Η αναζήτηση βρήκε 195 εγγραφές

από Altrian
Σάβ Νοέμ 30, 2019 6:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 140

Re: ΑΠΟ ΤΟ ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''

Τηλέμαχε καλησπέρα, Νομίζω για αυτό πρέπει να σκεφθούμε ως εξής: Η πιθανότητα να μην περάσει κανένα αυτοκίνητο σε $30$ λεπτά είναι $1-0,95=0,05$ Χωρίζουμε το $30$λεπτο σε τρία $10$λεπτα και έστω $x$ η πιθανότητα να μην περάσει κανένα αυτοκίνητο σε $10$λεπτά. Τότε έχουμε $x*x*x=0,05\Rightarrow x=0,37...
από Altrian
Τετ Νοέμ 27, 2019 1:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ύψος τραπεζίου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 161

Re: Ύψος τραπεζίου

Καλησπέρα, α) Για την κατασκευή: Παίρνω τμήμα $AD=a$ και στην προέκτασή του τμήμα $DF=b$. Κάθε σημείο του ημικυκλίου με διάμετρο την $AF$ μπορεί να είναι το σημείο $C$. β) Ευκολα το μέγιστο ύψος του τραπεζίου είναι η ακτίνα του κύκλου δηλ. $h_{max}=\dfrac{a+b}{2}$ γ) Αν είναι ορθογώνιο εύκολα έχουμε...
από Altrian
Παρ Νοέμ 22, 2019 7:39 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ημικύκλιο κι ευθεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 171

Re: Ημικύκλιο κι ευθεία

Καλησπέρα,

Ευκολα προκύπτει ότι το τμήμα FP μεγιστοποιείται όταν το F είναι το σημείο που η παράλληλη της ευθείας εφάπτεται στον κύκλο.
Αυτό ισχύει για κάθε γωνία ευθείας και διαμέτρου. Τώρα για την 45 έχουμε: FP_{max}=1+\sqrt{2}.
από Altrian
Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:53 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 266

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

Εστω a=x, b=\sqrt{1-x^{2}}\Rightarrow a^{2}+b^{2}=1.

Επίσης ισχύει ότι: a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}\Rightarrow 2\geq (a+b)^{2}\Rightarrow (a+b)_{max}=f_{max}(x)=\sqrt{2}
από Altrian
Τετ Νοέμ 20, 2019 10:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Το ρολόι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 295

Re: Το ρολόι

Μια προσπάθεια με διανυσματικό λογισμό. Ο ρυθμός αύξησης της απόστασης $AB$ είναι η προβολή του διανύσματος της διαφοράς των ταχυτήτων $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ των δεικτών πάνω στην ευθεία $AB$ που τα συνδέει. Δηλαδή $BD-AC$ που είναι το μέγεθος που πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Από ομοιό...
από Altrian
Σάβ Νοέμ 16, 2019 11:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσιο και μέσο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 199

Re: Διπλάσιο και μέσο

Προεκτείνουμε την BS η οποία τέμνει την CD στο N και την κάθετη από το D προς την DB στο F.

α) Τα τρίγωνα FND,MTB είναι ίσα λόγω ίσων γωνιών και του ότι ND=MB. Αρα TB=FD=2x.

β) Αν M μέσο της CB τότε και N μέσο της CD οπότε S βαρύκεντρο του ADB άρα SA=\dfrac{AC}{3}
από Altrian
Τετ Νοέμ 13, 2019 9:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνα εν δράσει
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 221

Re: Τετράγωνα εν δράσει

Φέρνουμε την $FP=\left | \right |GA$. Τα τρίγωνα $PFC,EAP$ είναι ορθογώνια με κάθετες πλευρές $a,b$ άρα είναι ίσα και προκύπτει επίσης ότι: $\angle EPF=90$. και $EP=PF$. Επίσης επειδή $PC=\left | \right |ED\Rightarrow PF,DC$ κάθετες. Αρα: $\bigtriangleup EPF$ ορθογώνιο ισοσκελές. α) $\dfrac{EF}{AG}=...
από Altrian
Τετ Νοέμ 13, 2019 3:36 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ένα δίνω... ένα ζητάω
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 241

Re: Ένα δίνω... ένα ζητάω

Θα ξεκινήσω από το γενικότερο. Εστω $(SDC)=X\Rightarrow (DST)=mX$. Επίσης $(DSC)+(SCB)=(TSB)+(SCB)=(ABCD)/2\Rightarrow (STB)=X\Rightarrow (SCB)=X/m$. Αρα: $(TSBA)=\dfrac{(ABCD)}{2}-mX=X+\dfrac{X}{m}-mX=X(1+\dfrac{1}{m}-m) \Rightarrow \dfrac{(TSBA)}{(ABCD)}=\dfrac{1+\frac{1}{m}-m}{2(1+\frac{1}{m})}=\...
από Altrian
Παρ Νοέμ 08, 2019 8:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισότητα και λόγος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 194

Re: Ισότητα και λόγος

α) $SB^{2}=SP^{2}+PB^{2}\Rightarrow 2a^{2}=\dfrac{b^{2}}{2}+\dfrac{b^{2}}{2}+a^{2}+ba\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b\sqrt{2}}{a}-1=0$ Αρα $\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$. β) Τα τρίγωνα $STA, CTB$ είναι όμοια, άρα: $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{SA}{CB}= \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{AD...
από Altrian
Παρ Νοέμ 08, 2019 11:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μικροδιαφορά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 243

Re: Μικροδιαφορά

Μικροδιαφορά επέκταση.pngΓια την απάντηση στα αρχικά ερωτήματα αρκεί ο λόγος $\dfrac{c}{b}$ , που είναι $\dfrac{2}{3}$ όπως εννοεί ο Μιχάλης με την έκφραση "και λοιπά" . Αν όμως θέλουμε να βρούμε έναν τύπο για την διαφορά αυτή , ( το κόκκινο εξόγκωμα του Antrian ) , θα χρειασθούμε και την πλευρά $a...
από Altrian
Τετ Νοέμ 06, 2019 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μικροδιαφορά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 243

Re: Μικροδιαφορά

Καλημέρα,

Η μικροδιαφορά εποπτικά με κόκκινο. (Σημ. το χρώμα δεν είναι τυχαίο).
από Altrian
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:46 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μειούμενη διαφορά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 240

Re: Μειούμενη διαφορά

(ABT)+(ATM)=10 και (ABT)=(TMCS)+6. Αρα (TMCS)+(ATM)=4\Rightarrow (ASC)=4\Rightarrow \dfrac{BC}{SC}=\dfrac{(ABC)}{(ASC)}=\dfrac{20}{4}=5.

Επομένως επιλέγουμε το S τέτοιο ώστε SC=\dfrac{BC}{5}
από Altrian
Δευ Νοέμ 04, 2019 6:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία και τμήμα (3)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 281

Re: Γωνία και τμήμα (3)

Αλλη μία.

\dfrac{AD}{DS}=\dfrac{(ADC)}{(DCS)}=\dfrac{(ADB)}{(DBS)}\Rightarrow \dfrac{5}{(DCS)}=\dfrac{17,5}{7,5+(DCS)}\Rightarrow (DCS)=3

Αρα (DCS)=3=\dfrac{3*CS}{2}\Rightarrow CS=2

Και όπως και πριν \theta=45
από Altrian
Δευ Νοέμ 04, 2019 4:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία και τμήμα (3)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 281

Re: Γωνία και τμήμα (3)

(ADC)=5=\dfrac{AD*EC}{2}\Rightarrow EC=\sqrt{2}.

(DSC)=\dfrac{\sqrt{2}*(2\sqrt{2}+\sqrt{x^{2}+2})}{2}=\dfrac{3x}{2}\Rightarrow 7x^{2}-24x+20=0\Rightarrow x=2

Και \theta=45
από Altrian
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:52 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνο και εφαπτομένη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 233

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

Παρόμοια με του Νίκου, Η $DP$ είναι μεσοκάθετος της $AC$. Αρα εύκολα προκύπτει ότι $\angle FPA=\angle FPC=\phi+\theta\Rightarrow AF=FP$. Αλλά λόγω της μεσοκαθέτου $AF=FC\Rightarrow FC=FP$. Επίσης έχουμε ότι: $\angle CBD=45=\phi+(\phi+\theta)\Rightarrow 2\phi+\theta=45 [1]$ Τα τρίγωνα $CFO,FPO$ είναι...
από Altrian
Τρί Οκτ 29, 2019 8:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Εύρεση συνάρτησης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 273

Re: Εύρεση συνάρτησης

Για x<25\Rightarrow 50-x> 25\Rightarrow f(50-x)=50-x\Rightarrow f(x)=(50-x)^{2}-24x=x^{2}-124x+2500

Για x\geq 25\Rightarrow f(x)=x
από Altrian
Τρί Οκτ 29, 2019 8:31 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Και όμως είναι σωστό
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 208

Re: Και όμως είναι σωστό

Εστω a=98765432 και b=12345679. Παρατηρούμε ότι:

a+b=111111111

10a+b=999999999

Αρα \dfrac{10a+b}{a+b}=9\Rightarrow \dfrac{9a}{a+b}=8\Rightarrow a=8b\Rightarrow \dfrac{a}{b}=8
από Altrian
Παρ Οκτ 25, 2019 12:02 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Από την Κίρκη στην Ουτοπία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 264

Re: Από την Κίρκη στην Ουτοπία

Σωστά αλλά λίγο ευκολότερα στο τέλος, χωρίς το βήμα $225*1296=540^{2}\Rightarrow$ Ωγυγία, Κίρκη, Ουτοπία σχηματίζουν ορθογώνιο, απ'όπου παίρνουμε: Το γεγονός ότι η Κίρκη, Ουτοπία, Κολχίδα σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο ήδη το ξέρουμε από το προηγούμενο βήμα (αφού Ογυγία, Κολχίδα, Ουτοπία είναι συνευ...
από Altrian
Πέμ Οκτ 24, 2019 11:14 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Από την Κίρκη στην Ουτοπία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 264

Re: Από την Κίρκη στην Ουτοπία

Καλησπέρα, $225+1296=1521\Rightarrow$ οι πόλεις Ωγυγία, Κολχίδα και Ουτοπία είναι στην ίδια ευθεία (όπως στο σχήμα). $225^{2}+540^{2}=585^{2}$ αρα οι Ωγυγία, Κολχίδα και Κίρκη σχηματίζουν ορθογώνιο. $225*1296=540^{2}\Rightarrow$ Ωγυγία, Κίρκη, Ουτοπία σχηματίζουν ορθογώνιο, απ'όπου παίρνουμε: $\sqrt...
από Altrian
Δευ Οκτ 14, 2019 9:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Μέγιστη αλλά μικρή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 197

Re: Μέγιστη αλλά μικρή

Εχοντας ως βάση το σχήμα και την λογική του Γιώργου η γωνία \angle \theta=\angle PMB μεγιστοποιείται όταν η AM εφάπτεται στον κύκλο που διέρχεται από τα M,P,B (M) σταθερό.
Τότε a^{2}=AP*AB=2,5x*4x=10x^{2}\Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{10}}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση