Η αναζήτηση βρήκε 732 εγγραφές

από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Οκτ 23, 2020 2:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Όχι περιοδική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 446

Re: Όχι περιοδική

Ωραία τα παραπάνω. Λύση εντός φακέλλου δεν βλέπω. Παραβλέποντας το ειρωνικό ύφος... Έστω ότι έχει περίοδο $T.$ Τότε $f(x+T)=f(x)\Rightarrow \left ( \sin (x+T)-\sin x \right )+\left ( \sin (\sqrt{2}(x+T))-\sin (\sqrt{2}x)\right )=0 \Rightarrow$ $ 2\cos\left (x+\dfrac{T}{2} \right )\cos \dfrac{T}{2}+...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Οκτ 23, 2020 9:50 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Σύνολο τιμων
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 140

Σύνολο τιμων

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x)=\dfrac{x^2\sin x+\sin x-x^3}{x^3+x-x\sin x}.
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Οκτ 22, 2020 10:15 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Όχι περιοδική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 446

Re: Όχι περιοδική

Αν $f_1, f_2, \dots, f_\nu$ είναι περιοδικές συναρτήσεις με θεμελιώδη περίοδο $\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_\nu$ αντίστοιχα τότε η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \sum_{i=1}^{\nu} a_i f_i(x)}$ , όπου $a_i$ είναι σταθερές , είναι περιοδική αν υπάρχει ο $\lcm (\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_\nu)$ Η $f$ δ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Οκτ 22, 2020 10:08 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Όχι περιοδική
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 446

Re: Όχι περιοδική

Θεωρούμε την $f(x)=\sin x+\sin x\sqrt{2}$ Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει $T\neq 0$ ώστε για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να είναι $f(x+T)=f(x)$ Είναι από αυτές που είναι σχεδόν περιοδικές. Μια απόδειξη εκτός φακέλου και σύντομη είναι η εξής: Υποθέτοντας ότι έχει περίοδο $T$ παίρνουμε οτι $\sin (x+T)+\sin (\s...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Οκτ 20, 2020 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΟΡΙΑ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 258

Re: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΟΡΙΑ

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ; Αν $f:R \rightarrow R$ , $f(R)=(0,+\infty)$ και $f$ γνήσια φθίνουσα τότε $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ και $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ Καλησπέρα ! Καλό μαθηματικό συμπέρασμα ! Εϊναι όμως μια τέτοια συνάρτηση αναγκαία συνεχής ; Είναι. Προκύπτει από το σύνολο τιμών. Γιατί έ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Οκτ 19, 2020 2:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: 1-1 συνάρτηση
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 287

Re: 1-1 συνάρτηση

Γιατί; Δε το βλέπω; Eιναι ισοδύναμη με την $f(x)=x$ αφού η $f$ είναι γνησίως αύξουσα. Είναι γνησίως αύξουσα , αλλά δεν αποδείχθηκε κάτι. Το πρώτο ερώτημα έδειξε μόνο ότι η $f$ είναι $1-1$. Δε μας είπε κάτι για τη μονοτονία. Αν πάμε με παραγώγους καλή ώρα όπως εδώ Μια άλλη ιδέα για να δείξεις ότι η ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Οκτ 19, 2020 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: 1-1 συνάρτηση
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 287

Re: 1-1 συνάρτηση

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Γιατί; Δε το βλέπω;
Eιναι ισοδύναμη με την f(x)=x αφού η f είναι γνησίως αύξουσα.
από Λάμπρος Κατσάπας
Σάβ Οκτ 17, 2020 10:23 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ισχυρισμός
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 343

Re: Ισχυρισμός

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Οκτ 17, 2020 9:01 am
Δίδεται ο ισχυρισμός
Η σχέση x=y^2 ορίζει συνάρτηση.
Να χαρακτηριστεί ο ισχυρισμός ως Αληθής ή Ψευδής και να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
Η σχέση ορίζει άπειρο πλήθος συναρτήσεων. Σε κάθε x>0 κρατάμε τη σε μια από τις δύο ρίζες y που προκύπτουν και έτσι κατασκευάζουμε συνάρτηση.
από Λάμπρος Κατσάπας
Τρί Οκτ 13, 2020 9:59 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αναδρομικες ακολουθιες 2
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 257

Re: Αναδρομικες ακολουθιες 2

Καλημέρα σας, μια ακομα άσκηση που δεν μπορώ να βρω πανομοιότυπο τρόπο λύσης.. Να βρεθει ο αναδρομικος τυπος μιας ακολουθιας ρητων που είναι συγκλινουσα στην τετραγωνική ρίζα του 3. Ευχαριστώ για τον χρόνο σας! Καλημέρα. Η άσκηση είναι για να σκεφτείς εσύ έναν τρόπο και όχι να δεις μια παρόμοια και...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Οκτ 07, 2020 9:38 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σύνθεση και συνέχεια
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 294

Re: Σύνθεση και συνέχεια

Οι συναρτήσεις $f,g,h$ είναι ορισμένες στο $\mathbb{R}$, η $h$ είναι συνεχής, η $g$ είναι παραγωγίσιμη και για όλα τα $x$ ισχύει: $|g'(x)| \geq 1$ $g(f(x))=h(x)$ Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι συνεχής. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το $1$ με οποιαδήποτε θετική σταθερά. Δείχνουμε πρώτα ότι η $g$ είναι...
από Λάμπρος Κατσάπας
Τετ Σεπ 30, 2020 9:55 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Εξίσωση με ρίζες και εκθετικά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 189

Re: Εξίσωση με ρίζες και εκθετικά

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{\sqrt{1+3x^2} - \sqrt{x^2+4}}{\left ( 1 + \sqrt{1+3x^2} \right )\left ( 1 + \sqrt{x^2+4} \right )} = \frac{e^{\sqrt{x^2+4}}- e^{\sqrt{1+3x^2}}}{2}}$ Θα συμβολίσω $y=1+3x^2,z=x^2+4.$ Η εξίσωση γίνεται $\dfrac{\sqrt{y} - \sqrt{z}}{\left ( 1 + \sqrt{y} \right )\...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Σεπ 28, 2020 11:01 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Υπερήλικη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 265

Re: Υπερήλικη

Επειδή ένας φίλος μου έγραψε σε μήνυμα ότι αυτά που λέω παραπάνω δεν στέκουν και η άσκηση δεν βγαίνει τόσο απλά γράφω μια λύση με σχολικά εργαλεία. Ο λόγος που δεν έβαλα λύση το πρωί δεν είναι ότι σνόμπαρα την άσκηση ως απλή αλλά ότι δεν είχα δυνατότητα να παρουσιάσω πινακάκια σε Latex. Θα τα επισυν...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Σεπ 28, 2020 9:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2020
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 2296

Re: ΙΜΟ 2020

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Σεπ 28, 2020 11:39 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Υπερήλικη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 265

Re: Υπερήλικη

Δείξετε ότι $\displaystyle 0<x<1\Rightarrow \pi <\frac{\sin (\pi x)}{x-{{x}^{2}}}\le 4$ Από G.H. Hardy-1908 Edit (23:00) Χωρίς λύση , τελικά . Δεν βλέπω κάτι δύσκολο στην άσκηση. Ο παρονομαστής στο μεσαίο κλάσμα είναι θετικός στο $(0,1).$ Πολλαπλασιάζοντας με αυτόν σε κάθε μέλος παίρνουμε δύο ανισό...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Σεπ 27, 2020 10:12 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τελικός
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 304

Re: Τελικός

Οι τελικοί Ανατολής και Δύσης στο NBA είναι Σέλτικς - Μαιάμι και Λέικερς - Ντένβερ . Στις 20 Σεπτεμβρίου οι Σέλτικς προηγούνται με $2-1$ νίκες , ενώ οι Λέικερς με $1-0$ νίκες . Οι σειρές κρίνονται στις $4$ νίκες . Οι Σέλτικς ή οι Λέικερς βρίσκονται πιο κοντά στον τελικό ; Θανάση ποια είναι η λύση σ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Σεπ 27, 2020 12:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 155

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για τις οποίες η ανίσωση $\sin^4 x +\cos^4 x > a \cdot \sin x \cdot \cos x$ ικανοποιείται για όλα τα $x$. Θα δείξουμε ότι τα $-1<a<1$ είναι τα ζητούμενα. Για $x=\pi/4, 3\pi/4$ παίρνουμε ότι αναγκαστικά θα είναι $-1<a<1$. Για $a=0$ βλέπουμε ότι η ζητούμεν...
από Λάμπρος Κατσάπας
Παρ Σεπ 25, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Όριο με παράγωγο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 540

Re: Όριο με παράγωγο

Έστω $f$ παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb R$ με $\displaystyle{\lim _{x\to \infty } f(x)= l \in \mathbb R^*}$. Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim _{x\to \infty } xf(x)f'(x)}$ αν ξέρουμε ότι υπάρχει. Ας την αφήσουμε $24 $ ώρες στους μαθητές μας καθώς είναι απλή, αλλά έχει ένα μικρό τεχνασματάκ...
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Σεπ 21, 2020 10:57 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 460

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

exdx έγραψε:
Σάβ Σεπ 19, 2020 12:06 pm

\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3 και \displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}, άρα είναι \displaystyle 1-1 .
Αυτό το κομμάτι είναι περιττό. Η λύση για το πρώτο είναι πλήρης αν κρατήσουμε μόνο τα επόμενα.
από Λάμπρος Κατσάπας
Δευ Σεπ 21, 2020 9:57 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τελικός
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 304

Re: Τελικός

Οι τελικοί Ανατολής και Δύσης στο NBA είναι Σέλτικς - Μαιάμι και Λέικερς - Ντένβερ . Στις 20 Σεπτεμβρίου οι Σέλτικς προηγούνται με $2-1$ νίκες , ενώ οι Λέικερς με $1-0$ νίκες . Οι σειρές κρίνονται στις $4$ νίκες . Οι Σέλτικς ή οι Λέικερς βρίσκονται πιο κοντά στον τελικό ; Με την παραδοχή ότι όλοι ο...
από Λάμπρος Κατσάπας
Πέμ Σεπ 03, 2020 8:36 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ακρότατα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 580

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Η ποσότητα $A$ γράφεται: $A=x^2+2xy-y^2=(x+y)^2-2y^2$ άρα $4x^2+2xy+y^2=3$ ή $3x^2+(x+y)^2=3$ είναι η σχέση $(1)$ Η $(1)$ γίνεται $3x^2=3-(x+y)^2≥0$ ή $(x+y)^2≤3$ είναι η σχέση $(2)$ η σχέση $(2)$ γίνεται $|x+y|≤√3$ ή $-√3≤x+y≤√3$ είναι η σχέση $(3)$ η $(1)$ γίνεται $(x+y)^2=3-3x^2≥0$ ή $3x^2≤3$ ή ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση