Η αναζήτηση βρήκε 263 εγγραφές

από min##
Κυρ Φεβ 16, 2020 7:25 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Θέμα στον κύκλο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 137

Re: Θέμα στον κύκλο

Edit:Τελικά βγαίνει με Γραφήματα:Αν βάλουμε κορφές στα εσωτερικά των χωρίων και τις ενώνουμε ανν οι περιοχές συνορεύουν το Γράφημα που προκύπτει είναι διμερές οπότε μπορούμε να πάρουμε για υποσύνολα τις 2 κλάσεις κλπ..
από min##
Κυρ Φεβ 16, 2020 1:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεσοκάθετος για Αρχιμήδη!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 223

Re: Μεσοκάθετος για Αρχιμήδη!

Καλησπέρα σε όλους. Αρχικά παρατηρούμε πως $B,X,Y$ συνευθειακά-λόγω Σπειροειδούς Ομοιότητας. Ακόμα,είναι απλό πως $XAB\angle=YAB\angle,DAB\angle=CAB\angle$. Στο σχήμα του Προδρόμου: Αν οι $QO_{1},QO_{2}$ τέμνουν τον $(AXY)$ στα $K,L$ θα είναι $KL,AB$ κάθετες αφού $AB$ διχοτόμος της $XAY\angle$ και $...
από min##
Παρ Φεβ 14, 2020 1:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: 2 Θέματα στις Κωνικές
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 996

Re: 2 Θέματα στις Κωνικές

Επιτρέψτε μου να παρέμβω :) : Με αυτό το εξαιρετικό Θεώρημα υπάρχει πλέον σύνδεση των 2 θεμάτων (την οποία προφανώς δεν είχα σκεφτεί :lol: ): Πράγματι τα μέλη της οικογένειας των κωνικών που περνάνε από τα $K,L,M,N$ έχουν κάθετους/παράλληλους άξονες στους άξονες της $\alpha$(οι το πολύ $2$ παραβολές...
από min##
Πέμ Φεβ 13, 2020 1:24 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: 2 Θέματα στις Κωνικές
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 996

Re: 2 Θέματα στις Κωνικές

Καλησπέρα,ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και συγγνώμη για την καθυστέρηση. Ομολογώ πως δεν έχω τσεκάρει πλήρως τις πράξεις του κ. Γιώργου. Όπως είδα πάντως την Αναλυτική μέθοδο είχα σκεφτεί να εργαστώ με οικογένειες Κωνικών και βρήκα μια αυτοσχέδια λύση παρόμοια όμως στη φιλοσοφία εκείνης του κ. Αλέξαν...
από min##
Δευ Φεβ 10, 2020 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Σκοτούρες.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 178

Re: Σκοτούρες.

Στη γενική του μορφή (τυχαίο τρίγωνο): Η συμμετρική αντιστροφή κέντρου $A$ και δύναμης $\sqrt_{AB\cdot AC}$ στέλνει τον κύκλο αυτό (μικτεγγεγραμμένο ) στον $A-$ Παρεγγεγραμμένο (ακτίνα $R_{I_{A}}$) Από γνωστούς τύπους αντιστροφής είναι $R_{J}=\frac{b c\cdot R_{I_{A}}}{AI_{A}^2-R_{I_{A}}^2}$ τα οποία...
από min##
Κυρ Φεβ 09, 2020 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Απορία-συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 134

Re: Απορία-συναρτησιακή

Πρώτα από όλα το $a$ στον εκθέτη δεν μπορεί να είναι οτιδήποτε αν το π.ο. της $f$ είναι το $\mathbb{R}$. Από κει και πέρα,πέραν αυτών που ανέφερες (συν ακόμα των $f(x)=0,1$) μπορούν να προκύψουν πολύ αλλόκοτες-όπως προκύπτουν και στην $Cauchy$. Μπορείς να το πας ως εξής:Το $P(0,0)$ δίνει $f(0)=0$ ή ...
από min##
Πέμ Ιαν 30, 2020 8:03 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο με ακέραιες τιμές ή όχι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 235

Re: Πολυώνυμο με ακέραιες τιμές ή όχι

Στα γρήγορα: Έστω ότι υπάρχουν πεπερασμένες τέτοιες τιμές,μια εκ των οποίων η $k$. Εφόσον έχουμε άπειρες ακέραιες τετμημένες με ακέραιες τεταγμένες,μπορούμε να κάνουμε Interpolate για $deg(P(x))+1$ ακέραια ζεύγη τιμών και αυτό μας λέει ότι το $P(x)$ έχει Ρητούς συντελεστές. Μπορούμε να δούμε πως αν ...
από min##
Τετ Ιαν 29, 2020 6:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από κύκλους
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Re: Συνευθειακά από κύκλους

Καλησπέρα. Εκτός φακέλου: Δεν είναι δύσκολο να δούμε-θεωρώντας αρνητική αντιστροφή κέντρου $H$-ότι αρκεί ο κύκλος $(A,AF')\equiv(A,AG')$-όπου $F',G'\equiv (ABC)\cap FG$ να μένει σταθερός σε αυτήν την αντιστροφή. Ας είναι $D$ η προβολή του $A$ στην $BC$. Τότε $(D,H)$ αντίστροφα ως προς τον $(A)$(απλό...
από min##
Σάβ Ιαν 25, 2020 1:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: 2 Θέματα στις Κωνικές
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 996

2 Θέματα στις Κωνικές

1) Να δειχτεί ότι τα $4$ σημεία στα οποία τέμνονται $2$ ελλείψεις με κάθετους μεταξύ τους άξονες είναι ομοκυκλικά. β)γενικεύστε 2)Δίνονται $2$ κύκλοι και μια Κωνική που δεν είναι κύκλος,που τέμνονται σε $2$ κοινά για όλους σημεία. Να δειχτεί ότι τα $4$ σημεία τομής που περισσεύουν (κύκλου/κωνικής κα...
από min##
Πέμ Ιαν 23, 2020 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 504

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).

Διαφορετικά: Καθώς μεταβάλλουμε το $D$,οι απεικονίσεις $D\rightarrow E$ και $D\rightarrow Z$ είναι προβολικές.(ίσοι διπλοί λόγοι). Η τομή $BE,CZ$,δηλαδή το $P$, κινείται επομένως σε κωνική που διέρχεται από τα $B,C$ και προβολικά (ίδιοι διπλοί λόγοι-απλώς σε δευτεροβάθμια καμπύλη) ως προς $D$ από τι...
από min##
Τρί Ιαν 21, 2020 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 352

Re: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

Το διωνυμικό από μέσα γράφεται$\frac{(1+\sqrt{3})^{2m+1}+(1-\sqrt{3})^{2m+1}}{2}$. Αυτό δίνει την αναδρομική με τύπο $a_{n}=2a_{n-1}+2a_{n-2},a_{1}=1,a_{2}=4$ από την οποία παίρνουμε τους περιττούς όρους (με περιττό δείκτη εννοώντας) για το παραπάνω άθροισμα. Με λίγη σκέψη,οι περιττοί όροι ικανοποιο...
από min##
Σάβ Ιαν 18, 2020 12:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 6792

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Βρε άνθρωποι,χαλαρά :lol: .
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα) :)
από min##
Παρ Ιαν 17, 2020 1:37 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συμμετρίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 308

Re: Συμμετρίες

Λύση Θεωρούμε την ομάδα $G$ που δρα στα στοιχεία του συνόλου $A$ των $4^4$ (μεγάλων) τετραγώνων που προκύπτουν από τις στροφές των μικρών τετραγώνων και περιέχει τα στοιχεία "περιστροφή κατά $0$ μοίρες δεξιόστροφα","..κατά $90$","..κατά $180$" και "κατά $270$". Βρίσκουμε πως: Η πρώτη στροφή φιξάρει ...
από min##
Παρ Ιαν 17, 2020 12:59 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συμμετρίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 308

Re: Συμμετρίες

Θεωρώντας ως ισοδύναμα τα μεγάλα τετράγωνα που προκύπτουν από περιστροφή,είναι η απάντηση
70;.Αν όχι, δεν έχει νόημα να βάλω λύση..
από min##
Τρί Ιαν 14, 2020 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 222

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Κάνω λάθος; Έστω ότι υπάρχουν περίοδοι $\alpha ,\beta$ ώστε $\alpha /\beta \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$. Τότε το σύνολο $S=[n\alpha +m\beta /n,m\in \mathbb{Z}]$ είναι υποσύνολο του συνόλου των περιόδων της $f$.Επιπλέον είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$:Εφόσον είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση/αφαίρεση,είν...
από min##
Παρ Ιαν 10, 2020 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 172

Re: Τετράγωνα!

Και με στροφή Διανύσματος(κλέβω από το Διονύση σε παρόμοια άσκηση): Θεωρούμε την αριστερόστροφη στροφή κατα $90$ μοίρες,έστω $\varphi$. Είναι $\varphi(\vec{KZ}+\vec{ZE})=\varphi(\vec{KZ})+\varphi(\vec{ZE})=\vec{KN}+\vec{FZ}=\vec{FD}$ και όμοια $\varphi(\vec{EC}+\vec{CB})=\vec{FD}$,δηλαδή $K,E,B$ συν...
από min##
Παρ Ιαν 10, 2020 3:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 456

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 15.

Καλησπέρα. Προσπάθησα να αποφύγω τη σύντομη λύση με Προβολική οπότε έκανα το ακόλουθο: Παίρνω αρχικά αντιστροφή κέντρου $D$ και τυχαίας ακτίνας. Με λίγη σκέψη το πρόβλημα γίνεται (τα γράμματα δεν αντιστοιχίζουν): Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με ορθόκεντρο $H$ και $DE F$ το ορθικό τρίγωνο.Στους κύκλους $(BD...
από min##
Τρί Ιαν 07, 2020 2:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από παραλληλίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 234

Re: Συνευθειακά από παραλληλίες

Είναι ο Πάππος στην ABC και στην ευθεία στο άπειρο :)
από min##
Δευ Ιαν 06, 2020 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Τεχνητή Παραλληλία
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 129

Τεχνητή Παραλληλία

Προειδοποίηση:Η παρακάτω άσκηση φτιάχτηκε "για πλάκα" και αποτελεί σύνθεση αποτελεσμάτων παρά δημιουργία οπότε μη χάσει κανείς το χρόνο του άδικα :lol: .(Μπορεί βέβαια να υπάρχει και απλή λύση-δεν το ξέρω). Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και $l$ η ευθεία $Euler$ του. Η $l$ τέμνει τον $(ABC)$ στα $S,S'$. Ας ε...
από min##
Σάβ Ιαν 04, 2020 7:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 676

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Αφού γράψεις το $P(x)$ ως $a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$,όπου τα $k_{i}$ δηλώνουν τις πολλαπλότητες των (μιγαδικών) ριζών,η εξίσωση γίνεται $a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}=Q(x)^2$. Υπόθεσε προς άτοπο πως υπάρχει $k_{j}$ με $k_{j} \equiv 1...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση