Το παρακάτω διαγώνισμα επιμελήθηκαν οι μαθηματικοί του 4ου Λυκείου Πετρούπολης

Βλάχος Σπύρος , Καλαμάτας Άρης και Τσαγκάρης Κώστας .

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $y=\sqrt{x^{2}+1}-x $ έχουμε $x=\frac{1-y^{2}}{2y}$ και $dx=-\frac{1+y^{2}}{2y^{2}}dy$ οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται $-\int \sqrt{y}\left (\frac{1+y^{2}}{2y^{2}} \right )dy= \frac{3-y^{2}}{3\sqrt{y}}=\sqrt{y}\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{3}y \right )=\frac{2}{3}...

Αρχικά να σας ευχαριστήσω για τις παρατηρήσεις και τα σχόλιά σας καθώς μέσα από αυτά γινόμαστε καλύτεροι άνθρωποι . Εντάξει αν αυτό είναι ερώτημα Β1 τότε οι άνθρωποι διδάσκουν στο Princeton. Γενικά όταν βγαίνει ένας διαγώνισμα μαζεύονται οι μαθηματικοί με το υποψήφιο τελείως δικό τους διαγώνισμα και...

Το παρακάτω διαγώνισμα επιμελήθηκαν οι μαθηματικοί του 4ου Λυκείου Πετρούπολης

Βλάχος Σπύρος , Καλαμάτας Άρης και Τσαγκάρης Κώστας .

Στην πρώτη λύση δείχνω ότι αντί του .

Πολύ σωστή η επισήμανση του κύριου Σταύρου .

Έστω $A\subseteq \mathbb{R}$ υπεραριθμήσιμο και υποθέτουμε , προς απαγωγή σε άτοπο , ότι το $A$ δεν περιέχει κανένα σημείο συσσώσευσής του . Έτσι για ένα $x\in A$ έχουμε πως $\exists \delta \equiv \delta \left ( x \right )> 0 : \left ( x-\delta ,x+\delta \right )\cap A=\left \{ x \right \}$ ισοδύναμ...

Έστω $A\subseteq \mathbb{R}$ υπεραριθμήσιμο τότε $A= A\cap \mathbb{R}=A\cap \bigcup_{k=-\infty }^{\infty }\left [ k,k+1 \right ]=\bigcup_{k=-\infty }^{\infty }\left ( A\cap \left [ k,k+1 \right ] \right ) $ και αφού $A$ άπειρο έπεται πως υπάρχει ακέραιος $k$ τέτοιος ώστε $B=A\cap \left [ k,k+1 \righ...

Κάνοντας τη αλλαγή μεταβλητής $y=x^{2}$ το ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή $J=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty }ln\left ( y \right )y^{-\frac{1}{2}}e^{-y}dy=\frac{1}{4}{\Gamma }'\left ( \frac{1}{2} \right ) =-\frac{1}{4}\sqrt{\pi }\left ( \gamma +2ln(2) \right )$ Πιο αναλυτικά, αν $\psi =\frac{{\Gamma }'}{\G...

Ισχυριζόμαστε ότι $HD=\frac{AD}{4}$ . Πράγματι , αυτό προκύπτει αμέσως αν δούμε ότι $\angle HMD=\angle DAN\Rightarrow tan\left ( \right \angle HMD)=tan\left ( \angle DAN \right )\Rightarrow\frac{HD}{MD}= \frac{DN}{DA}$ και λόγω των σχέσεων $MD=\frac{BD}{2} , ND=\frac{CD}{2} , BD\cdot CD=AD^{2} $ και...

Αρχικά επειδή δε με βολεύουν οι συμβολισμοί θα τους αλλάξω λίγο . Πιο συγκεκριμένα θέτω $A_{1}=\angle CAP$ , $A_{2}=\angle BAP$ , $B_{1}=\angle ABP$ , $B_{2}=\angle CBP$ , $C_{1}=\angle BCP$ , $C_{2}=\angle ACP$ και έτσι ζητάμε να δείξουμε την ανισότητα $a\left ( sin(B_{1})+sin(C_{2}) \right )+b\lef...

Λοιπόν, ο τρόπος που σκέφτηκες είναι τρόπος Γεωμέτρη. Μου αρέσει. Και το σχήμα που έβαλες είναι εντυπωσιακό. Στο γράψιμο υστερείς, προς το παρόν, αλλά σίγουρα θα το βελτιώσεις. (Αν είσαι μαθητής πιάσε χάρακα και διαβήτη. Οχι geogebra. Θα λύσεις λιγότερες ασκήσεις αλλά θα καταλάβεις καλύτερα την Γεω...

Ναι αυτό εννοώ . Βέβαια μπορεί να χάνω κάτι και να μην το έχω καταλάβει! Εξηγήστε μου σας παρακαλώ αν σας είναι εύκολο τι θα έπρεπε να πούμε .

Ναι πολύ σωστά, όμως εδώ είναι ίσα καθώς και λοιπά . Επίσης αν τότε τα είναι τα συμμετρικά των αντίστοιχα ως προς .

Έστω $O$ το κέντρο του εγγράψιμου τετραπλεύρου $ABCD$ και $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $D_{1}$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων $BCD$ , $ACD$ , $ABD$ , $ABC$ αντίστοιχα . Τότε $AD_{1}=//DA_{1}=2dist(O,BC)$ συνεπώς $AD_{1}A_{1}D $# άρα $AD=A_{1}D_{1}$ και ομοίως οι άλλες ισότητες . Έτσι το τετράπλευρο που...

Αν Κ είναι το σημείο τομής των AB και CD τότε (1) Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KBC με διατέμνουσα την EZH παίρνουμε $\frac{EK}{EB}\cdot \frac{ZB}{ZC}\cdot \frac{HC}{HK}=1$ (2) Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο KAD με διατέμνουσα την EHF παίρνουμε $\frac{EK}{EA}\cdot \frac{FA}{FD}\cdot \frac...

Παρατηρούμε ότι $f_{n}(1)=\sum_{k=1}^{n}k= \frac{n(n+1)}{2}\neq 0 \forall n\geq 1$ επομένως έχουμε $f_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)z^{k}=\frac{z^{n+1}-(n+1)z+n}{(z-1)^{2}}=\frac{z^{n}+z^{n-1}+...+z^{2}+z-n}{z-1} \forall z\neq 1$ και άρα $f_{n}(z)=0\Leftrightarrow z^{n}+z^{n-1}+...+z^{2}+z-n=0\Rightar...

Έχουμε πως $f^{\left ( n \right )} \right \left ( x \right )= \sum_{k=0}^{\infty } \frac{1}{n+k+1}\frac{x^{k}}{k!}$ και $e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty } \frac{x^{k}}{k!}$ επομένως $\left | nf^{\left ( n \right )} \right \left ( x \right )-e^{x}|\leq \sum_{k=0}^{\infty } \frac{k+1}{n+k+1}\frac{\left | x \...

Για $x< 0$ ισχύει η ανισότητα $f\left ( x \right )< f\left ( sin\left ( x \right ) \right )< sin\left ( f\left ( x \right ) \right )$ επίσης για $x=0$ είναι $f\left ( sin\left ( 0 \right ) \right )=f\left ( 0 \right )<sin\left ( f\left ( 0 \right ) \right )$ αφού $f\left ( 0 \right )< 0 $ άρα δεν έχ...

Στο πρώτο ερώτημα, , πιστεύω ότι δεν έχει απαντηθεί η περίπτωση . Επίσης δεν ισχύει η ισότητα για και σε όλα τα ερωτήματα οι ανισότητες είναι γνήσιες.

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ με τύπο $f\left ( x \right )=x-\ln\left ( e^{x} +1\right )$ , τότε (α) $f\left ( sin\left ( x \right ) \right )< sin\left ( f\left ( x \right ) \right )$ $\forall x \in \mathbb{R}$ (β) $f\left ( \cos \left ( x \right ) \right )<cos\left ( f\left ( x \right ...