mathematica.gr

Από το γράφημα της έχουμε ότι δεν υπάρχει η παράγωγος στο αφού το σημείο αυτό είναι γωνιακό (διαφορετικά πλευρικά όρια).

36) Δείξτε ότι κάθε ομάδα τάξης $28$ που έχει κανονική υποομάδα τάξης $4$ είναι αναγκαστικά αβελιανή. Έστω $G$ ομάδα τάξης $28$ και $A$ κανονική υποομάδα της τάξης $4$. Είναι $28=2^2\cdot 7$ επομένως από το θ. Cauchy υπάρχει υποομάδα $B$ της $G$ τάξης $7$ (μάλιστα $B\cong \mathbb{Z}_7$). Επίσης, αφ...

Δίνεται συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν: $\bullet$ $f(x_o)=0$ $\bullet$ η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_o$ #1. Να αποδειχθεί ότι: $|f|$ παραγωγίσιμη στο $x_o$ αν και μόνο αν $f^\prime(x_o)=0$ #2. Να ερμηνευθεί το #1. γεωμετρικά. Εμπνευσμένο και σχετικό με αυτό https...

2) Έστω $S \subseteq \{1,2,..,2n \}$, όπου $n \geq 1$, ώστε $|S| \geq n+1$. Δείξτε ότι υπάρχουν $a,b \in S$ ώστε $a \mid b$. Έστω $\Pi$ το σύνολο των περιττών που περιέχονται στο $\{1,2,..,2n \}$. Από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής είναι άμεσο ότι κάθε στοιχείο $x\in \{1,2,..,2n \}$ γράφεται...

3) Δείξτε ότι για κάθε ακέραιο $x$ και κάθε πρώτο $p$, ισχύει ότι ο $p^2$ δεν διαιρεί τον $x^2-p$. Έστω, προς άτοπο, ότι $p^2|(x^2-p)$. Τότε $p|(x^2-p)$ (αφού $p|p^2$) άρα $p|x^2$. Συνεπώς, χρησιμοποιώντας τη μοναδική ανάλυση του $x$ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, έχουμε ότι $p|x$. Άρα $p^2|x^2$, κ...

Δίδονται οι αριθμοί : $a = 456\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,b = 126$ Να βρεθεί ο Μ. Κ. Δ. $\boxed{d = \left( {456,126} \right)}$ των $a,b$ και μετά οι ακέραιοι $k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,m$ για τους οποίους : $d = 456k + 126m$ Εφαρμόζουμε διαδοχικά Ευκλείδεια διαίρεση: $456=3\cdot 12...

Την έδωσα αλλαγμένη σε κάποιους μαθητές Γ λυκείου: "Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα: αν $f(x)=0$, τότε $f'(x)>0$. Να δείξετε ότι αν η $f$ έχει πεπερασμένες ρίζες, τότε έχει το πολύ μία ρίζα". Μια μαθήτριά μου έδωσε την εξής απάντηση: Έστω, προς άτοπο, ότι η $...

Έχουμε $\lim\limits_{x\to \rho_1^+}\dfrac{f(x)-f(\rho_1)}{x-\rho_1}=\lim\limits_{x\to \rho_1^+}\dfrac{f(x)}{x-\rho_1}=f'(\rho_1)>0$ επομένως $\dfrac{f(x)}{x-\rho_1}>0$ για $x$ κοντά στο $\rho_1^+$. Όμως, για $x$ κοντά στο $\rho_1^+$ ισχύει $x-\rho_1>0$, άρα είναι και $f(x)>0$ για $x$ κοντά στο $\rho...

Έστω, προς άτοπο, ότι η $f$ έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Αν μπορούμε να βρούμε δύο διαδοχικές ρίζες $\rho_1<\rho_2$ της $f$, τότε έχουμε $f'(\rho_1)>0$ και $f'(\rho_2)>0$. Επομένως, υπάρχει $x_1\in (\rho_1,\rho_2)$ έτσι ώστε $f(x_1)>0=f(\rho_1)$ και $x_2\in (\rho_1,\rho_2)$ έτσι ώστε $f(x_2)<0=f(\rho...

33) Δείξτε ότι για κάθε $R$-πρότυπο της Noether $M$, κάθε επιμορφισμός $f:M \rightarrow M$ είναι ισομορφισμός. Έχουμε την αύξουσα ακολουθία $\mathrm{ker}f \subseteq \mathrm{ker}f^2 \subseteq \ldots$ η οποία είναι τελικά σταθερή, δηλαδή υπάρχει $n\in \mathbb{N}$ έτσι ώστε $\mathrm{ker}f^n= \mathrm{k...

Δείχνουμε ότι αν $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ είναι συνεχής με $\int\limits_0^1f(x)dx=\int\limits_0^1xf(x)dx=0$, τότε η $f$ έχει δύο διακεκριμένες ρίζες στο $[0,1]$. Το ζητούμενο έπεται άμεσα με εφαρμογή του Θ.Rolle. Θεωρούμε την παράγουσα $F(x)=\int\limits_0^xf(t)dt$, $x\in [0,1]$ της $f$ για την οποία ...

Μια προσπάθεια με βάση τον σχολικό ορισμό της κυρτότητας. Παραγωγίζουμε τη σχέση $f^{-1}(f(x))=x$, $x\in A_f$: $(f^{-1})'(f(x))=\dfrac{1}{f'(x)}$. Θα δείξουμε ότι η $(f^{-1})'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $f(A_f)$. Έστω $y_1,y_2\in f(A_f)$ με $y_1<y_2$. Τότε υπάρχουν $x_1,x_2\in A_f$ έτσι ώστε $f(x_1...

13) Δείξτε ότι ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο είναι ομοιομορφικός με κάθε έλλειψη. edit: Αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι και την Παρασκευή θα δώσω απάντηση αν και είναι αρκετά εύκολη. Μπορούμε, μετά από μετατόπιση και στροφή (που είναι ομοιομορφισμοί), να υποθέσουμε ότι η εξίσωση της έλλειψης παίρνει ...

Πολλές φορές στους ορισμούς χρησιμοποιούμε το "αν" αντί του "αν και μόνο αν". Έτσι, για το σχολικό βιβλίο (αλλά όχι για όλα τα βιβλία) αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο $\Delta$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta$ τότε η $f$ είναι κυρτή στο $\Delta$ αν εξ ορισμού (ή, αν και μόνο αν) η $f'$...

Πολλές φορές στους ορισμούς χρησιμοποιούμε το "αν" αντί του "αν και μόνο αν". Έτσι, για το σχολικό βιβλίο (αλλά όχι για όλα τα βιβλία) αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο $\Delta$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta$ τότε η $f$ είναι κυρτή στο $\Delta$ αν εξ ορισμού (ή, αν και μόνο αν) η $f'$ ...

Μια απόπειρα: Έστω $x>0$. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για την $f(x)=e^x$ στο $[0,x]$. Επομένως υπάρχει $\xi\in (0,x)$ τέτοιο, ώστε $f'(\xi)=\frac{e^x-1}{x}$. Άρα $0<\xi<x\Rightarrow f'(0)<f'(\xi)<f'(x)\Rightarrow 1<\dfrac{e^x-1}{x}<e^x$. Με κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε $\lim\limits_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=...

Έχουμε $2(x^2-6x)+19=2(x^2-6x+9)+1 \ge 1$ άρα $\sqrt{2(x^2-6x)+19}=\sqrt{2(x^2-6x+9)+1} \ge1$ και η ισότητα ισχύει μόνο για $x=3$. Επίσης $3(x^2-6x)+36=3(x^2-6x+9)+9\ge 9$ άρα $\sqrt{3(x^2-6x)+36}=\sqrt{3(x^2-6x+9)+9} \ge 3$ και η ισότητα ισχύει μόνο για $x=3$. Άρα $\sqrt{2(x^2-6x)+19}+\sqrt{3(x^2-6...

Το αριστερό μέλος έχει ολικό ελάχιστο το για ενώ το δεξί μέλος έχει ολικό μέγιστο για το . Επομένως μοναδική λύση της εξίσωσης είναι το .

Να δείξετε ότι ισχύει για κάθε .

Έστω $a\in Z(\mathrm{Sym}(X))$ με $a\not=1$. Τότε υπάρχουν $i\not=k\in X$ έτσι ώστε $a(i)=k$. Έστω $j\in X$ με $j\not=i,k$ (υπάρχει αφού $|X|\ge 3$) και η μετάθεση $b=(k\ j)$ . Τότε έχουμε: $ab(i)=a(i)=k$ και $ba(i)=b(k)=j\not=k$. Αυτό σημαίνει ότι $ab\not=ba$, το οποίο είναι άτοπο αφού $a\in Z(\mat...