Η αναζήτηση βρήκε 310 εγγραφές

από min##
Δευ Ιουν 08, 2020 12:19 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: συμετρικά ως προς το κέντρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 466

Re: συμετρικά ως προς το κέντρο

Άλλη μια:
Από εδώ https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... ές#p320494 τα A,D,Z,B,E,C βγαίνουν ομοκωνικά.Το κέντρο της κωνικής είναι το O λόγω συμμετρίας,οπότε αν εστιάσουμε στην ενέλιξη της οικογένειας κωνικών εκ των D,Z,E,C το ζητούμενο έπεται άμεσα.
από min##
Τρί Μάιος 26, 2020 8:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ταυτότητα με τρεις Euler
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 319

Re: Ταυτότητα με τρεις Euler

Πράγματι μπορούμε να θεωρήσουμε τους πίνακες \begin{bmatrix} a& b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} x &z&y\\ y& x &z\\ z& y& x \end{bmatrix} και να τους πολλαπλασιάσουμε/πάρουμε ορίζουσες.
από min##
Σάβ Μάιος 23, 2020 7:49 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Σωστό ή Λάθος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 169

Re: Σωστό ή Λάθος

Μάλιστα από Darboux (Fermat) είναι μονότονη
από min##
Σάβ Μάιος 23, 2020 7:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο.--------->Bulletin
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1944

Re: Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο.--------->Bulletin

Καλησπέρα.Λίγα λόγια και από εμένα για αυτό το θεώρημα: Μπορούμε να το δούμε ως ειδική περίπτωση του "Gliding Principle": Εκείνο μας λέει ότι δεδομένων δύο (ομορρόπως) ομοίων πολυγώνων (ή σχημάτων γενικότερα) αν πάρουμε σε κάθε τμήμα που ενώνει ομόλογα σημεία αυτών,σημείο που να κόβει το τμήμα σε στ...
από min##
Κυρ Μάιος 17, 2020 9:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δύο σταθερά σημεία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 372

Re: Δύο σταθερά σημεία

Παίρνουμε αντιστροφή με κέντρο σημείο πάνω στον $K$. Έστω $k$ η ευθεία-εικόνα του $(K)$ και $(L)'$ η εικόνα του $(L)$.Η αντιστροφή διατηρεί γωνίες μεταξύ καμπύλων,οπότε οι κύκλοι $(O)$ κινούνται ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται στην $k$ και οι ίδιοι να είναι ορθογώνιοι στον $(L)'$.Έτσι παίρνουμε εύ...
από min##
Δευ Μάιος 11, 2020 5:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εξίσου ίσα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 165

Re: Εξίσου ίσα

Διακρίνω μια αγάπη για "πρόσφατες" IMO Shortlist :lol: :lol:
από min##
Κυρ Μάιος 03, 2020 6:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία, δια του κέντρου του κύκλου Euler τριγώνου.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 533

Re: Μεταβλητή ευθεία, δια του κέντρου του κύκλου Euler τριγώνου.

Για την αρχική: Καλούμαστε να δείξουμε ότι η $K_{\theta}K_{\theta -\frac{\pi}{2} }$ περνάει από το κέντρο του $Euler$ όπου τα παραπάνω συμβολίζουν τους πόλους-κέντρα προοπτικότητας της Υπερβολής $Kiepert$ των αντίστοιχων ισοσκελών τριγώνων που προκύπτουν από το θεώρημα $Jacobi$. Με άλλα λόγια,τα $K,...
από min##
Κυρ Απρ 26, 2020 2:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 431

Re: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα

Σημείωση:Το συμπέρασμα εξακολουθεί να ισχύει και για κανονικά στερεά ή και γενικά για στερεά εγγράψιμα σε σφαίρα με σταθερό κέντρο βάρους κατόπιν περιστροφής.
Υπάρχει ικανοποιητική θεωρία που τα αντιμετωπίζει όλα αυτά και κάποια αρκετά γενικότερα.Ίσως επανέλθω κάποια στιγμή στο μέλλον.
από min##
Παρ Απρ 24, 2020 10:31 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Σημεία τομής δύο παραβολών
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 922

Re: Σημεία τομής δύο παραβολών

Βγαίνει με κανόνα προσήμων του Descartes συν κάποιο casework νομίζω
από min##
Κυρ Απρ 19, 2020 8:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1491

Re: EGMO 2020

Για την 3. Αν προεκτείνουμε τις πλευρές του εξαγώνου,φτιάχνουμε τα ισόπλευρα (πρώτη συνθήκη) $XYZ,X'Y'Z'$-$X\equiv AB\cap EF,X'\equiv AF\cap BC$ -ωρολογιακά,$X'XY'YZ'Z$. Από τη δεύτερη συνθήκη,το σημείο τομής των διχοτόμων (έστω $I$) έχει ίδιες τριγραμμικές ως προς τα $2$ τρίγωνα,και επειδή σε ισόπλ...
από min##
Παρ Απρ 17, 2020 4:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 471

Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

Το M είναι το σημείο Miquel του εγγράψιμου (τεμνόμενου) τετραπλεύρου BCAD.
Αν X\equiv AD\cap BC το M θα ανήκει στη διαγώνιο SX και επιπλέον θα είναι OM,SX κάθετες κλπ.(γνωστό λήμμα για σημεία Miquel εγγράψιμων τετραπλεύρων).
από min##
Πέμ Απρ 16, 2020 8:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πάνω στα μέσα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 241

Re: Πάνω στα μέσα

Καλησπέρα.Έστω $X\equiv AB\cap bis(E\angle),Y\equiv CD\cap bis(E\angle),Z\equiv AD\cap bis(S\angle),W\equiv BC\cap bis(S\angle)$.Με ένα απλό κυνήγι λόγων το $XYZW$ είναι ρόμβος.Θέμε να δείξουμε ότι το κέντρο του ανήκει στην ευθεία $Newton-Gauss$ του $ABCD$.Αυτό γίνεται με το Θεώρημα των ίσων λόγων γ...
από min##
Τρί Απρ 14, 2020 9:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ισοτομικές συγκλίσεις...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 831

Re: Ισοτομικές συγκλίσεις...

1.Είναι γνωστό ότι τα $A_{1},A_{1}',B_{1},B_{1}',C_{1},C_{1}'$ είναι ομοκωνικά. Έστω $X_{1}\equiv B_{1}C_{1}' \cap B_{1}'C_{1}$ και κυκλικά τα $Y_{1},Z_{1}$. Από Πάππο (ή $Pascal$) στο $B_{1}'C_{1}A_{1}'B_{1}C_{1}'A_{1}$ τα $X_{1},Y_{1},Z_{1}$ είναι συνευθειακά,οπότε οι πολικές τους είναι συντρέχουσ...
από min##
Δευ Απρ 06, 2020 2:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 616

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Μια σύντομη για την 4.
Παίρνοντας το συμμετρικό I_{A}' του I_{A} ως προς το M βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των A-Nagel,A-Gergonne πως I_{A}' \in EF και επομένως αρκεί EF//MI_{A}.Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου AF/AM=AI/AT=AE/AI_{A} από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο
από min##
Τρί Μαρ 31, 2020 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 427

Re: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Μια σύντομη υπενθύμιση ορισμών (αλά Google Translate :lol: )-αν και κάποιοι από τους παρακάτω δεν είναι οι επίσημοι,είναι αυτοί που βολεύουν για τα παραπάνω: Προβολικότητα μεταξύ δύο σημειοσειρών (=σειρών σημείων) σε ευθείες $l_{1},l_{2}$ είναι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση $f$ που διατηρεί το Διπλ...
από min##
Τρί Μαρ 31, 2020 2:07 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 427

Re: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7

Βρήκα μια με αρκετή Προβολική που όμως κάνει τη δουλειά: vittassdsko.png Έστω $X \equiv E'E''\cap F'F'',Y \equiv D'D''\cap F'F'',Z \equiv D'D''\cap E'E''$ και $X_{1}\equiv AB\cap YZ,X_{2}\equiv AC\cap YZ,Y_{1}\equiv BC \cap XZ,Y_{2}\equiv BA\cap XZ,Z_{1}\equiv AC\cap XY,Z_{2}\equiv BC\cap XY$ Τότε α...
από min##
Δευ Μαρ 30, 2020 1:12 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 617

Re: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι

4.Επί 2,πλην 3 και στα δύο μέλη και καταλήγει στην 3\geq \sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2} που ισχύει από B-C-S (είναι πχ.\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq \sum (\dfrac{b^2}{b^2+a^2}+\dfrac{c^2}{c^2+a^2}))
από min##
Δευ Μαρ 30, 2020 12:39 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 648

Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί

4. Έστω ότι μένει ο $k$ στο τέλος. Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής: Για κάθε $i$ που διαιρεί το $k$ και μόνο για αυτά τα $i$,όταν φτάσουμε στο $A_{i}$ η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του $k$ στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το $k$ στο τέλος ,πρέπει να έχει...
από min##
Παρ Μαρ 27, 2020 5:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 423

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

Γεια σας κύριε Βήττα. Μας λείψατε :geek: :lol: Ελπίζω να'στε μια χαρά. Μια λύση ακόμη: Έστω $A'\equiv AD\cap (K)$. Κινούμε το $E$ στον κύκλο του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα $a$. Παρατηρούμε ότι και το $Q$ κινείται στον κύκλο του με την ίδια ταχύτητα (χορδής και εφαπτομένης στο $D$),όπως και το $Z$ μ...
από min##
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 700

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Όπα μισό. Νομίζω δεν ισχύει αυτό για δακτύλιους. Αν πχ. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ τότε ο δακτύλιος των ακεραίων του $K$ έχει βάση την $\left \{1,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right \}$ και όχι την $\left \{ 1,\sqrt{5} \right \}$,παρότι το ελάχιστο πολυώνυμο του $\sqrt{5}$ υπέρ του $\mathbb{Q}$ είναι το $x^2-...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση