Δίνονται οι συναρτήσεις $f:\left [ -\pi ,\pi \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\left ( x \right )=x+\sin x $
και $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δυο φορές παραγωγίσιμη στο $ \mathbb{R}$ με $ xg''\left (x \right )> 0$ $ \forall x\neq 0 $
η οποία έχει εφαπτομένη τη διχοτόμο $y=x$ στο σημείο ...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Βλάχος Στυλιανός
Μαθηματικός

panagiotis iliopoulos έγραψε: Κυρ Μάιος 03, 2020 7:13 am Έχω την εντύπωση ότι το πρώτο ερώτημα θέλει ανισοισότητα και όχι γνήσια ανισότητα.

Είναι μια χαρά το πρώτο ερώτημα. Το ίσον είναι απλά ένα ΘΜΤ στο δε λέει και πολλά , εγώ ζητάω κάτι παραπάνω , βγαίνει .

Έστω συνάρτηση $f$ 2 φορές παραγωγίσιμη στο $\left [ 0,1 \right ]$ με $f\left ( 0 \right )= 0 , f\left ( 1 \right )= 3 , f'\left ( 0 \right )=f'\left ( 1 \right )=0$ .
(A) Να δειχθεί ότι υπάρχει $x_{1}\in \left ( 0,1 \right ):f'\left ( x_{1} \right )>3$ .
(B) Να δειχθεί ότι υπάρχει $x_{2}\in \left ...

Για $0<x<5$ κάνοντας την αντικατάσταση $x=5\cos \theta$ με $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ φτάνουμε στην $\left | \sin \theta \right |=\sin\theta = \cos \left ( 5\cos \theta \right )$ .
Τώρα έχουμε πως $\cos \left ( 5\cos \theta \right )=\cos \left ( \frac{\pi }{2}-\theta \right )\Rightarrow 5\cos ...

Παρατηρούμε ότι το $-6$ είναι η μοναδική ακέραια λύση της εξίσωσης για κάθε τιμή της παραμέτρου $a$ . Προφανώς δε θέλουμε να έχουμε άλλη.
$\forall x\notin \mathbb{Z} $ η εξίσωση είναι ισοδύναμη προς την $y^{2}-\left ( a-1 \right )y+\left ( a-1 \right )= 0$ , όπου $y=\frac{\sin \left ( x+6 \right ...

Για το (Ε) πάνω σε αυτήν την ιδέα κατασκεύασα την άσκηση
1ον Να παρατηρήσουμε ότι είναι άρτια εξίσωση με λύση το $0$ και έτσι να περιοριστούμε στο διάστημα $(0,5)$ .
2ον Να δουλέψουμε ξεχωριστά στα διαστήματα $\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ) , \left ( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right ...

Έστω συνάρτηση $f:\left [ -5 ,5\right ]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής στο $\left [ -5 ,5\right ]$ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\left ( -5,5 \right )$ με $f\left ( 0 \right )= 5 , f'\left ( 0 \right )= 0 $
και $f\left ( x \right ) f''\left ( x \right )+\left ( f'\left ( x \right ) \right )^{2 ...

Αρχικά, ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα.
Λίγο διαφορετικά για το (3) έχουμε πως για να περάσει το ορθογώνιο στην περίπτωση $0< \theta < \frac{\pi }{2}$
θα πρέπει $\delta \leq 2\sqrt{2}\alpha -2\gamma $ και έτσι για το εμβαδόν έχουμε διαδοχικά πως:
$\varepsilon = \delta\gamma \leq 2 ...

Θεωρούμε τη συμβολή δύο κάθετων διαδρόμων πλάτους α όπως στο σχήμα .
Θεωρούμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ που τοποθετείτε έτσι ώστε οι δύο κορυφές του να ακουμπούν στους τοίχους των διαδρόμων και η πλευρά ΒΓ να ακουμπά στην κορυφή Ο της γωνίας θ (όπως στο σχήμα) .
Οι διαστάσεις του ορθογωνίου ...

Το παρακάτω διαγώνισμα επιμελήθηκαν οι μαθηματικοί του 4ου Λυκείου Πετρούπολης

Βλάχος Σπύρος , Καλαμάτας Άρης και Τσαγκάρης Κώστας .

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $y=\sqrt{x^{2}+1}-x $ έχουμε $x=\frac{1-y^{2}}{2y}$ και $dx=-\frac{1+y^{2}}{2y^{2}}dy$ οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται $-\int \sqrt{y}\left (\frac{1+y^{2}}{2y^{2}} \right )dy= \frac{3-y^{2}}{3\sqrt{y}}=\sqrt{y}\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{3}y \right )=\frac{2}{3 ...

Αρχικά να σας ευχαριστήσω για τις παρατηρήσεις και τα σχόλιά σας καθώς μέσα από αυτά γινόμαστε καλύτεροι άνθρωποι .
Εντάξει αν αυτό είναι ερώτημα Β1 τότε οι άνθρωποι διδάσκουν στο Princeton.
Γενικά όταν βγαίνει ένας διαγώνισμα μαζεύονται οι μαθηματικοί με το υποψήφιο τελείως δικό τους διαγώνισμα ...

Το παρακάτω διαγώνισμα επιμελήθηκαν οι μαθηματικοί του 4ου Λυκείου Πετρούπολης

Βλάχος Σπύρος , Καλαμάτας Άρης και Τσαγκάρης Κώστας .

Στην πρώτη λύση δείχνω ότι αντί του .

Πολύ σωστή η επισήμανση του κύριου Σταύρου .

Έστω $A\subseteq \mathbb{R}$ υπεραριθμήσιμο και υποθέτουμε , προς απαγωγή σε άτοπο , ότι το

$A$ δεν περιέχει κανένα σημείο συσσώσευσής του . Έτσι για ένα $x\in A$ έχουμε πως

$\exists \delta \equiv \delta \left ( x \right )> 0 : \left ( x-\delta ,x+\delta \right )\cap A=\left \{ x \right ...

Έστω $A\subseteq \mathbb{R}$ υπεραριθμήσιμο τότε $A= A\cap \mathbb{R}=A\cap \bigcup_{k=-\infty }^{\infty }\left [ k,k+1 \right ]=\bigcup_{k=-\infty }^{\infty }\left ( A\cap \left [ k,k+1 \right ] \right ) $

και αφού $A$ άπειρο έπεται πως υπάρχει ακέραιος $k$ τέτοιος ώστε $B=A\cap \left [ k,k+1 ...

Κάνοντας τη αλλαγή μεταβλητής $y=x^{2}$ το ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή

$J=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty }ln\left ( y \right )y^{-\frac{1}{2}}e^{-y}dy=\frac{1}{4}{\Gamma }'\left ( \frac{1}{2} \right ) =-\frac{1}{4}\sqrt{\pi }\left ( \gamma +2ln(2) \right )$

Πιο αναλυτικά, αν $\psi =\frac{{\Gamma ...

Ισχυριζόμαστε ότι $HD=\frac{AD}{4}$ . Πράγματι , αυτό προκύπτει αμέσως αν δούμε ότι

$\angle HMD=\angle DAN\Rightarrow tan\left ( \right \angle HMD)=tan\left ( \angle DAN \right )\Rightarrow\frac{HD}{MD}= \frac{DN}{DA}$

και λόγω των σχέσεων $MD=\frac{BD}{2} , ND=\frac{CD}{2} , BD\cdot CD=AD^{2 ...

Αρχικά επειδή δε με βολεύουν οι συμβολισμοί θα τους αλλάξω λίγο .

Πιο συγκεκριμένα θέτω

$A_{1}=\angle CAP$ , $A_{2}=\angle BAP$ , $B_{1}=\angle ABP$ , $B_{2}=\angle CBP$ , $C_{1}=\angle BCP$ , $C_{2}=\angle ACP$

και έτσι ζητάμε να δείξουμε την ανισότητα

$a\left ( sin(B_{1})+sin(C_{2}) \right ...