Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ κέντρου $O$. Ευθεία, που διέρχεται από την κορυφή $A$, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $BOC$ στα σημεία $D$ και $E$. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $B$, $O$ και τα μέσα $M$, $N$ των ευθυγράμμων τμημάτων $CD$, $CE$ αντίστοιχα, ανήκουν στον ίδιο κύκλο. iso...

Το διορθώνω

Διορθωμένη λύση

Έστω εγγράψιμο τετράπλευρο $ABCD$ και εστω οτι 2 απέναντι πλευρές του τέμνονται στο σημείο $P$. Επίσης οι ευθείες $AC$ και $BD$ τεμνονται στο σημείο $X$. Αν οι εφαπτόμενες απο το σημείο $P$ προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABCD$ τέμνουν τον κύκλο στα σημεία $M$ και $N$, να αποδείξετε ότι τα σημεία...

Αν $a>0$ να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $x,y$ για τους οποίους ισχύει η σχέση: $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{3ay}} + \frac{{3a}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^3}}}{{{x^2}}} = 3.$ 24 ώρες για μαθητές. Απο ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\frac{x^2}{3ay}+\frac{3a}{y^2}+\frac{y^3}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3ax^2y^3}{3ax^2y^3}}...

Να και άλλη μια που προέκυψε χθες το βράδυ μετά από συζήτηση με φίλους... Να λυθεί στους φυσικούς η $17^{x} + 2^{y} = 19^{z}$. Καλησπέρα, Εύκολα βλέπουμε με $mod 3$ οτι οι $x,y$ είναι περιττοί.Με $mod 4$ έχουμε οτι ο $z$ έιναι άρτιος για $y\geq 2$. Επίσης αφού $ord_{17}(2)=8$ κανωντας $mod17$ έχουμ...

Για το 4 Στο σχήμα του Διονύση ευκολα παρατηρούμε ότι $T\widehat{M}K=M\widehat{T}A$ και $K\widehat{M}L=T\widehat{A}P$ αφού $MK //AT$ και $ML//AP$ που προκύπτει απο το οτι τα $M,K$ και $\varLambda$ τα μέσα των τμημάτων $PT,PB$ και $\varGamma T$ αντίστοιχα. Οπότε πρέπει να δείξουμε ότι τα τρίγωνα $MKL...

$\displaystyle{ABCD}$ κυρτό τετράπλευρο εγγεγαμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,r=1)}$ Aν $\displaystyle{(AB)(BC)(CD)(DA)\ge 4}$ να δείξετε ότι το $\displaystyle{ABCD}$ ειναι είναι τετράγωνο. Απο Θ.Πτολεμαίου $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\leq 2\cdot 2=4(1)$ επειδή οι χορδές είναι μικρότερες ή ίσε...

Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά: Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$. Αλλη μία παρατηρούμε ότι υπάρχει περιοδικότητα στις δυνάμεις του $7$. το $7^{x}$ τελειώνει σε $7$ ...

Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά: Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$. Ευχαριστώ για την αφιέρωση! Θα δώσω την πρώτη λύση που μου ήρθε στο μυαλό χρησιμοποιώντας την συνά...

ελέγχωντας $mod8$ στις περιπτώσεις οπου $n$ αρτιος και περιττός, πάντα $B\equiv 1mod8$ Φίλιππε, το λάθος κρύβεται στην παραπάνω! Έμμεσα έχεις χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή: $a\equiv b\pmod{n} \Rightarrow |a|\equiv |b|\pmod{n}$ που δεν είναι αληθής (δες το με ένα αντιπαράδειγμα). Έτσι, το minimum της...

Δύο ασκήσεις στο ίδιο πνεύμα: Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή κάθε μίας από τις παραστάσεις (η πρώτη πιο απλή, η δεύτερη πιο σύνθετη): α) $A=\displaystyle{ |20^m −9^n|,}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$. β) $B=\left|3^n+7^n-25^m\right|$, όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$. Αλέξανδρος Για το β) Προφανώς $B\equiv...

Η έκτη δύναμη ενός φυσικού αριθμού αποτελείται, σε αύξουσα σειρά, από τα ψηφία $0,\, 2,\,3, \,4,\,4, \,7,\, 8,\,8,\,9$. Ποιος είναι ο αρχικός φυσικός; Ας την αφήσουμε $24$ ώρες στους μαθητές μας Γυμνασίου, Λυκείου. Μπορούμε να ελεξουμε οτι ο αριθμός μας είναι $22\leq x\leq 31$ $(1)$ Οι αριθμοί που ...

Είναι γνωστό ότι $a^5-a^3+a=2$. Να αποδείξετε, ότι $3< a^6 < 4$. Είναι πολύ ευκολο να αποδειχθεί ότι το $a$ έιναι θετικός οπότε απο ΑΜ-ΓΜ $2=(a^5+a)-a^3\geq 2a^{3}-a^{3}=a^{3}$ υψώνοντας στο τετράγωνο εχουμε $a^{6}< 4$ (η ισότητα προφανώς δεν ισχύει). Αφού $a^5-a^3+a=2\Rightarrow a^{6}-a^{4}+a^{2}=...

77.png Καλησπέρα . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ του παραπάνω σχήματος, η $AM$ είναι διάμεσος. Αν $DE=2$, να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς του $AB$. Απο τα όμοια τρίγωνα $ABE$ και $ABC$ εχουμε ότι $A\widehat{B}E=A\widehat{C}B=B\widehat{A}D\Rightarrow AD=DB ,A\widehat{B}M=90^{\circ}\Rightarrow AD=D...

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x,y)$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}$ Γεια σας! Λύνοντας ως προς τον $x$ έχουμε $x^2-x(2y+2)-4y-8+4y^2=0$ Για να έχει λύσεις η εξίσωση πρέπει $\Delta \geq 0\Leftrightarrow 4(y+1)^2+4(4y+8-4y^2)\geq 0\Leftrightarrow -3y^2+6y+9\geq...

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x,y)$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0.}$ Απο τα δεδομένα $x$ άρτιος , $x=2k$. Η εξίσωση γράφεται $4k^{2}+4y^{2}-4ky-4k-4y-8=0\Rightarrow k^{2}+y^{2}-(ky+k)-y-8=0\Rightarrow k^{2}-k(y+1)+y^{2}-y-8=0$ που έχει διακρίνουσα $(y+1)^{2}-4...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Νοέμ 04, 2020 9:40 pm

Σε διαβάζω πάντα με προσοχή και με χαρά. Παρατηρώ ότι έχεις ώριμο γράψιμο, πολύ πέρα από την ηλικία σου, και έχεις εξαιρετική Μαθηματική ικανότητα.

Τα θερμά μου συγχαρητήρια.

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα ωραία σας λόγια!

Βασικά αν το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών είναι $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{1}\equiv 0mod5$ και $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{1}+1\equiv 0mod5$ αυτό είναι άτοπο εκτός και αν υπάρχει υπερπίδηση δηλαδή $x_{1}=9$ $x_{k}+x_{k-1}+.....+x_{2}+9\equiv 0mod5$ $x_{k}+x_{k-1}+.....+(x_{2}+1)\equiv 0mod5$ με τον ίδιο...

Ένας μαθητής έγραψε στην σειρά τους φυσικούς αριθμούς που το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του $5$. Έτσι, η συλλογή του αρχίζει ως $\,5,\, 14,\, 19, \, 23,\, 28,\, ... $ Ποια είναι η μικρότερη δυνατή διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών της συλλογής; (Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθ...