Λίγο άκυρος χρονικά. Γράφω μια λύση η οποία πιστεύω αναδεικνύει μια χρήσιμη ιδέα: Η ιδέα είναι να θεωρήσουμε την παρακάτω συνάρτηση, η οποία πληροί τις παρακάτω ενδιαφέρουσες ιδιότητες: Ορίζουμε $g(x)\left\{\begin{matrix} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}, x\in (-\infty,c)\cup(c,\infty)& & & & & \\ f'(c), x=c& ...

Ισχύει και η παρακάτω γενίκευση: Έστω $ABC$ σκαληνό τρίγωνο και $l$ μια ευθεία που διέρχεται από το ορθόκεντρο $H$. Έστω ότι η $l$ τέμνει την $AB$ στο $E$ και την $AC$ στο $F$. Αν $K$ είναι το περίκεντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $AEF$ και $AK$ τέμνει τον περίγεγραμμένο κύκλο του $ABC$...

Καλησπέρα και από μένα. Ας δούμε μια προσέγγιση για το αρχικό που βασίζεται στο ότι το πλήθος των $4\times 2$ ή $2\times 4$ πλακιδίων είναι περιττό. Λύση: Θεωρούμε $\omega$ μια (οποιαδήποτε) πρωταρχική όγδοη ρίζα της μονάδας (που ταυτίζεται με τις ρίζες του πολυωνύμου $x^4+1$). Βάζουμε στο κελί με σ...

Αν να αποδείξετε ότι .

Καλημέρα Πρόδρομε, Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονική τους μορφή, οι πρώτοι αριθμοί θα είναι οι ίδιοι σε κάθε αριθμό. Το μόνο που θα αλλάζει...

Μια διαφορετική αντιμετώπιση για την γεωμετρία: Είναι $\angle ADG=\angle ACB=\angle ABC$(1) και $\angle BFD=90$. Άρα στο ορθογώνιο $\Delta AEG$ είναι $\angle GEF=\angle EAF$(2). Από τις (1),(2) προκύπτει ότι οι κύκλοι $(A,B,D)$ και $(A,F,E)$ εφάπτονται στην $DE$ στα $D$ και $E$ αντίστοιχα. Ο ριζικός...

Καλησπέρα! Έστω $n=da$(με d,a θετικοί ακέραιοι). Τότε $d^{2}a+1/d^{2}a^{2}+d^{2}=d^{2}(1+a^{2})$. Εύκολα δείχνουμε ότι $(d^{2}a+1,d^{2})=1$ (θα επανέλθω με απόδειξη). Συνεπώς $d^{2}a+1/1+a^{2}$ άρα $a^{2}-kd^{2}a-k+1=0(1)$(βάζω $a^{2}+1=kd^{2}a+k$ και κάνω πράξεις(k προφανώς θετικός ακέραιος). Θεωρο...

Για το 3 των μικρών: Ισοδύναμα είναι $K=2+\frac{a^{2}+b^{2}+4a}{ab}$.Συνεπώς πρέπει ο $L=\frac{a^{2}+b^{2}+4a}{ab}$ να είναι ακέραιος (και αφού α,b θετικοί ακέραιοι θα είναι και ο L επίσης θετικός). Έστω προς άτοπο ότι ο $a$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Τότε υπάρχει πρώτος $p$ που διαιρεί το...

Καλησπέρα Πρόδρομε και Χρόνια πολλά σε όλα τα μέλη του :logo: , Έστω $M$ η προβολή του $O$ στη $BC$. Έστω $F\equiv AD\bigcap OM$. Έστω $H$ το ορθόκεντρο του $\Delta ABC$ και μάλιστα συμμετρικό του $O$ ως προς το $E$. Εύκολα τώρα $OF=AH$(αξιοποιώ την παραλληλία των $AH$ και $OF$). Αφού $AH=2OM$ έπετα...

Πολύ διδακτική άσκηση! Αρχικά θα δείξουμε το εξής λήμμα: Λήμμα Δίνεται τρίγωνο $\Delta ABC$ με έγκεντρο $I$ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται των $AB,AC$ στα $D,E$ αντίστοιχα. Αν $BO\bigcap DE\equiv T$ τότε $\angle CTB=\frac{\pi }{2}$ Απόδειξη Είναι $\angle AED=\frac{\pi }{2}-\frac{\angle A}{...

Θεωρώ $BP\bigcap CH\equiv M$ και $BP\bigcap AC\equiv Q$. Τότε έχω $\Delta ACP\sim \Delta BHC\Leftrightarrow \frac{BC}{AP}=\frac{BH}{AC}$(1). Επισης $\Delta APQ\sim \Delta BCQ$ άρα $\frac{BC}{AP}=\frac{AQ}{QC}$(2). Από τις (1),(2) παίρνουμε $\frac{BH}{AC}=\frac{AQ}{QC}=\frac{BH}{AB}$(3). Το θεώρημα Μ...

Από Holder είναι:

δηλαδή

Λίγο αλλιώτικα το τελείωμα: (Χρησιμοποιώ το σχήμα του Προδρόμου) Με κυνήγι γωνιών(αρκετά παρεμφερές με το προηγούμενο ποστ) βρίσκουμε ότι $HE=EI=EC=EB=EO=R$.Στο τρίγωνο $AHE$ η τριγωνική ανισότητα δίνει $AH+HE> AE=AI+IE$ δηλαδή $AH> AI$. H περίπτωση που $AH=AI$ ισχύει όταν το τρίγωνο $AHE$ είναι εκφ...

Δίνεται τρίγωνο με ορθόκεντρο και περίκεντρο .Έστω τα ίχνη των υψών του τριγώνου στις αντίστοιχα. Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο . Να αποδειχθεί ότι .

Χρόνια Πολλά και Χριστός Ανέστη! Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $x,y$ που είναι τέτοια ώστε $3^{x}+2=5^{y}$. Υ.Γ. Ενδεχομένως να είναι αρκετά εύκολη για αυτόν τον φάκελο. Αλλά την προσπαθώ από την προηγούμενη εβδομάδα και δεν έχω καταλήξει ακόμη σε πλήρη λύση. Με συγχωρείται αν είναι αρκετά...

Έστω $O_{1},O_{2}$ τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των $\Delta ADB,\Delta AEC$ αντίστοιχα. Με νόμο ημιτόνων έχουμε $\frac{DB}{sin\angle BAD}=2O_{1}B$, $\frac{EC}{sin\angle EAC}=2O_{2}C$ και αφού $\angle BAD=\angle EAC$ και $DB=EC$ προκύπτει ότι $O_{1}B=O_{1}C$. Έστω $M$ το μέσον του $DE$ και έσ...

Καλησπέρα, μία λύση για το 1ο. Θα εξετάσουμε την περίπτωση για$p,q,r$ διάφοροι του 3. Τότε, από μικρό θεώρημα $Fermat$ έχουμε ότι $p^{2}\equiv 1 mod 3$,$q^{2}\equiv 1mod3$,$r^{2}\equiv 1mod3$. Συνεπώς το αριστερό μέλος είναι ισότιμο 2 modulo 3 ενώ το δεξί, 1 mod 3, άτοπο. Άρα ένας εκ των τριών είναι...

Μια ερώτηση. Μια εκθετική μπορεί να έχει περισσότερες από μια λύσεις? Και κάτι ακόμα. Αφού την επιλύουμε στο R, γιατί βρήκαμε μόνο για x<2, x=1; Θα παραθέσω τη λύση μου. Για$X< 0$ το αριστερό μέλος είναι αρνητικό, άτοπο. Για $x\geq 0$ από $AM-GM$ έχουμε $2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}=4\geq 2^{\fr...

Με νόμο ημιτόνων στο $\Delta ABC$ έχω $\frac{AC}{sin10}=\frac{AB}{sin20}= \frac{BC}{sin30}$ και στο τρίγωνο$DAC$ είναι $\frac{AD}{sin30}=\frac{DC}{sin \angle CAD}=\frac{AC}{sin\vartheta }$. Όμως $AD=BC$ άρα προκύπτει ότι οι δύο αυτές ισότητες θα είναι ίσες μεταξύ τους άρα $\frac{AC}{sin10}=\frac{AC}...

Έχουμε $999\geq n$, $27\geq s(n)$, $10\geq s(s(n))$. Έχουμε επίσης ότι $s(n)+s(s(n))\leq 37$$\Leftrightarrow n\geq 962$, άρα $999\geq n\geq 962$. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: $n\equiv 0 mod9$, συνεπώς $$s(n)$=27$, ή $$s(n)$=18$, και $s(s(n))=9$. Αν $s(n)=18$ τότε $n=972$. Αν$s(n)=27$ τότε $n=963$ το...