Πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!

Φαντάζομαι πως υπάρχει και λύση με χρήση μιγαδικής ανάλυσης, αλλά η άσκηση έχει σαν λέξη-κλειδί "ειδικές συναρτήσεις" οπότε παραθέτω μια τέτοια λύση:

Έστω $\mathcal{I}$ το δοσμένο ολοκλήρωμα. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $x=\tan u$:

$\displaystyle \mathcal{I} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\ln^2 ...

Λίγο διαφορετικά:

Το άθροισμα $1+2+3+ \dots +10$ είναι ίσο με $55$, δηλαδή περιττό αριθμό. Κάθε φορά που αλλάζουμε ένα πρόσημο από $+$ σε $-$ (ή αντίστροφα), η τιμή της παράστασης μειώνεται (αυξάνεται αντίστοιχα) κατά το διπλάσιο του αριθμού που αλλάξαμε, δηλαδή κατά άρτιο αριθμό. Άρα όλες οι ...

Το πρόβλημα με το να σπουδάζει κανείς μαθηματικά είναι πως κάνει συχνά τα εύκολα δύσκολα :lol:
Συνεχίζοντας τη λύση του κύριου Λάμπρου:

Οι αριθμοί μέχρι το $30$ που δεν διαιρούνται από τους $2, 3$ ή $5$ είναι οι $1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ (δηλαδή $8$ στο σύνολο).

Αυξάνοντας κάθε φορά κατά ...

Έχουν περάσει δύο και κάτι μέρες οπότε παραθέτω μια λύση (εκτός φακέλου, βλ. τα σχόλια παρακάτω).

Έστω $\Omega$ το σύνολο των σύνθετων αριθμών που είναι μικρότεροι του $10000$. Εφόσον το $1$ δεν είναι σύνθετος, έχουμε ότι $\left | \Omega \right | = 9999-1229-1=8769.$

Έστω $A = \{x\in\Omega:2|x ...

Καλημέρα

Τα εξαιρετικά μαθηματικά κανάλια 3Blue1Brown και Stand-up Maths συνεργάστηκαν για να δώσουν μια απάντηση σε αυτόν τον γρίφο (και να μελετήσουν και κάποιες γενικεύσεις/παραλλαγές του). Τα βίντεο τους είναι εδώ και εδώ αντίστοιχα.

Εννοείται προτείνω ο καθένας να προσπαθήσει να βρει λύση ...

Μια λύση εκτός φακέλου με χρήση αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων:
Συγκεκριμένα, θα θεωρήσω δεδομένες τις παρακάτω απλές ιδιότητες της συνάρτησης $\sinh^{-1} :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$\sinh^{-1}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$,
Είναι περιττή,
Είναι $1-1$

ΛΥΣΗ

$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y ...

Καλησπέρα. Το σχετικό θεώρημα του σχολικού βιβλίου λέει:

Αν οι συναρτήσεις $g$ και $h$ είναι συνεχείς στο $x_0$, τότε είναι συνεχής στο $x_0$ και η συνάρτηση $g/h$, με την προϋπόθεση ότι ορίζεται σε ένα διάστημα που περιέχει το $x_0$.

Στο δικό σου παράδειγμα, $g(x) = lnx$, $h(x) = x-1$ και $x_0 ...

Τώρα βάζω το αυθεντικό ερώτημα του βιβλίου (της πηγής).
Νομίζω ότι αυτό είναι ποιο ενδιαφέρον.
"Υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να τέμνεται από οποιαδήποτε μη παράλληλη ευθεία προς άξονα xx΄ σε άπειρα σημεία;".


Μπορεί να μην καταλαβαίνω κάτι στην ερώτηση. Αν η ευθεία του ...

Εφόσον η άσκηση βρίσκεται στον συγκεκριμένο φάκελο, θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε και τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία για τον υπολογισμό του συναρτήσει του .

Καλημέρα σας!

Είμαι απόφοιτος λυκείου και σκοπέυω να σπουδάσω μαθηματικά στο πανεπιστήμιο. Θα ήθελα όμως την περίοδο των καλοκαιρινών διακοπών να ασχοληθώ περισσότερο με το αντικείμενο, πέραν αυτών που μαθαίναμε στο σχολείο, και να πάρω μια γεύση των μαθηματικών σε πανεπιστημιακό επίπεδο. Με τι θα ...

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου!

Δεν πρόκειται για άσκηση για το σπίτι, αν και καταλαβαίνω γιατί το σκεφτήκατε αυτό (βλέπουμε πολλούς τέτοιους μαθητές στο Mathematica).
Την άσκηση την έλυσα νωρίτερα σήμερα με δική μου πρωτοβουλία και την ανέβασα εδώ γιατί μου φάνηκε ενδιαφέρουσα. Αναφέρω ενδεικτικά ότι οι ...

Δίνεται ότι:

$5x^2+2y^2-6xy+4x-4y ≡ a(x-y+2)^2 +b(cx+y)^2 + d , \quad \forall \ x,y \in \mathbb{R}$

α) Να βρεθούν οι τιμές των $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

β) Να λυθεί το παρακάτω σύστημα εξισώσεων στους πραγματικούς αριθμούς:

$\left\{\begin{matrix} 5x^2+2y^2-6xy+4x-4y=9 \\ 6x^2+3y^2-8xy+8x-8y=14 ...

Ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις!

Στο ερώτημα β διόρθωσα το λάθος.
Όσον αφορά το ερώτημα δ (αλλά και τέτοιες εξισώσεις γενικότερα), όταν πρόκειται για επίσημη εξέταση φροντίζω ώστε οι λύσεις μου να είναι αναλυτικές. Στην προκειμένη περίπτωση θεώρησα ότι οι ρίζες της εξίσωσης ήταν το "σημαντικό ...

Είμαι μαθητής της Β' Λυκείου με κάποιες βασικές γνώσεις Ανάλυσης, οπότε διορθώστε με αν έχω κάνει κάπου λάθος.

α) Πρέπει $f(1)=0 \Leftrightarrow b=-5$

β) $f'(x)=3x^2 + 2bx + 4-b$
Πρέπει $f'(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow (2b)^2 -12(4-b) \leqslant 0$
Μετά από πράξεις προκύπτει ότι $b∈[\frac{−3−√57 ...

Ψάχνω εδώ και καιρό (χωρίς ιδιαίτερη επιτυχία) για υλικό στην θεωρία ακολουθιών που να εκτείνεται πέραν αυτών που "αναφέρονται" στις Α' και Γ' τάξεις του λυκείου, και που προσεγγίζει περισσότερο το επίπεδο των Ολυμπιάδων. Θα μπορούσε κάποιος να παραθέσει ό,τι θεωρεί ότι θα είναι χρήσιμο παρακάτω ...

Εναλλακτική λύση για το Πρόβλημα 2 της Β' Λυκείου (Εφαρμόζεται με παρόμοιο τρόπο και για το πρόβλημα 3 της Γ' Λυκείου):

$\left\{\begin{matrix} xy^3=-8 \\ (x+y)y=2 \end{matrix}\right. \left.\begin{matrix} \\\ \end{matrix}\right\}
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy\cdot y^2=-8 \\ xy + y^2=2 ...

Χαίρετε! Αναρωτιώμουν μήπως υπάρχουν ιστοσελίδες σαν το Mathematica, ή παρόμοιες, αλλά για τις άλλες επιστήμες της θετικής: Φυσική, Χημεία και Βιολογία. Εάν ναι, τότε θα μπορούσατε να μου παραθέσετε τον σύνδεσμο παρακάτω;

Ναι για το πρόβλημα 4 των μεγάλων αρκούν 4 μαγικές λέξεις: συνολική περιμετρος δεν αυξάνεται.
Η απάντηση είναι $(n+m)/2$ :shock:


Εάν όμως θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις $2$ και $3$ τότε $m+n=5$ και άρα ο τύπος $(n+m)/2$ δίνει ως αποτέλεσμα έναν μη ακέραιο αριθμό. Αφού δεν γίνεται να ...

Έχω μια απορία. Στο πρόβλημα 4 των μεγάλων, ήθελε ένα τύπο που να δίνει το για τυχαίες τιμές των ? Γιατί εγώ έκανα μια διερεύνηση και βρήκα διαφορετικό τύπο για κάθε μια από τις δυο περιπτώσεις που ξεχώρισα. (Συναρτήσει των εννοείται)