Η αναζήτηση βρήκε 322 εγγραφές

από min##
Σάβ Οκτ 03, 2020 12:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα Vittasko
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 390

Re: Συνευθειακότητα Vittasko

Καλό,αν και όσους περισσότερους βαθμούς ελευθερίας έχει το πρόβλημα,τόσο πιο "εύκολη" γίνεται μια λύση με moving points :) . Μια άλλη λύση: Ονομάζουμε $X\equiv DQ\cap FT,Y\equiv ES\cap FT,Z\equiv ES\cap DQ$. Ας είναι $A'$ η προβολή του $A$ στην $ES$,$B'$ του $B$ στην $DQ$ και $C'$ του $C$ στην $FT$....
από min##
Πέμ Οκτ 01, 2020 1:03 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2020
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 2239

Re: ΙΜΟ 2020

Να ευχαριστήσω και γω με τη σειρά μου το :logo: ,από τους "φτασμένους" μέχρι και τους νεώτερους για τη συνολική προσφορά.Κυρίως βέβαια τους κ.Βαρβεράκη/Συγκελάκη από το παράρτημα Ηρακλείου ,καθώς και οποιονδήποτε άλλο συνεισφέρει ανιδιοτελώς προς τη διαμόρφωση αυτής της ιδιαίτερης "Εκπαιδευτικής δια...
από min##
Τετ Σεπ 30, 2020 7:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ίσοι λόγοι
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 230

Re: Ίσοι λόγοι

Καλησπέρα.Δεν ξέρω αν ικανοποιεί: Έστω $P\equiv AC\cap BD,Q\equiv (APD)\cap(BPC)$. Το $Q$ είναι τότε το κέντρο της ομοιότητας που στέλνει το $AD$ στο $CB$ και το $AC$ στο $DB$. Στέλνει λοιπόν και το μέσο $N$ του $DB$ στο μέσο $M$ του $AC$ οπότε $(PNQM)$ εύκολα εγγράψιμο. Το $Q$ λοιπόν βγαίνει το σημ...
από min##
Σάβ Σεπ 12, 2020 8:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Υπερ-βολικό τρίγωνο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 287

Re: Υπερ-βολικό τρίγωνο

Μια προβολική λύση εντελώς εκτός φακέλου-έτσι για την πλάκα της: Θεωρούμε $H'$ το σημείο που η υπερβολή τέμνει το $A$ ύψος του $ABC$. Η υπερβολή είναι ισοσκελής/ορθογώνιος οπότε τέμνει την ευθεία στο άπειρο σε σημεία με κάθετες διευθύνσεις. Η εκφυλισμένη κωνική $AH'\cap BC$ είναι και αυτή ορθογώνιο...
από min##
Παρ Αύγ 28, 2020 7:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Βραζιλιάνικα...
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 676

Re: Βραζιλιάνικα...

Είναι ψιλοστάνταρ η διαδικασία (για $a$ περιττό-τα άλλα εύκολα)-αν και εμπεριέχει λίγη "τύχη"). Για να τη δούμε: Έστω $a=2k+1,k\in \mathbb{N}_{0}$. Η δοθείσα γράφεται ως $3\cdot (3^k)^{2}-2b^2=1$. Μελετάμε λοιπόν τη διοφαντική $3x^2-2y^2=1$ (1) και ελπίζουμε να περιορίσουμε κάπως τις δυνάμεις του $3...
από min##
Τρί Αύγ 25, 2020 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εγγράψιμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 157

Re: Εγγράψιμο

Καλησπέρα. Είναι $DAK\angle=A\angle+2B\angle-180=B\angle-C\angle$ (υποθέτοντας wlog ότι $B\angle>C\angle$). Τόσο ακριβώς είναι και η $DEK\angle$ οπότε $ABDKE$ εγγράψιμο.Είναι $AD//TA'$ ($A'$ αντιδιαμετρικό του $A$ στον $ABC$) οπότε από $Reim's$ $BKTA'$ εγγράψιμο. Από $Reim's$ στους $(ABDKE),(ABC)$ π...
από min##
Πέμ Αύγ 20, 2020 8:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εγγραφή 2
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 417

Re: Εγγραφή 2

Τι φάση με το φάκελο :lol: :lol:
(Φιλικά πάντα)
Δεν έχω να προσθέσω λύση (το ίδιο έκανα περίπου)

Υγ. Πάντως αν κρίνουμε με βάση το σήμερα..
από min##
Δευ Αύγ 03, 2020 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικά έγκεντρα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 779

Re: Ομοκυκλικά έγκεντρα

Καλησπέρα. Εξαιρετικό πρόβλημα-αν και ψιλοαδύνατο να λυθεί (συνθετικά) χωρίς τη βοήθεια λογισμικού. Η παρακάτω λύση είναι μεν μακροσκελής,αλλά συνδυάζει πολλά πράγματα οπότε: Λήμμα 01. (χωρίς σχήμα) Έστω τρίγωνο $ABC$ ,$D,E,F$ τα μέσα των τόξων $BC,CA,AB$ και $X$ τυχαίο σημείο στο μικρό τόξο $BC$. Α...
από min##
Τετ Ιούλ 29, 2020 9:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλικές Αναζητήσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 305

Κυκλικές Αναζητήσεις

Μια "φρέσκια": Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $O$ το περίκεντρό του. Έστω $l$ μια ευθεία που περνά από το $O$.Ορίζουμε ως $f_{O}(l)$ το τρίγωνο που ορίζεται από τις συμμετρικές της $l$ προς τις $AB,BC,CA$ και ως $(f_{O}(l))$ τον περίκυκλο του τριγώνου αυτού. α)Νδο. ο $(f_{O}(l))$ δεν είναι δυνατό...
από min##
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Περίεργη(;) Ιδιοκατασκευή
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 241

Περίεργη(;) Ιδιοκατασκευή

Μετά από καιρό: Έστω τρίγωνο $ABC$ και σημεία $D,E,F,G,H,I$ ώστε τα $D,E$ να βρίσκονται στην $BC$ με το $D$ πιο κοντά στο $B$,τα $F,G$ στην $AC$ με το $F$ πιο κοντά στο $C$ και τα $H,I$ στην $AB$ με το $H$ πιο κοντά στο $A$. Ας είναι $K\equiv AD \cap CI,L\equiv BF\cap CI,M\equiv AE\cap BF, N\equiv C...
από min##
Πέμ Ιούλ 23, 2020 1:34 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μια "ευκολούτσικη" παραλληλία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 313

Re: Μια "ευκολούτσικη" παραλληλία

Ας προσθέσω άλλες 2: 1).Αν η εκ του $D$ παράλληλη στην $BC$ τέμνει την εκ του $C$ παράλληλη στην $AD$ στο $T'$,τότε με έναν Πάππο στις $(A,D,\infty_{AD}),(B,C,\infty_{BC})$ λαμβάνουμε ότι $S,T,T'$ συνευθειακά.Αν $X$ η τομή $AD,BC$,η ομοιοθεσία κέντρου $X$ και λόγου $2$ δίνει πλέον το ζητούμενο. 2)Πα...
από min##
Τρί Ιούλ 21, 2020 1:19 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
Απαντήσεις: 75
Προβολές: 9798

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 21, 2020 5:51 am
Ελλάδα είναι εδώ. Ανοργάνωτη χώρα.
Το σύστημα των Πανελλαδικών όμως τυχαίνει να είναι από τα πιο οργανωμένα-άσχετα αν προκύπτουν τέτοιου είδους "αδικίες"
από min##
Δευ Ιουν 08, 2020 12:19 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: συμετρικά ως προς το κέντρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 811

Re: συμετρικά ως προς το κέντρο

Άλλη μια:
Από εδώ https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... ές#p320494 τα A,D,Z,B,E,C βγαίνουν ομοκωνικά.Το κέντρο της κωνικής είναι το O λόγω συμμετρίας,οπότε αν εστιάσουμε στην ενέλιξη της οικογένειας κωνικών εκ των D,Z,E,C το ζητούμενο έπεται άμεσα.
από min##
Τρί Μάιος 26, 2020 8:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ταυτότητα με τρεις Euler
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 723

Re: Ταυτότητα με τρεις Euler

Πράγματι μπορούμε να θεωρήσουμε τους πίνακες \begin{bmatrix} a& b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} x &z&y\\ y& x &z\\ z& y& x \end{bmatrix} και να τους πολλαπλασιάσουμε/πάρουμε ορίζουσες.
από min##
Σάβ Μάιος 23, 2020 7:49 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Σωστό ή Λάθος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 500

Re: Σωστό ή Λάθος

Μάλιστα από Darboux (Fermat) είναι μονότονη
από min##
Σάβ Μάιος 23, 2020 7:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο.--------->Bulletin
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 2513

Re: Θεώρημα των ίσων λόγων στο τετράπλευρο.--------->Bulletin

Καλησπέρα.Λίγα λόγια και από εμένα για αυτό το θεώρημα: Μπορούμε να το δούμε ως ειδική περίπτωση του "Gliding Principle": Εκείνο μας λέει ότι δεδομένων δύο (ομορρόπως) ομοίων πολυγώνων (ή σχημάτων γενικότερα) αν πάρουμε σε κάθε τμήμα που ενώνει ομόλογα σημεία αυτών,σημείο που να κόβει το τμήμα σε στ...
από min##
Κυρ Μάιος 17, 2020 9:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δύο σταθερά σημεία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 629

Re: Δύο σταθερά σημεία

Παίρνουμε αντιστροφή με κέντρο σημείο πάνω στον $K$. Έστω $k$ η ευθεία-εικόνα του $(K)$ και $(L)'$ η εικόνα του $(L)$.Η αντιστροφή διατηρεί γωνίες μεταξύ καμπύλων,οπότε οι κύκλοι $(O)$ κινούνται ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται στην $k$ και οι ίδιοι να είναι ορθογώνιοι στον $(L)'$.Έτσι παίρνουμε εύ...
από min##
Δευ Μάιος 11, 2020 5:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εξίσου ίσα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 477

Re: Εξίσου ίσα

Διακρίνω μια αγάπη για "πρόσφατες" IMO Shortlist :lol: :lol:
από min##
Κυρ Μάιος 03, 2020 6:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία, δια του κέντρου του κύκλου Euler τριγώνου.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 875

Re: Μεταβλητή ευθεία, δια του κέντρου του κύκλου Euler τριγώνου.

Για την αρχική: Καλούμαστε να δείξουμε ότι η $K_{\theta}K_{\theta -\frac{\pi}{2} }$ περνάει από το κέντρο του $Euler$ όπου τα παραπάνω συμβολίζουν τους πόλους-κέντρα προοπτικότητας της Υπερβολής $Kiepert$ των αντίστοιχων ισοσκελών τριγώνων που προκύπτουν από το θεώρημα $Jacobi$. Με άλλα λόγια,τα $K,...
από min##
Κυρ Απρ 26, 2020 2:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 455

Re: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων δυνάμεων ως προς σφαίρα

Σημείωση:Το συμπέρασμα εξακολουθεί να ισχύει και για κανονικά στερεά ή και γενικά για στερεά εγγράψιμα σε σφαίρα με σταθερό κέντρο βάρους κατόπιν περιστροφής.
Υπάρχει ικανοποιητική θεωρία που τα αντιμετωπίζει όλα αυτά και κάποια αρκετά γενικότερα.Ίσως επανέλθω κάποια στιγμή στο μέλλον.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση