Η αναζήτηση βρήκε 640 εγγραφές

από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Μάιος 27, 2020 2:52 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Θα μας κάνετε την μέγιστη τιμή ;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 88

Re: Θα μας κάνετε την μέγιστη τιμή ;

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{(n+1)+ncosx} , n \in \mathbb{N^*}$ Αλγεβρικά. Καταρχάς η συνάρτηση είναι άνω φραγμένη από το $2$ αφού ο αριθμητής είναι $\leq 2$ και ο παρονομαστής $\geq1$. Θα βρούμε τον μέγιστο $k$ για τον οποίο υπάρχει $x$ ώστε $f(x)=k\Leftrightarr...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Μάιος 22, 2020 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Με προαιρετικό ερώτημα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 373

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

Με προαιρετικό ερώτημα.pngΔίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R}$ . Α) Για ποιες τιμές του $k$ , η $f$ έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το $\mathbb{R}$ ; Β) Για ποια τιμή του $k$ , η $f$ έχει σύνολο τιμών το : $[ 0 , +\infty )$ ; Γ) Για το $k$ που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Μάιος 19, 2020 4:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: ΘΕΜΑ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 489

ΘΕΜΑ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\ln (x^2+1)e^x,x\in\mathbb{R}^*$ a) Να εξετετάσετε την $f$ και την ${f}'$ ως προς τη μονοτονία. b) Να αποδείξετε ότι η $f$ δεν παίρνει ελάχιστη τιμή. c) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in(-\infty,0)\cup (0,1)$ ισχύει: $-e^x<{f}'(x)<\dfrac{x^2+1}{1-x}$. d) Να αποδείξετε ότι υπ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Μάιος 15, 2020 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 569

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Δείτε το θέμα όπως δόθηκε στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α (1957). Η λύση είναι του Αριστείδη Πάλλα. Αριθμητική πρόοδος-1.jpg.png (Άλλαξα το $\lambda$ με $a$ γιατί με βόλευε στην πληκτρολόγηση). Για $\lambda =-25/19$ έχουμε ρίζες τις $-3\sqrt{2/19},-\sqrt{2/19},\sqrt{2/19},3\sqrt{2/19}$ οι ο...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Μάιος 14, 2020 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ο κτηνοτρόφος με την κατσίκα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 209

Ο κτηνοτρόφος με την κατσίκα

Ένας κτηνοτρόφος έχει ένα κυκλικό χωράφι ακτίνας R του οποίου η επιφάνεια έχει εξ'ολοκλήρου μικρούς θάμνους. Στην περιφέρεια του χωραφιού έχει δέσει με ένα λουρί μια κατσίκα. Πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το λουρί ώστε η κατσίκα να μπορεί να βοσκήσει στη μισή έκταση του χωραφιού;
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Απρ 18, 2020 2:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ακόμα μία ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 290

Re: Ακόμα μία ανισότητα

Θάνο γεια! Καλή Ανάσταση να έχεις!
matha έγραψε:
Σάβ Απρ 18, 2020 7:40 am

\displaystyle{k+15\geq 16\sqrt[16]{k}...
Δεν το πρόσεξα καν. Μάλλον είναι για φάκελο Δημοτικού τελικά... :lol:
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Απρ 18, 2020 3:42 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: O μεγαλύτερος κερδίζει!
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 412

O μεγαλύτερος κερδίζει!

Δύο παίκτες συμμετέχουν σε ένα τηλεπαιχνίδι που ονομάζεται "Ο μεγαλύτερος κερδίζει." Οι παίκτες μπαίνουν σε δύο χωριστές καμπίνες και κάθε ένας πιέζει ένα κουμπί, το οποίο του επιστρέφει ένα τυχαίο αριθμό μεταξύ του $0$ και του $1$. (Ο καθένας βλέπει μόνο το δικό του αριθμό, γνωρίζουν όμως και οι δύ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Απρ 18, 2020 3:33 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παιχνίδι με x και y
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 253

Παιχνίδι με x και y

Θεωρούμε την παράσταση $(2x-y)^2-2y^2-3y.$ Ο παίκτης $A$ επιλέγει πρώτος αριθμό $x\in \mathbb{R}$ και ο παίκτης $B$ επιλέγει μετά έναν $y\in \mathbb{R}$ O $A$ θέλει να ελαχιστοποιήσει την παράσταση ενώ ο $B$ να την μεγιστοποιήσει. Δεδομένου ότι ο $B$ παίζει βέλτιστα ποιον αριθμό $x$ πρέπει να επιλέξ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Απρ 18, 2020 3:23 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 323

ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ

Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τον κύκλο $C_0$ που έχει κέντρο το $K(1,0)$ και ακτίνα $r_0=1$ και τον κύκλο $C$ που έχει κέντρο το σημείο $O(0,0)$ και μεταβλητή ακτίνα $r\in (0,2).$ Αν $A$ το σημείο τομής των κύκλων $C$ και $C_0$ που βρίσκεται στο $1^o$ τεταρτημόριο, $M$ το σημείο τομής του $C$ με τ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Απρ 18, 2020 2:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ακόμα μία ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 290

Ακόμα μία ανισότητα

Να αποδείξετε ότι ισχύει: \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt[4]{k}\leq \frac{1}{2^{16}}\sum_{k=1}^{n}(k+15)^4.
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Απρ 14, 2020 8:12 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 536

Re: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Αλλάζοντας τα όρια του αθροίσματος ώστε να ξεκινά η άθροιση από το $0$ βρίσκουμε ότι το άθροισμά μας γράφεται $\displaystyle \sum_{j=0}^{b}\binom{k+j}{j}\binom{n-k-j}{b-j}.$ Ισχύει $(1-x)^{-(k+1)}(1-x)^{-(n-b-k+1)} =(1-x)^{-(n-b+2)} .$ Όμως $\displaystyle(1-x)^{-(k+1)}(1-x)^{-(n-b-k+1)}$ $\displayst...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Απρ 14, 2020 4:59 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ρίψεις Ζαριού
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 479

Re: Ρίψεις Ζαριού

Δεκτές όλες οι προσπάθειες ακόμη και οι εμπειρικές του τύπου παίρνω ένα ζάρι και το ρίχνω όσες φορές χρειαστεί. :) ΥΓ...Δεν έχω μαθηματική λύση. https://i.imgur.com/2TiCkXp.png Θεωρούμε τις καταστάσεις $i=1,2,...,6$ όπου θα λέμε ότι βρισκόμαστε σε κατάσταση $i$ αν μέχρι την τελευταία μας ρίψη έχουν...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Απρ 14, 2020 1:24 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 536

Re: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Ας μείνω στη συνδυαστική προσέγγιση γ λυκείου είμαι αλλά ευχαριστώ για το ενδιαφέρον.
Νόμιζα ότι μιλούσα με φοιτητή. Θα σου γράψω μια λύση βασισμένη στην υπόδειξη το συντομότερο δυνατό. Δεν έχω internet και αναγκάζομαι να γράφω από κινητό.
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Απρ 13, 2020 6:44 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 536

Re: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Μου προέκυψε από κατασκευή μοντέλου δειγματοληψίας. Ενδεχομένως να έχει ξανατεθεί εδώ στο :logo: . Να δείξετε ότι $\displaystyle \sum_{r=k}^{k+b}\binom{r}{k}\binom{n-r}{b-r+k}=\binom{n+1}{b}.$ Έχοντας δει παρόμοια σε γενήτριες συναρτήσεις (άσκηση στο κεφάλαιο δηλαδή), μπορεί αυτό να δειχθεί με τη χ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Απρ 13, 2020 1:17 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 536

Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Μου προέκυψε από κατασκευή μοντέλου δειγματοληψίας. Ενδεχομένως να έχει ξανατεθεί εδώ στο :logo: .

Να δείξετε ότι \displaystyle \sum_{r=k}^{k+b}\binom{r}{k}\binom{n-r}{b-r+k}=\binom{n+1}{b}.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Απρ 09, 2020 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 1128

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία

Άσκηση 7 (Special paper, Ιούνιος 1988) α) Αφού πρώτα γράψετε το ανάπτυγμα του $e^{e^x}}$ ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του $e^x$, δείξτε ότι ο ο συντελεστής του $x^n$ στο ανάπτυγμα του $e^{e^x}}$ ως σειρά ως προς ανιούσες δυνάμεις του $x$ είναι $\displaystyle{ \dfrac {1}{n!} \left ( \dfrac {1^...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Απρ 06, 2020 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Πολλαπλό άθροισμα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 273

Re: Πολλαπλό άθροισμα!

Επαναφορά.
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Απρ 05, 2020 5:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Άσκηση
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 442

Re: Άσκηση

stamas1 έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 5:23 pm
Πως αποδειξατε οτι το ιδιο ξ ειναι και στις δυο περιπτωσεις?
Σωστή η παρατήρηση. Οπότε δεν χρειάζεται το ΘΕΤ που ανέφερα. Παρατήρησε ότι f(x)+f(-x)=4.
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Απρ 05, 2020 4:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Βρείτε τον a
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 793

Re: Βρείτε τον a

Είναι από το περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. Ουσιαστικά αντιγράφω τη λύση που βρίσκεται εκεί. Όπως παρατηρώ τώρα μάλλον είναι κακή επιλογή να την βάλω σε φάκελο Γυμνασίου. Σε φάκελο Λυκείου θα έπρεπε να μπει. Από τις δύο πρώτες ανισότητες έχουμε: $0\leq x\leq a-y$ και $a\geq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfra...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Απρ 05, 2020 3:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Άσκηση
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 442

Re: Άσκηση

Καλησπέρα! Διάβασε του κανονισμούς του :logo: . Πρέπει να γράφεις σε latex. Η εκφώνηση μπορεί να βελτιωθεί αλλά ας σου δώσω μια υπόδειξη σε αυτή. Δίνεται η $f(x)=x+1+\dfrac{2}{1+e^x}$, όπου $x \in \mathbb{R}.$ 1) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (-3,-2)$ τέτοιο ώστε $f(\xi)=0$ και $f(...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση