Η αναζήτηση βρήκε 81 εγγραφές

από Filippos Athos
Δευ Αύγ 03, 2020 10:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Θετικοί ακέραιοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 68

Re: Θετικοί ακέραιοι

Θετικοί ακέραιοι.pngΈστω $n$ ένας θετικός ακέραιος . Στην προέκταση της διαμέτρου $AB=2$ , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε $BS=n$ . Η εφαπτομένη $ST$ , από το $S$ προς το τόξο , τέμνει την κάθετη της $AB$ στο $A$ , στο σημείο $P$ . Εξηγήστε γιατί ο λόγος $\dfrac{ST}{TP}$ είναι επίσης θ...
από Filippos Athos
Παρ Ιούλ 31, 2020 5:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 306

Re: Τεστ Εξάσκησης (46), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Από μια σκακιέρα $29\times 29$ αφαιρέσαμε $99$ τετράγωνα $2\times 2.$ Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα! Ας βάψουμε την σκακιέρα με αυτόν τον τρόπο geogebra-export.png Έτσι ώστε κάθε $2\cdot 2$ τετραγωνάκι να περιέχει το πολύ $1$ σκιασμένο τετράγωνο Έστω $n$ η πλευρά του τε...
από Filippos Athos
Τετ Ιούλ 29, 2020 10:45 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παράλληλη χορδή
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 231

Re: Παράλληλη χορδή

Παράλληλη χορδή.pngΑπό σημείο $S$ της προέκτασης της διαμέτρου $AB$ ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ και την διχοτόμο της $\widehat{TSA}$ , η οποία τέμνει το τόξο σε δύο σημεία και ονομάζω $P$ το πλησιέστερο στο $A$ . Αν $AB=8$ και $PT \parallel AB$ , υπολογίστε το ακριβές μήκος τ...
από Filippos Athos
Δευ Ιούλ 27, 2020 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ισότητα από δύο ανισότητες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 211

Re: Ισότητα από δύο ανισότητες

Έστω $a_1,\,a_2,\,...,\,a_8$ γνήσια θετικοί που ικανοποιούν $\displaystyle{(a_1+a_2+...+a_8)^2=a_1a_2\cdot ...\cdot a_8}$ και $\displaystyle{2(a_1+a_2+...+a_8)=a_1^2+a_2^2+ ...+ a_8^2}$. Δείξτε ότι $\displaystyle{a_1+a_2+...+a_8=16}$. Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. $\displaystyle{(a_...
από Filippos Athos
Κυρ Ιούλ 26, 2020 8:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 331

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Demetres έγραψε:
Κυρ Ιούλ 26, 2020 5:25 pm
Filippos Athos έγραψε:
Σάβ Ιούλ 25, 2020 9:14 pm
Όμως αντικαθιστωντας το στις αρχικές εξισώσεις δεν παίρνουμε δέκτες λύσεις. Άρα η άσκηση αποδείχθηκε.
Εντάξει, δεν είναι δύσκολο από δω και πέρα, καλό όμως είναι να γίνουν οι πράξεις.
Έχετε δίκιο :oops: . Το διόρθωσα.
από Filippos Athos
Σάβ Ιούλ 25, 2020 9:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 331

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί $2n+1$ και $3n+1$ να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός $5n+3$ είναι σύνθετος. Έστω $2n+1=x^{2}\Rightarrow$$8n+4=4x^{2},3n+1=y^{2}\Rightarrow 5n+3=(2x-y)(2x+y)$ Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι δεν ισχύει $2x-y=1$ Έστω προς άτοπο $...
από Filippos Athos
Παρ Ιούλ 24, 2020 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απλοποίηση
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 350

Re: Απλοποίηση

Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle A = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$ 24 ώρες για μαθητές. 'Εχουμε $A^{2}=(\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}})^{2}$ Κάνοντας τις πράξεις...
από Filippos Athos
Παρ Ιούλ 24, 2020 6:48 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απλοποίηση
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 350

Re: Απλοποίηση

Κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε στο: $A^{2}=\frac{3-2\sqrt{2}+2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+3+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}-2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+2-\sqrt{3}}$ Για να μην βγάλετε τα μάτια σας μέχρι να καταλάβετε τι γράφει εδώ πάνω :lol:(ακόμη και εγώ παιδεύομαι όταν το ξαναβλέπω),έχω άλλη μία ...
από Filippos Athos
Πέμ Ιούλ 23, 2020 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απλοποίηση
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 350

Re: Απλοποίηση

Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle A = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$ 24 ώρες για μαθητές. 'Εχουμε $A^{2}=(\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}})^{2}$ Κάνοντας τις πράξεις...
από Filippos Athos
Παρ Ιούλ 17, 2020 10:01 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: 6 κάρτες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 332

Re: 6 κάρτες

Μπορούμε βέβαια να σκεφτούμε και ως εξής: Αν ο Λάμπρος πήρε το $6$ σαφώς και δεν θα ζητήσει να αλλάξουμε. Αν πήρε το $5$ πάλι δεν θα ζητήσει να αλλάξουμε διότι αν έχω το $6$ σίγουρα δεν θα δεχθώ οπότε μόνο σε χειρότερη μοίρα μπορεί να είναι. Αν πήρε το $4$ πάλι δεν πρέπει να ζητήσει να αλλάξουμε. Δ...
από Filippos Athos
Πέμ Ιούλ 16, 2020 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: 6 κάρτες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 332

Re: 6 κάρτες

$6$ κάρτες με τους αριθμούς από το $1 $ έως το $6$ τοποθετούνται στραμμένες προς τα κάτω σε ένα τραπέζι. Ανακατεύονται και καθένας απ' τους δύο μας τραβάει από μία κάρτα. Κοιτάζεις την κάρτα σου και βλέπεις ότι είναι $2$. Βλέπω τη δική μου και σε ρωτώ: "Θέλεις να ανταλλάξουμε κάρτες;" Το άτομο με τ...
από Filippos Athos
Δευ Ιούλ 06, 2020 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Βρείτε το 2020ο όρο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 313

Re: Βρείτε το 2020ο όρο

Καλημέρα, Γενικά για αριθμούς $x,y$ το μοτίβο γίνεται $x,y,\frac{y}{x},\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{x}{y}.....$ και συνεχίζεται ξανά με τον ίδιο τρόπο. Για τον $n$οστό όρο ισχύει αν $n\equiv 1mod6$ τότε αντιστοιχεί ο αριθμός $x$ αν $n\equiv 2mod6$ τότε αντιστοιχεί ο αριθμός $y$ αν $n\equiv 3mod6$ τ...
από Filippos Athos
Τετ Ιούλ 01, 2020 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1038

Re: Ανισότητα!

Αποσύρω λόγο σφάλματος :?
από Filippos Athos
Τρί Ιουν 30, 2020 11:29 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 541

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $a,b,c \geqslant 0$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$ Καλημέρα, Από $Cauchy-Schwarz$ $[(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)]\cdot(1+1+1)\geq (\sqrt{ab+bc}+\sqrt{bc+ca}+\sqrt{ca+ab})^{2}$ Δηλαδή $2\cdot (...
από Filippos Athos
Τρί Ιουν 23, 2020 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο ισοσκελές τρίγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 526

Re: Μέγιστο ισοσκελές τρίγωνο

α) μέγιστο ισοσκελές.png Εμβαδόν $ABC$=$\frac{2b\cdot (a+7)}{2}$ Έχουμε $2b=30\cdot \sin \frac{\theta }{2}$ και $a=$ $15\cdot \cos \frac{\theta }{2}$ Οπότε προκύπτει Εμβαδόν $ABC=$$\frac{(30\cdot \sin \frac{\theta }{2})\cdot (15\cdot \cos \frac{\theta }{2}+7)}{2}$ Υ.Γ. Ευχαριστώ πάρα πολύ τον κύριο ...
από Filippos Athos
Δευ Ιουν 22, 2020 5:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 398

Ανισότητα

Να μια ωραία ανισότητα. Αν a,b,c\geq 0 και ab+bc+ca-2abc=1 να δείξετε ότι 9\cdot(a+b+c-10abc)(a+b+c-ab-bc-ca-1) \geq -1
από Filippos Athos
Δευ Ιουν 22, 2020 12:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πολυώνυμο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 464

Re: Πολυώνυμο

Οπότε για τα πρακτικά η απάντηση είναι x\geq -\frac{1}{8}
αν δεν κάνω λάθος
από Filippos Athos
Δευ Ιουν 22, 2020 12:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πολυώνυμο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 464

Re: Πολυώνυμο

Doloros έγραψε:
Δευ Ιουν 22, 2020 12:01 pm
Filippos Athos έγραψε:
Δευ Ιουν 22, 2020 11:51 am
Γειά σας,

Είμαι μαθητής Β'Γυμνασίου με αναπτυγμένες γνώσεις μαθηματικών (αφού συμμετέχω σε διαγωνισμούς επιλογής για JBMO και IMC),
οπότε πιστέυω πως θα καταλάβω την εξήγηση.
Έχει πολλούς τρόπους.

π. χ. Θέσε όπου x το t + 1 , κάνε τις πράξεις και …
Εύχαριστώ νομίζω πως κατάλαβα
από Filippos Athos
Δευ Ιουν 22, 2020 11:51 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πολυώνυμο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 464

Re: Πολυώνυμο

Γειά σας,

Είμαι μαθητής Β'Γυμνασίου με αναπτυγμένες γνώσεις μαθηματικών (αφού συμμετέχω σε διαγωνισμούς επιλογής για JBMO και IMC),
οπότε πιστέυω πως θα καταλάβω την εξήγηση.
από Filippos Athos
Δευ Ιουν 22, 2020 11:32 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πολυώνυμο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 464

Πολυώνυμο

Καλημέρα,

θα ήθελα βοήθεια με την λύση του πολυωνύμου

8\cdot x^{3}-15\cdot x^{2}+6\cdot x+1\geq 0

Ευχαριστώ

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση