Συγχαρητήρια στα παιδιά για τις πολύ καλές επιδόσεις και ιδιαίτερα στον kwstas12345 που δίδαξε ανάλυση!

$3 | 1+2^k$ άρα ο k είναι περιττός. Έστω $P=1+2^k+...+n^k$. Αν ο n είναι άρτιος, $P \equiv 1+2^k+...+(-2)^k+(-1)^k\equiv 0 (mod (n+1))$ και $P\equiv 1+2^k+...+(-1)^k+0\equiv \frac{n}{2} (mod n)$ άρα $P\equiv 0 (mod \frac{n}{2})$ και αφού $(\frac{n}{2},n+1)=1$, $\frac{n(n+1)}{2} | P$. Ομοίως ...

Μπράβο ρε Γιώργο, τό' πες και τό' κανες!
Συγχαρητήρια επίσης και στα υπόλοιπα παιδιά που πήγαν πολύ καλά!

Σας ευχαριστώ όλους!

Όπως έστειλα και σε pm στον stuart clark, ξέχασε τα f(1) και f(-1) και επίσης νομίζω πως ο τελικός τύπος είναι .

Άποψή μου είναι ότι από τη στιγμή που η ερώτηση περιέχει το όριο σαν μαθηματικό σύμβολο και δεν αναφέρει τίποτα για ύπαρξη, σημαίνει ότι ορίζεται.
Διαφωνώ. Το να γράψει κανείς $\displaystyle{\lim_{x\to x_{0}}f(x)}$ δε σημαίνει ότι αυτό υπάρχει κιόλας. Είναι απλά ένας συμβολικός τρόπος να κάνεις ...

Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;
Όχι. Αν το βρεις, τότε προφανώς υπάρχει. Γιατί;
Μπορείς να πάρεις περιπτώσεις για την τιμή του, υποθέτοντας ότι υπάρχει.


Αν ήθελε και ύπαρξη δε θα έπρεπε να λέει "Να βρεθεί αν ...

Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;

Για x=y=0 παίρνουμε $f(0)=f(0)+f(f(0)) \Rightarrow f(f(0))=0$. Βάζοντας ανάποδα τα x και y, ισχύει $min\{f(x),f(f(y))\}+max\{f(f(x)),f(y)\}=min\{f(y),f(f(x))\}+max\{f(f(y)),f(x)\}$$\Rightarrow |f(x)-f(f(y))|=|f(f(x))-f(y)|$ (1)
Επίσης για y=0, $f(x)=min\{f(x),0\}+max\{f(f(x)),f(0)\}$.
Έστω x τέτοιο ...

Έδινα σήμερα. Εκτός από αυτά που προαναφέρθηκαν, στο Δ3β:
Αν x1< x2< x3 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και vi=2xi+1, i=1,2,3 οι συχνότητες των παρατηρήσεων xi τότε να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων.
Δόθηκε η διευκρίνιση Να αντικατασταθούν οι λέξεις "παρατηρήσεων" με τις λέξεις τιμών" . Άρα ...

Κάπου μπάζει η άσκηση; Οι 3 και f(f(3)) δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι πάντα άρτιος, άρα αποκλείεται να καταλήξουμε με έναν περιττό αριθμό.

Να βρείτε την τιμή της παράστασης

Θα προσπαθήσω να δώσω ένα γενικό τύπο (Νίκο δεν κοίταξα ακόμα τη λύση σου οπότε δεν ξέρω αν συμπίπτουμε ή το αντίθετο)

Έστω $f(n)$ οι δυνατές μεταθέσεις (με το ζητούμενο τρόπο) $n$ ανθρώπων, υπό την προϋπόθεση ότι ο πρώτος δεν θα πάει αριστερά και ο τελευταίος δεν θα πάει δεξιά.
Βλέπουμε τότε ότι ...

Εναλλακτικά για το πρώτο ερώτημα της γεωμετρίας, ΑΗ//=ΟΟ1, άρα Ο1Η=ΟΑ=R και ομοίως για τις άλλες, άρα το ορθόκεντρο είναι η τομή των 3 κύκλων.

Για το 2:
Αφού για κάθε διαιρέτη $d$ κάνουμε συνολικά $K$ αλλαγές καταστάσεων που μοιράζονται σε $\frac{K}{d}$ κύκλους, αλλάζουμε την κατάσταση του κάθε κύκλου $d$ φορές. Έστω ότι ο $K$ έχει έναν πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο του 2, έστω $p$. Τότε οι μόνοι διαιρέτες του κύκλου $p$ θα είναι οι $1,p$ και ...

Παρατηρούμε ότι $a_{n+3}=a_n b(a_n) + 605$, όπου $b(x)$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Αν $11|a_n$ για κάποιο $n\leq 5$, $a_{n+3}=a_n b(a_n) + 11\cdot 55 = 11(k\cdot b(a_n) + 55)$ και το ζητούμενο ισχύει, αφού $gcd(a_n,a_{n+3})\geq 11$.
Τώρα βλέπουμε ότι τα ζεύγη $(a_n,a_{n+1}) (mod11)$, είναι ...

Συγχαρητήρια στα παιδιά και ιδιαίτερα στον Ηλία Ζαδίκ!

Κώστας Παππέλης έγραψε:userresu, (Κυριάκο συγχαρητήρια κιόλας) δες τη λύση μου στην πρώτη σελίδα.

Ωχ ναι συγγνώμη, τώρα το είδα!

Ας δούμε κάτι για το 4ο θέμα των μεγάλων. (δεν ξέρω κατά πόσο μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση του ζητουμένου βέβαια)

Θα αποδείξουμε, με δεδομένο ότι $MZ\perp BC$, ότι το $M$ είναι το μέσον του $LN$.
Αφού το $L$ είναι στη μεσοκάθετο του $AB$, $LA=LB$, δηλαδή $\hat{LAB}=\hat{LBA}$. Όμως $\hat{LBA ...