Doloros έγραψε: ↑

Σάβ Μαρ 18, 2023 11:14 am

Δίδεται τρίγωνο με . Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία της πλευράς για τα οποία , .

Κάθε είδους λύση δεκτή .

Χωρίς λόγια

Εστω χωρις βλάβη της γενικότητας ότι τα μήκη των ίσων πλευρών είναι $AB=AC=4$. Το σημείο $S$ κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου $BM=2$. Η μέγιστη γωνία και άρα το μέγιστο ημίτονο αυτής προκύπτει όταν η $AS$ εφάπτεται του κύκλου $(D,1)$. Αρκεί επομένως να είναι δυνατή η κατασκευή του ισοσκελούς τριγώνου...

Καλησπέρα, Εστω $F$ η προβολή του $S$ στην $AB$ και $M$ το μέσο της $AB$. Εστω (ε') μια ευθεία που διέρχεται από το $S$. Η κάθετη από το $M$ προς την (ε') την τέμνει στο $G$. Το $G$ κινείται σε σταθερό κύκλο διαμέτρου $MS$. Το ζητούμενο εμβαδό $(ABCD)=AB*GH$ και μεγιστοποιείται όταν το $H$ είναι το ...

.
.

Από τις δύο προηγούμενες με απαλοιφή του παίρνω , που είναι και ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του

Γράφουμε τον περίκυκλο του , . Η προέκταση του τέμνει τον κύκλο στο .
.

Και τώρα από δύναμη του έχω:

Καλημέρα,

Φέρνω από το κάθετη στην . Προφανώς . Αρα εγγράψιμο.
. Από δύναμη σημείου ως προς τον κύκλο έχω:

Χρόνια πολλά με υγεία σε όλους τους εορτάζοντες. Ιδιαίτερες ευχές στους
Γιώργο Βισβίκη και
Γιώργο Μήτσιο

Καλησπέρα, λίγο διαφορετικά. $tan\angle ADP=\dfrac{d}{c}=\dfrac{ysin\theta}{xsin\theta}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{ycos\theta}{xcos\theta}=\dfrac{a}{b}=tan\angle PBA$. $(ABCD)=2*[(ADP)+(CPB)]=2*[(CBS)+(BCP)]=2*[(PCS)+(PSB)]=xy+zw$. Αλλά $xy=\dfrac{(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})}{2}=\dfrac{(x+y)^{2}-PS^{2}}{2}$ κα...

KARKAR έγραψε: ↑

Παρ Ιαν 28, 2022 7:38 pm

Ενδιάμεσο τμήμα.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , υπολογίστε το ενδιάμεσο τμήμα , της βάσης .

Μεταφέρω το και δημιουργώ το . Προφανώς .

Αρα το είναι χαρταετός άρα .
.

Ώρα εφαπτομένης 124.pngΟι διαγώνιοι του ορθογωνίου $ABCD$ , τέμνονται στο $O$ . Τα $M , N$ είναι τα μέσα των τμημάτων $AB , OD$ αντίστοιχα . Αν : $MN=AD$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$ . Προφανώς το $N$ βρίσκεται στη μεσοκάθετο της $AM$, άρα $AN=NM=AD=a$. Από τα ισοσκελή τρίγωνα $DAN, COB$ έχουμε:...

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{\rm f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x,~\forall x\in (0,\pi)}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{\rm g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ με $\displaystyle{\rm g(x)=f(\sin ^2x)f(\cos ^2x),~\forall x\in \mathbb{R}.}$ ...

Χαιρετώ. 15- 1 Διαφορά εμβαδών.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ , ενώ $D\in AC$ ώστε $BD=BC$. Το ύψος $CO$ τέμνει την $BD$ στο $E$. Αν θέσουμε $OE=k$ και $\widehat{BCO}=\theta $ τότε: Να υπολογιστεί η διαφορά εμβαδών $\left ( DEC \right )-\left ( BEC \right )$ , ως συνάρτηση των $k$ και $\theta $ ...

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ με $AB = BC = CD$ και $D\widehat AB = {7x^ \circ },$ $A\widehat BC = {10x^ \circ },$ $C\widehat DA = {5x^ \circ }.$ Βρείτε τη γωνία $ B\widehat CD$. Μόλις μου την έστειλαν και την γράφω χωρίς να την έχω λύσει (δεν την έχω καν ελέγξει). Αν δω ότι χρειάζεται άλλο φάκε...

Γιώργο καλημέρα, Μια λύση νομίζω γυμνασιακή, δανείζομαι το σχήμα σου. Προφανώς $XY=Z^{2}\Rightarrow Z=\sqrt{XY}$. Θέτω $x^{2}=X,...y^{2}=Y$ Επίσης $\dfrac{(a+b)h}{2}=X+Y+2Z=x^{2}+y^{2}+2xy=(x+y)^{2}$. $X+Z=\dfrac{b}{2}h,...Y+Z=\dfrac{a}{2}h,...\Rightarrow (Y-X)=\dfrac{a-b}{2}h=(y^{2}-x^{2})=(y-x)(y+...

που μεγιστοποιείται όταν είναι ισόπλευρο. Τότε

Σε τετράγωνο $ABCD$ θεωρώ σημεία $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ των πλευρών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ αντίστοιχα έτσι ώστε: $\left( {FBG} \right) = 2\,\,,\,\,\left( {DFG} \right) = 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {FDG} = 45^\circ $. Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας $\widehat ...

Ισοσκελές και διπλάσια γωνία.png Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ με $\displaystyle \widehat B = \widehat C = 30^\circ + \theta $ και ένα σημείο $M$ στο εσωτερικό του, ώστε $\displaystyle M\widehat BA = \theta $ και $\displaystyle M\widehat AB = 30^\circ - \theta .$ Να δείξετε ότι $\displaystyle A\w...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα 7ης τάξης, 2020. Καταληκτική αίθουσα 5. Κοντά σε μια λιμνούλα δημιουργήθηκε ένα πάρκο, στο σχήμα φαίνεται το σχέδιο του. Όλες οι διαδρομές στο πάρκο είναι ευθείες (χωρίς υψομετρικές αλλαγές). Στο σχήμα φαίνονται τα μήκη των τμημάτων των διαδρομών. Δυο τ...

Καλημέρα και χρόνια πολλά, Θα εκφράσουμε το $(SPT)$ συναρτήσει της απόστασης $x$ του κέντρου $O$ από την $ST$. $x\in \left [ 0,1 \right ]$ $ST=y=2\sqrt{9-x^{2}}$....$sin(\phi)=x/1=x$.... $d=d_{1}+d_{2}=ysin(\phi)=2x\sqrt{9-x^{2}}$ $u_{1}=xsin(\phi)=x^{2}....u_{2}=\dfrac{y}{2}cos(\phi)...PT=2(u_{1}+u...

. Διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε: και με αντικατάσταση .
Αρα . Επομένως που αποδεικνύει το ζητούμενο