Η αναζήτηση βρήκε 216 εγγραφές

από min##
Τετ Οκτ 16, 2019 11:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία από τετράγωνα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 202

Re: Παραλληλία από τετράγωνα

..Και η λύση της μιας γραμμής: Αν $KE\cap CL\equiv X$ το δυικό του Desargues' Involution στο $BCEL.PX$ δίνει πως οι $(AB,AL),(AC,AE),(AP,AX)$ είναι συζυγείς σε ενέλιξη.Αφού η ενέλιξη αυτή έχει 2 συζυγή ζεύγη κάθετων ακτινών,θα είναι και το τρίτο ζεύγος ζεύγος κάθετων ακτινών κλπ. Υγ.Εντάξει λίγο παρ...
από min##
Τετ Οκτ 16, 2019 10:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία από τετράγωνα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 202

Re: Παραλληλία από τετράγωνα

Με Προβολική: Μετακινώ το $B$ πάνω σε ευθεία. Όλα τα σημεία μένουν σταθερά εκτός των $K,L,P$.Τα $K,L$ μετακινούνται σε ευθείες (στροφή κέντρου $A$ κατά $45$ και $90$ μοίρες αντίστοιχα) και λόγω της στροφής κινούνται προβολικά ως προς $B$. Έτσι οι $E(L),D(K)$ είναι προβολικές δέσμες,οι $E(L),A(P)$ επ...
από min##
Κυρ Σεπ 29, 2019 5:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 347

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Άλλη μια για τη 2. Έστω $X\equiv DP\cap SE,Y\equiv DQ\cap TE$. Είναι: 1) $STEOA,STPQ$ εγγράψιμα από αντιστροφή κέντρου $O$. 2) $XY,UV,BC$ συντρέχουσες, αφού $(S,X,E,U)=(T,Y,E,V)=-1$ λόγω πολικών. Οπότε αρκεί νδο η $XY$ τέμνει την $BC$ στο συμμετρικό του $B$ ως προς το $D$. Έχω $YDX\angle=POQ\angle=S...
από min##
Κυρ Σεπ 29, 2019 1:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 347

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Για την πρώτη στα γρήγορα:
Το P(x+2,-x) δίνει f(something)=-x^2-2x+f(2) για κάθε x.Επειδή f(2)>-1,το παραπάνω RHS θα μηδενίζει σίγουρα για κάποιο x=k.Το P(x,k) δίνει
f(x)=-xk+k^2.Βάζοντας αυτό στην αρχική βγαίνει μοναδική λύση η f(x)=x+1.
από min##
Σάβ Σεπ 21, 2019 12:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερό σημείο του περίκυκλου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 301

Re: Σταθερό σημείο του περίκυκλου

Γενίκευση: Έστω τρίγωνο $ABC$ και $H$ σημείο στην $BC$.Παίρνουμε μεταβλητό σημείο $P$ επίσης στην $BC$ και $Q$ την τομή $AP,(ABC)$. Τότε ο $(HPQ)$ περνάει από το σημείο που η ισογώνια της ισοτομικής της $AH$ τέμνει τον $(ABC)$. Η απόδειξη,απλή.(Πάρτε πάλι την τομή $NH,(ABC)$ όπου $N$ το "σταθερό" ση...
από min##
Τετ Σεπ 11, 2019 1:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εξωτική ισότητα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 929

Re: Εξωτική ισότητα

Μια πιο γρήγορη στο σχήμα του κ.Βήττα: Από Dual of Desargues involution υπάρχει ενέλιξη κέντρου $D$ που ανταλλάζει τις $(DS,DA),(DP,DT),(DE,DF)$.Προβάλλοντας στην $AB$ και επειδή $DF//AB$,η ενέλιξη γίνεται αρνητική αντιστροφή κέντρου $K$ που ανταλλάζει τα $(A,B),(P,J)$ με $J$ την τομή $DT,AB$.Άρα το...
από min##
Τετ Σεπ 11, 2019 1:04 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εξωτική ισότητα
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 929

Re: Εξωτική ισότητα

Ας είναι $E,F,K,L$ οι τομές των $SP,ST,AB,AC$ με τον $(M)$ και $X$ ο πόλος της $BC$. Επειδή το $X$ ανήκει στην $EF$,καθώς το $S$ κινείται στην $BC$ θα έχουμε $E,F$ προβολικές σημειοσειρές.((αλληλο)προβολή κωνικής από σημείο). Ακόμα,οι $(M(P),K(E)),(M(T),L(F))$ είναι ζεύγη προβολικών δέσμεων (κάθετες...
από min##
Τρί Αύγ 27, 2019 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Το Θεώρημα του Sondat!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1374

Re: Το Θεώρημα του Sondat!

Αυτή η πρόταση «Κάθε ζεύγος Ορθολογικών τριγώνων, στα οποία συμπίπτουν τα δύο ορθοπολικά τους σημεία, είναι και ομολογικά (τρίγωνα)» αποδεικνύεται και με τη χρήση αυτής Τα πολικά αντίστροφα τρίγωνα είναι και ομολογικά (τρίγωνα) . Πράγματι,έστω $ABC,A'B'C'$ τα 2 ορθολογικά τρίγωνα και έστω $O$ το κοι...
από min##
Τρί Αύγ 27, 2019 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά με Έγκεντρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 382

Re: Συνευθειακά με Έγκεντρο

mixtilinear.png Στο σχήμα το $P$ βρίσκεται στην $CE$,$S,T$ είναι τα μέσα των μικρών τόξων $CE,BD$,$I$ το έκκεντρο του $ABC$ $I_{1},I_{2}$ εκείνα των $BED,CED$ αντίστοιχα και $IA_{1}\equiv IA \cap BI_{1},IA_{2} \equiv IA \cap CI_{2}$. Ισχύει πως $(M,P,S),(M,R,T)$ συνευθειακά και από $Sawayama$ τα $I...
από min##
Τρί Αύγ 20, 2019 8:59 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 504

Re: Συναρτησιακή!

Έστω ,$f$ άνω φραγμένη.Επειδή είναι κάτω φραγμένη,το $xf(x)+f(y)$ είναι μη φραγμένο για μεταβλητό $x$ και $y$ σταθερό,ενώ το $yf(x)^{2}+f(y)^{2}$ είναι φραγμένο-άτοπο. Άρα $f$ μη φραγμένη. Ισχύει πως $xf(x)+f(y)/xyf(x)^{2}+yf(x)f(y),xf(x)+f(y)/xyf(x)^{2}+xf(y)^{2}$ δηλαδή και $xf(x)+f(y)/f(y)(xf(y)-...
από min##
Δευ Αύγ 19, 2019 11:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παράωρη Συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 357

Παράωρη Συνευθειακότητα

Έστω τρίγωνο $ABC$ και $I,I_{A},I_{B},I_{C}$ το έκκεντρο και τα παράκεντρά του. Ας είναι $I_{A}',I_{B}',I_{C}'$ τα συμμετρικά των παρακέντρων ως προς τις $BC,AC,AB$ Νδο: 1)Οι $AI_{A}',B_I_{B}',CI_{C}'$ συντρέχουν σε σημείο $X$. 2)Ισχύει πως $XFe=FeI$ όπου $Fe$ το σημείο $Feuerbach$ του $ABC$ (το σημ...
από min##
Τετ Αύγ 14, 2019 4:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες Simson
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 377

Re: Συντρέχουσες ευθείες Simson

Μια απλούστερη για το αρχικό πρόβλημα : Πρόταση: Αν $H_{A},H_{B},H_{C},H_{D}$ τα ορθόκεντρα των $BCD,ACD,ABD,ABC$ τότε τα $AH_{A},BH_{B},CH_{C},DH_{D}$ έχουν κοινό μέσο,έστω $L$. Απόδειξη:Αρκεί $AH_{A}BH_{B}$ παραλληλόγραμμο (αφού θα ισχύει και για τα άλλα..). Όμως είναι προφανώς $AH_{B}//BH_{A}$ κα...
από min##
Τετ Αύγ 14, 2019 12:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν στον Euler
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 413

