Καλησπέρα σε όλους.
Κοιτάζοντας ένα παλιό βιβλίο του αγαπητού φίλου Μπάμπη Στεργίου βρήκα την άσκηση αυτή.
Ας ρίξουμε μια ματιά και ας προβληματισθούμε για το τι διδάσκαμε τότε (1998).
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης


Δεν καταλαβαίνω.
Αν μια συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε
$x> 0 ...

Η συνάρτηση $f^{3}(x)+f(x)$
είναι συνεχής οπότε στο τυχαίο $a\epsilon R$
έχουμε $\lim_{x\rightarrow a}\left [ f^{3}(x) \right+f(x) -f^{3}(a)-f(a)]=0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}\left\left [ (f(x)-f(a)) \right(f^{2}(x)+f(x)f(a)+f^{2}(a)+1) ]=0$
Επειδή η παράσταση $f^{2}(x)+f(x)f(a)+f^{2}(a)+1 ...

Αφού όπως διευκρινίσθηκε ότι η συνάρτηση πληρεί και τις δύο σχέσεις
και έμεινε αναπάντητη θα την απαντήσω.

Εχει συζητηθεί στο :logo: ότι τότε είναι συνεχής στο $0$.

Βγαίνει συνεχής παντού οπότε καταλήγουμε στο ότι $f(x)=x$

Τελικά οι λύσεις είναι $f(x)=0$ η $f(x)=x$

Παράκληση.Αν κάποιος ξέρει ...

Οι συναρτήσεις της μορφής ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του θέματος αλλά για κάθε τιμή του παίρνουμε διαφορετική τιμή για το .
Άρα το θέμα δε στέκει αν δε δοθούν επιπλέον προϋποθέσεις.

Οι περιοδικές συναρτήσεις δεν ορίζονται σε κλειστά διαστήματα διότι πρέπει να περιλαμβάνουν τιμές $(x+kT) \forall k\epsilon Z$.
Επίσης δε μπορώ να καταλάβω γιατί το πεδίο τιμών μιας περιοδικής πρέπει να είναι της ίδιας κατηγορίας με το πεδίο τιμών της παραγώγου της.
Πχ η εφχ έχει ΠΤ το R ενώ η ...

Ολίγον τηλεγραφική απόδειξη. Δεν ξέρω αν θεωρείται ολίγον ή πολύ εκτός. Πάντως είναι σίγουρα εκτός.

Μία συνάρτηση περιοδική, έστω περιόδου $\displaystyle{T}$, με πεδίο ορισμού κάποιο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και συνεχής έχει σύνολο τιμών κάποιο κλειστό διάστημα.

Αν λοιπόν η αρχική ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 03, 2017 8:59 pm

Επίτιμος Κ έγραψε: Παρ Νοέμ 03, 2017 4:53 pm Να βρεθούν οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τις ισότητες

και

Θέλουμε να ισχύουν και οι δύο σχέσεις συγχρόνως ή χωριστά;

Φυσικά και τις δυο πχ η σταθερή συνάρτηση ή η ταυτοτική

Για σας. Δε γνωρίζω αν έχει ξανατεθεί. Το αρχείο σας είναι μεγάλο. Με επιφύλαξη θέτω το εξής θέμα:

Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:R\rightarrow R$ που $\forall x,y\epsilon R$ ικανοποιούν τις ισότητες

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ και $f(xy)=f(x)f(y)$


Σίγουρα έχουν συζητηθεί. Πάντως αν ζητάμε όλες τις ...

Για σας. Δε γνωρίζω αν έχει ξανατεθεί. Το αρχείο σας είναι μεγάλο. Με επιφύλαξη θέτω το εξής θέμα:

Να βρεθούν οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τις ισότητες

και

Νομίζω, ότι αν η f ήταν ορισμένη και συνεχής σ΄όλο το R, η άσκηση θα ήταν περιεκτικότερη και με πιο εύκολη διατύπωση.
Το κλειστό διάστημα (δε χρειάστηκε πουθενά) και οι τομές εκεί πέρα θα έλλειπαν. Μια που ανοίξαμε κάτι να πούμε.

Η $y=e(3x-2)$ έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την $x^{2}e^{x}$ και είναι εφαπτομένη της στη θέση 1.
Επομένως το το εμβαδόν που ζητάμε δίνεται από το $\int_{0}^{1}(x^{2}e^{x}-e(3x-2))dx=\frac{3e-4}{2}$.
Το ίδιο ολοκλήρωμα από 0 έως χ είναι $F(x)=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}-\frac{3e}{2}x^{2}+2ex-2$.
Η ...

Επιτρέψτε μου μια μικρή διαφωνία κ Koutsouridi. Αν το πρόβλημα δινόταν κατά τρόπο αρθρωτό προσωπικά δεν θα με ενδιέφερε. Αισθάνομαι άβολα όταν μου κατευθύνουν τη σκέψη. Το πρόβλημα τέθηκε όχι μόνο έξυπνα, αλλά υπέροχα, όπως ακριβώς αισθάνθηκα και εγώ όταν έφτασα στη λύση του.
Ευχαριστώ

Χάριν συντομίας ας βάλουμε $f(a)=f$ και $g(a)=g$ . Επίσης $F(x)=\frac{x^{2}f+1}{x^{2}+g}$ και $G(x)=\sqrt{\frac{xg-1}{f-x}}$
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι $F(G(x))=x$ δηλαδή ότι $F$ και $G$ είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ $F$ η δεν είναι συμμετρική ως προς την ...

Για σας.
Μου προκάλεσε ενδιαφέρον το θέμα "Διερευνητική" και θέλω να διατυπώσω κάποιες σκέψεις.
Στο βιβλίο " Άλγεβρα Β" δίνεται ο αριθμός e ως το όριο στο άπειρο της αύξουσας ακολουθίας
$(1+\frac{1}{n})^{n}$ απ' όπου προφανώς είναι $e>\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}$
Εδώ για έναν καλό ...