Επαναφορά για όσους δεν το είδαν.

Φέτος είναι η 12η χρονιά που διοργανώνεται ο European Mathematical Cup, ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου. Ο διαγωνισμός οργανώνεται σε 2 επίπεδα (Juniors, Seniors) με επίπεδο θεμάτων μάλλον λίγο υψηλότερου των αντίστοιχων Βαλκανιάδων. Πρόκειται λοιπόν για καλή "προπό...

Και μια ακόμη: Λήμμα: Αν $X\equiv HI_{a}\cap BC, Y\equiv HI_{b}\cap CA, Z\equiv HI_{c}\cap AB$ τότε τα $X,Y,Z$ είναι συνευθειακά. Απόδειξη: Αν $H_{1},H_{2},H_{3}$ τα συμμετρικά του $H$ στις $BC,CA,AB$, τότε από ριζικούς άξονες τα $H_{2},H_{3},X$ είναι συνευθειακά, όπως και τα $H_{3},H_{1},Y$ και $H_...

Υπενθυμίζω για αυτό το Σάββατο. Καλό θα είναι να μαζευτούμε ένα 20λεπτο πριν (10.40 το πρωί) για να μην ψαχνόμαστε τελευταία στιγμή. Θα χρειαστεί να μεταφερθούμε στην αίθουσα Γ32 (λόγω εξέτασης του τμήματος στην προηγούμενη αίθουσα που ανακοινωσα) αλλά θα τα βρούμε. Μπορούμε για ευκολία να συναντηθο...

Ενημερώνω ότι η εξέταση θα γίνει στο τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ, το Σάββατο 17/12/2022 και ώρα 11 το πρωί (για να μην υπάρξουν θέματα με τη μετακίνηση). Λογικά θα γίνει στην αίθουσα Αναγνωστήριο που έχει πολύ χώρο, εκτός κι αν αυτή είναι κατειλημμένη λόγω εξετάσεων του τμήματος. Σε αυτήν την περίπτω...

Φέτος είναι η 11η χρονιά που διοργανώνεται ο European Mathematical Cup, ένας διαγωνισμός που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου. Ο διαγωνισμός οργανώνεται σε 2 επίπεδα (Juniors, Seniors) με επίπεδο θεμάτων μάλλον λίγο υψηλότερου των αντίστοιχων Βαλκανιάδων. Πρόκειται λοιπόν για καλή "προπό...

Υπάρχει και εδώ viewtopic.php?f=112&t=32218&p=311996&hi ... on#p149027

Εναλλακτικά αρκεί να δείξουμε ότι $rank(I_{n}-PAQQ^{-1}BP^{-1})=rank(I_{n}-Q^{-1}BP^{-1}PAQ)$ για κάποιους αντιστρέψιμους $P,Q$ της αρεσκείας μας (αυτό γιατί οι μέσα πίνακες είναι όμοιοι στους $I_{n}-AB,I_{n}-BA$). Θέτουμε $X=PAQ,Y=Q^{-1}BP^{-1}$ και επιλέγουμε τους $P,Q$ να φέρνουν τον $A$ σε μπλοκ...

Να πω εδώ ότι τέτοιου είδους προβλήματα αντιμετωπίζονται κομψά με τη θεωρία που συναντά κανείς εδώ http://zacharyabel.com/papers/Mean-Geo_A07.pdf
Αν και πρόκειται για "σημειακές πράξεις" υπό άλλη οπτική, το αφήνω εδώ για όποιον ενδιαφέρεται

Δε γίνεται πάντα, πρέπει (και αρκεί) να ικανοποιείται η σχέση του Euler https://www.cut-the-knot.org/triangle/EulerIO.shtml . Αν ικανοποιείται τότε η κατασκευή είναι απλή: Παίρνουμε όποιο σημείο $A$ θέλουμε του έξω κύκλου, και φέρνουμε τις εφαπτόμενες $AB,AC$ με τα $B,C$ στον έξω κύκλο. Το γεγονός ό...

Είναι μου φαίνεται λίγο-πολύ γνωστή ιδιότητα που συναντά κανείς σε βιβλία Προβολικής Γεωμετρίας (υπό τη Γεωμετρική σκοπιά) όπως του Coxeter, του Faulkner και λοιπά. Είμαι δε σίγουρος ότι εμφανίζεται και σε αρκετά προγενέστερα βιβλία, αλλά αφήνω σε κανέναν άλλο την επιβεβαίωση. Ουσιαστικά πρόκειται γ...

Δείτε και εδώ (μάλλον από κει το πήρε και ο Γάλλος) https://artofproblemsolving.com/communi ... 7p11419585

Καλησπέρα κύριε Στάθη. Έχει ξανασυζητηθεί στο σε διάφορες μορφές (κάποιες ειδικότερες, κάποιες γενικότερες. Δείτε εδώ viewtopic.php?f=181&t=64921&p=314507#p314507)

Υγ: Ομολογουμένως είχα ξεχάσει να γράψω τη λύση που έλεγα

Ας δούμε άλλη μια στα γρήγορα.(δεν ξέρω αν χρειάζεται μετά από τα παραπάνω αλλά :lol: ). Ας είναι $X\equiv KD\cap (ABC),Y\equiv KE\cap (ABC)$ και $A'\equiv BX\cap CY, B'\equiv CY\cap DE, C'\equiv BX\cap DE $. Εδώ έχουμε τέσσερις παρατηρήσεις: $1)$ $X,L,Y$ συνευθειακά. Αυτό αποδεικνύεται (άμεσα) με D...

Ας κάνουμε μια επαναφορά

Καλησπέρα στην ομάδα. Βάζω μια άσκηση που έφτιαξα,σε ένα στυλ που μου αρέσει. Υπάρχει σοβαρή πιθανότητα να είναι κάπως δύσκολη,για αυτό και την τοποθετώ στο φάκελο αυτό :P . Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ και (τετράπλευρο) $A'B'C'D'$ εντός του.Υποθέτουμε ότι τα $A',C'$ είναι ισογώνια συζυγή ως προ...

Πολύ ενδιαφέροντα όλα αυτά.
Καλά Ρώσικα διαμαντάκια ξεθάβετε,θέλουμε κι άλλα

Χρόνια πολλά.Το ένα λέει για τρίγωνα από τομές διαγωνίων (),το άλλο από κέντρο κύκλου () οπότε δε βλέπω άμεση σύνδεση.
Όπως και να χει ωραίο πρόβλημα και αξίζει να βρεθεί καλύτερη λύση

Edit:Αναφερόμουν στη λέξη "γενίκευση" που πρωτογράφηκε.Τώρα όλα καλά.

Καλησπέρα και χρόνια πολλά. Για το πρόβλημα θα βασιστούμε αρκετά στο σχήμα,καθώς υπάρχουν αρκετά configuration issues (δηλαδή κανονικά πρέπει να εργαστούμε με προσανατολισμένες γωνίες,αλλά τέλοσπαντων) output-onlinepngtools.png Θεωρούμε τους κύκλους $(BPC),(BQC),(W,WB)$-$C_{1},C_{2},C$ αντίστοιχα. $...

Καλησπέρα κι από μένα. Απλώς να αναφέρω ότι πρόκειται ουσιαστικά για αναδιατύπωση της κλασικής* ιδιότητας :"Η ευθεία Newton-Gauss ενός πλήρους τετραπλεύρου είναι κάθετη στην ευθεία Steiner-Aubert του". Αρκεί κανείς να δει το $ABCD$ ως $ACBD$ (αυτοτεμνόμενο) κλπ. *Βλ.Ιδιότητα 7 εδώ https://forumgeom....