Re: Συντρέχουν στον Euler

Μια χαρά-μια από αυτές που έχω υπόψη μου και γενικεύεται σε οποιαδήποτε ευθεία που περνάει από το περίκεντρο των ομοίων τριγώνων.
από min##
Τετ Αύγ 14, 2019 12:30 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν στον Euler
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 413

Συντρέχουν στον Euler

Έστω τρίγωνο ABC και DEF το ορθικό του.
Να δειχτεί ότι οι ευθείες Euler των AEF,BDF,CFD συντρέχουν στον κύκλο των 9 σημείων του ABC.
Υγ.Θα ακολουθήσει και γενίκευση
από min##
Δευ Αύγ 12, 2019 7:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες Simson
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 377

Re: Συντρέχουσες ευθείες Simson

Γενίκευση: Έστω τετραπλευρο $ABCD$.Οι ποδικοί κύκλοι οποιασδήποτε κορυφής ως προς το τρίγωνο που ορίζεται από τις άλλες 3,περνάει από το σημείο $Euler-Poncelet$ του τετραπλεύρου.(άρα οι 4 ποδικοί κύκλοι συντρέχουν).Το σημείο αυτό είναι το κέντρο της ισοσκελούς υπερβολής που περνάει από τα $A,B,C,D$....
από min##
Πέμ Αύγ 08, 2019 2:15 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλική ανισότητα!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 795

Re: Κυκλική ανισότητα!

Καλησπέρα. Από Vasc ( :lol: ) είναι $LHS=a^2b^2c^2(a^3b+b^3c+c^3a)\leq \frac{a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$ και συνεπώς αρκεί $(a^2+b^2+c^2)abc\leq 3=\frac{(a+b+c)^5}{3^4}$.Είναι απλό ότι αν$f(a,b,c)=(a+b+c)^5-3^4\cdot abc(a^2+b^2+c^2)$,θα ισχύει (Mixing (γίνεται και πιο σύντομα αλλά αυτό μου 'ρθε πρ...
από min##
Δευ Αύγ 05, 2019 1:44 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια από συντρέχειες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 461

Re: Συντρέχεια από συντρέχειες

coniccgeneral.png Ισχύει και η παρακάτω Προβολική γενίκευση (της γενίκευσης): Στο τρίγωνο $ABC$ κωνική τέμνει τις πλευρές του στα $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$. Οι $AA_{1},AA_{2},BB_{1},BB_{2},CC_{1},CC_{2}$ τέμνουν τον περίκυκλο του $ABC$ στα $A'_{1},A'_{2},B'_{1},B'_{2},C'_{1},C'_{2}$. Τυ...
από min##
Κυρ Αύγ 04, 2019 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια από συντρέχειες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 461

Re: Συντρέχεια από συντρέχειες

Δείχνω μια γενίκευση που υποθέτει πως τα $A_{x},A_{y}..$ βρίσκονται σε κωνική.(Είναι γενίκευση λόγω του θεωρήματος Carnot). Αρκεί να δειχτεί πως $\prod _{cyc}BA'/A'C=1$ (αποτελεί μορφή του Ceva που αποδεικνύεται με νόμο ημιτόνων).Αν φέρουμε τις κοινές εφαπτομένες στα $A',B',C'$ οι οποίες θα τέμνουν ...
από min##
Σάβ Αύγ 03, 2019 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1370

Re: IMC 2019

Μπράβο σε όλους :clap2: :clap2: :coolspeak:
"Δικός" μας είναι και ο Προδρομίδης (jason.prod)
από min##
Παρ Ιούλ 26, 2019 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά και ομοκυκλικά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 354

Re: Συνευθειακά και ομοκυκλικά

Για το α):Έστω ότι η $KL$ τέμνει την $AB$ στο $S*$.Αν φέρω την εφαπτομένη στο $T'$,θα τέμνει την $AB$ σε σημείο $S'$ ώστε $OS=OS'$.(λόγω συμμετρίας).Από Desargues Involution στο εκφυλισμένο $T'T'KL$ με διατέμνουσα την $AB$,θα ισχύει πως τα $(A,B),(P,Q),(S,S*)$ είναι συζυγή σε ενέλιξη.Αφού μια ενέλιξ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση