομοίως) $7^z\equiv (7,49,343,241,247,289,223,121,127,169,103,1) mod 360$ (ομοίως). Βλέπουμε εύκολα ότι η εξίσωση δεν μπορεί να ισχύει $mod 360$ για κλ...
από min##
Κυρ Μαρ 22, 2020 4:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 979

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Είναι άμεση εφαρμογή και της "Ισοπτικής Υπερβολής" που έχω χαρακτηρίσει στο :logo: μερικές φορές..
από min##
Κυρ Μαρ 22, 2020 12:25 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Αθροίσματα τετραγώνων
Απαντήσεις: 28
Προβολές: 1014

Re: Αθροίσματα τετραγώνων

Χάνω κάτι ή δεν περιορίζεται σε quadratic forms; Ισχύει νομίζω για τυχαία πολυώνυμα $n$ μεταβλητών. Η απόδειξη σχετικά απλή με επαγωγή (για $n=1$ το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας,και από κει και πέρα γράφουμε το Πολυώνυμό μας ως $q_{1}(x_{1},x_{2},..x_{n-1})x_{n}^k+q_{2}(x_{1},x_{2},..x_{n-1})x_{n...
από min##
Πέμ Μαρ 19, 2020 12:46 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (12), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 350

Re: Τεστ Εξάσκησης (12), Μεγάλοι

Εναλλακτικά μα ισοδύναμα για το 2: Παίρνουμε ένα βέλτιστο configuration,ένα δηλαδή με το ελάχιστο περίσσευμα και έστω ότι αυτό είναι μη μηδενικό.Έστω ότι περισσεύει ένα καρπούζι μάζας $W$. Τότε αφού δεν μπορούμε να το προσθέσουμε σε κανένα φορτηγό,έχουμε από υπόθεση (όπως παραπάνω) $W>6$. Έτσι: Από ...
από min##
Τετ Μαρ 18, 2020 7:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Κυρτή Ανάλυση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 342

Re: Κυρτή Ανάλυση

Έστω $(a_{1},a_{2},..a_{n})$ ένα σημείο με $\left | a_{i} \right | \leq 1 \forall i$. Έστω $S=\left \{ \pm 1 \right \}^{n}$ το σύνολο των σημείων του αριστερού μέλους. Θεωρούμε τα σημεία $A_{1}=(a_{1},a_{2},..,a_{n-1},1),A_{2}=(a_{1},a_{2},..,a_{n-1},-1)$. Από επαγωγική υπόθεση μπορούμε να γράψουμε ...
από min##
Τετ Μαρ 18, 2020 3:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (12), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 350

Re: Τεστ Εξάσκησης (12), Μεγάλοι

Γεωμε4:
Έστω S\equiv DI\cap (I).
Προβάλλοντας την αρμονική S(P,D,F,E) λαμβάνουμε πως το Q ανήκει στην πολική του DS\cap EF.
Επομένως AQ//BC.
Προβάλλοντας τώρα την αρμονική D(E,F,A,B) στην AQ παίρνουμε το ζητούμενο..
από min##
Τετ Μαρ 18, 2020 2:14 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Κυρτή Ανάλυση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 342

Re: Κυρτή Ανάλυση

Με επαγωγή στο d νομίζω είναι απλό να δείξουμε ότι το πρώτο περιέχει το δεύτερο:
Απλώς προβάλλουμε σε κάθε διάσταση ξεχωριστά (αρκεί να επιλέξουμε 2) και η κυρτότητα διατηρείται.
Το αντίστροφο δεν έχει και ιδιαίτερο ενδιαφέρον-προκύπτει εξ'ορισμού της κυρτής θήκης.
από min##
Τρί Μαρ 17, 2020 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ακολουθία με ακέραιους όρους!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 136

Re: Ακολουθία με ακέραιους όρους!

Καλησπέρα.Τα μόνα δυνατά είναι τα τετράγωνα ακεραιων: Γράφουμε τη δοσμένη ως $x_{n+1}-2x_{n}-1=\sqrt{3x_{n}^2+6x_{n}+k}$ και υψώνουμε στο τετράγωνο. Προκύπτει η $x_{n+1}^2+x_{n}^2-4x_{n+1}x_{n}-2x_{n+1}-2x_{n}-k=0$. Θέτοντας $n\rightarrow n+1$ και αφαιρώντας τις δύο σχέσεις προκύπτει πως $(2)(x_{n+2...
από min##
Κυρ Μαρ 15, 2020 11:15 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Μια Ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 267

Re: Μια Ισότητα

Καλησπέρα Σωτήρη. Νομίζω βρήκα κάτι στοιχειώδες με επαγωγή: Για $n=3$ το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Έστω ότι ισχύει για $n=k-1$. Ας είναι $A'_{k}$ το σύνολο των άρτιων μεταθέσεων για τις οποίες ισχύει πως τα στοιχεία $1,2$ βρίσκονται από τη θέση $2$ και πάνω. Ας είναι και $B'_{k}$ το αντίστοιχο σύνο...
από min##
Σάβ Μαρ 14, 2020 6:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα" 2020
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 289

Re: Ολυμπιάδα "Υψηλά Πρότυπα" 2020

Αλλιώς για το 4: Φιξάρουμε το $P$ και κουνάμε το $Q$. Τότε υπάρχουν το πολύ $2$ θέσεις του $Q$ ώστε να ισχύει κάποια υπόθεση. Πράγματι,ας είναι $PQ\cap BD\equiv X,AH\cap PQ \equiv Y$. Για το ευθύ: 'Εχουμε την προβολικότητα $P(N)\rightarrow M(Q)$-που είναι προοπτικότητα λόγω κοινής ακτίνας και την πρ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση