Η αναζήτηση βρήκε 203 εγγραφές

από Altrian
Κυρ Μαρ 15, 2020 10:45 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (27), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 323

Re: Τεστ Εξάσκησης (27), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Σε ένα πάρτι συμμετείχαν 2021 άτομα. Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρία από αυτά κάποιος από αυτούς (τους τρεις) γνωρίζει τους άλλους δύο. Να δείξετε ότι κάποιος από τους συμμετέχοντες γνωρίζει όλους τους υπόλοιπους. Δύο άγνωστοι μεταξύ τους σχηματίζουν ένα ζεύγος αγνώστων. Κάθε άλλο ζεύγος αγνώσ...
από Altrian
Παρ Μαρ 06, 2020 8:49 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ενδιαφέρουσα γωνία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 129

Re: Ενδιαφέρουσα γωνία

Γιώργο καλημέρα, ενδιαφέρουσα γωνία, ενδιαφέρουσα άσκηση. Με βάση το τρίγωνο $ABC$ δημιουργούμε το ισόπλευρο (εύκολα) του Σχήματος 1. Προκύπτει επομένως ότι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές a,a,b είναι της μορφής 20,20,140. Στη συνέχεια σχηματίζουμε το Σχήμα 2 το οποίο με έμμεσο κριτήριο ισότητας τρι...
από Altrian
Τετ Φεβ 26, 2020 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισοσκελές & κύκλος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 208

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Φέρνω από το O παράλληλη προς την AC και από τα T και A τις παράλληλες προς την BC.
Εύκολα έχω ότι \bigtriangleup OQT=\bigtriangleup SBO\Rightarrow OQ=2.
Από το παραλληλόγραμμο PATQ\Rightarrow QP=3.

Αρα PO=5\Rightarrow OA=5\Rightarrow OT=r=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4
από Altrian
Τρί Φεβ 18, 2020 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 182

Re: Ώρα μεγίστου συνημιτόνου

Ώρα μεγίστου συνημιτόνου.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=6 , AC=7$ . Από το μέσο της $M$ της $AC$ , φέρω $MD \perp AB$ . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του $\cos\theta , (\theta=\widehat{BMD} )$ . Καλησπέρα, $cos\theta=sin\phi=\dfrac{AF}{AB}\leqslant \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3.5}{6}=\dfrac{7}{12}\Righ...
από Altrian
Δευ Ιαν 20, 2020 12:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα και ..διπρόσωπη εφαπτομένη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 282

Re: Καθετότητα και ..διπρόσωπη εφαπτομένη

Καλημέρα σε όλους. Καθετότητα και διπρόσωπη...PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=2AC$. Στην προέκταση της $BC$ θεωρούμε $CE=BC$ και στην προέκταση της $EA$ σημείο $Z$ ώστε $\left ( BAC \right )=\left ( BAZ \right )$. Ι) Να εξεταστεί αν $BZ \perp EZ$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Καλησπέρα, Για την καθετό...
από Altrian
Παρ Δεκ 13, 2019 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ακτίνα και μήκος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 219

Re: Ακτίνα και μήκος

Καλησπέρα, Το $\bigtriangleup ADC$ είναι ισοσκελές οπότε φέρνουμε το ύψος $AM$ που προεκτεινόμενο τέμνει τον κύκλο στο $N$. Εύκολα τώρα προκύπτει από τις γωνίες ότι το εγγεγραμμένο $ABNC$ είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε οι διαγώνιες είναι ίσες δηλαδή $AN=48\Rightarrow AM=48/2=24$. Με π.θ. στο $\bigtr...
από Altrian
Παρ Δεκ 06, 2019 6:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 343

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά με υγεία σε όσους γιορταζουν και ειδικα στον
Νίκο Φραγκάκη.
από Altrian
Σάβ Νοέμ 30, 2019 6:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 185

Re: ΑΠΟ ΤΟ ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''

Τηλέμαχε καλησπέρα, Νομίζω για αυτό πρέπει να σκεφθούμε ως εξής: Η πιθανότητα να μην περάσει κανένα αυτοκίνητο σε $30$ λεπτά είναι $1-0,95=0,05$ Χωρίζουμε το $30$λεπτο σε τρία $10$λεπτα και έστω $x$ η πιθανότητα να μην περάσει κανένα αυτοκίνητο σε $10$λεπτά. Τότε έχουμε $x*x*x=0,05\Rightarrow x=0,37...
από Altrian
Τετ Νοέμ 27, 2019 1:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ύψος τραπεζίου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 231

Re: Ύψος τραπεζίου

Καλησπέρα, α) Για την κατασκευή: Παίρνω τμήμα $AD=a$ και στην προέκτασή του τμήμα $DF=b$. Κάθε σημείο του ημικυκλίου με διάμετρο την $AF$ μπορεί να είναι το σημείο $C$. β) Ευκολα το μέγιστο ύψος του τραπεζίου είναι η ακτίνα του κύκλου δηλ. $h_{max}=\dfrac{a+b}{2}$ γ) Αν είναι ορθογώνιο εύκολα έχουμε...
από Altrian
Παρ Νοέμ 22, 2019 7:39 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ημικύκλιο κι ευθεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 192

Re: Ημικύκλιο κι ευθεία

Καλησπέρα,

Ευκολα προκύπτει ότι το τμήμα FP μεγιστοποιείται όταν το F είναι το σημείο που η παράλληλη της ευθείας εφάπτεται στον κύκλο.
Αυτό ισχύει για κάθε γωνία ευθείας και διαμέτρου. Τώρα για την 45 έχουμε: FP_{max}=1+\sqrt{2}.
από Altrian
Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:53 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 292

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

Εστω a=x, b=\sqrt{1-x^{2}}\Rightarrow a^{2}+b^{2}=1.

Επίσης ισχύει ότι: a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}\Rightarrow 2\geq (a+b)^{2}\Rightarrow (a+b)_{max}=f_{max}(x)=\sqrt{2}
από Altrian
Τετ Νοέμ 20, 2019 10:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Το ρολόι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 337

Re: Το ρολόι

Μια προσπάθεια με διανυσματικό λογισμό. Ο ρυθμός αύξησης της απόστασης $AB$ είναι η προβολή του διανύσματος της διαφοράς των ταχυτήτων $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ των δεικτών πάνω στην ευθεία $AB$ που τα συνδέει. Δηλαδή $BD-AC$ που είναι το μέγεθος που πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Από ομοιό...
από Altrian
Σάβ Νοέμ 16, 2019 11:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσιο και μέσο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 212

Re: Διπλάσιο και μέσο

Προεκτείνουμε την BS η οποία τέμνει την CD στο N και την κάθετη από το D προς την DB στο F.

α) Τα τρίγωνα FND,MTB είναι ίσα λόγω ίσων γωνιών και του ότι ND=MB. Αρα TB=FD=2x.

β) Αν M μέσο της CB τότε και N μέσο της CD οπότε S βαρύκεντρο του ADB άρα SA=\dfrac{AC}{3}
από Altrian
Τετ Νοέμ 13, 2019 9:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετράγωνα εν δράσει
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 233

Re: Τετράγωνα εν δράσει

Φέρνουμε την $FP=\left | \right |GA$. Τα τρίγωνα $PFC,EAP$ είναι ορθογώνια με κάθετες πλευρές $a,b$ άρα είναι ίσα και προκύπτει επίσης ότι: $\angle EPF=90$. και $EP=PF$. Επίσης επειδή $PC=\left | \right |ED\Rightarrow PF,DC$ κάθετες. Αρα: $\bigtriangleup EPF$ ορθογώνιο ισοσκελές. α) $\dfrac{EF}{AG}=...
από Altrian
Τετ Νοέμ 13, 2019 3:36 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ένα δίνω... ένα ζητάω
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 265

Re: Ένα δίνω... ένα ζητάω

Θα ξεκινήσω από το γενικότερο. Εστω $(SDC)=X\Rightarrow (DST)=mX$. Επίσης $(DSC)+(SCB)=(TSB)+(SCB)=(ABCD)/2\Rightarrow (STB)=X\Rightarrow (SCB)=X/m$. Αρα: $(TSBA)=\dfrac{(ABCD)}{2}-mX=X+\dfrac{X}{m}-mX=X(1+\dfrac{1}{m}-m) \Rightarrow \dfrac{(TSBA)}{(ABCD)}=\dfrac{1+\frac{1}{m}-m}{2(1+\frac{1}{m})}=\...
από Altrian
Παρ Νοέμ 08, 2019 8:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισότητα και λόγος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 209

Re: Ισότητα και λόγος

α) $SB^{2}=SP^{2}+PB^{2}\Rightarrow 2a^{2}=\dfrac{b^{2}}{2}+\dfrac{b^{2}}{2}+a^{2}+ba\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b\sqrt{2}}{a}-1=0$ Αρα $\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$. β) Τα τρίγωνα $STA, CTB$ είναι όμοια, άρα: $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{SA}{CB}= \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{AD...
από Altrian
Παρ Νοέμ 08, 2019 11:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μικροδιαφορά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 256

Re: Μικροδιαφορά

Μικροδιαφορά επέκταση.pngΓια την απάντηση στα αρχικά ερωτήματα αρκεί ο λόγος $\dfrac{c}{b}$ , που είναι $\dfrac{2}{3}$ όπως εννοεί ο Μιχάλης με την έκφραση "και λοιπά" . Αν όμως θέλουμε να βρούμε έναν τύπο για την διαφορά αυτή , ( το κόκκινο εξόγκωμα του Antrian ) , θα χρειασθούμε και την πλευρά $a...
από Altrian
Τετ Νοέμ 06, 2019 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μικροδιαφορά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 256

Re: Μικροδιαφορά

Καλημέρα,

Η μικροδιαφορά εποπτικά με κόκκινο. (Σημ. το χρώμα δεν είναι τυχαίο).
από Altrian
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:46 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μειούμενη διαφορά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 253

Re: Μειούμενη διαφορά

(ABT)+(ATM)=10 και (ABT)=(TMCS)+6. Αρα (TMCS)+(ATM)=4\Rightarrow (ASC)=4\Rightarrow \dfrac{BC}{SC}=\dfrac{(ABC)}{(ASC)}=\dfrac{20}{4}=5.

Επομένως επιλέγουμε το S τέτοιο ώστε SC=\dfrac{BC}{5}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση