Η αναζήτηση βρήκε 174 εγγραφές

από Xriiiiistos
Σάβ Μάιος 18, 2019 9:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 557

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

G2. Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ με κέντρο $O$. Έστω $H$ το ορθόκεντρο του $ABC$ και $K$ το μέσο της $OH$. Η εφαπτομένη του $\Gamma$ στο $B$ τέμνει τη μεσοκάθετο της $AC$ στο $L$ και η εφαπτομένη του $\Gamma$ στο $C$ τέμνει τη μεσοκάθετο της $AB$ στο $M$. Να δειχθεί ότι οι $AK$...
από Xriiiiistos
Παρ Μάιος 17, 2019 7:38 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μαντέψτε πως σκέφτηκε
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 454

Re: Μαντέψτε πως σκέφτηκε

Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ , είναι σχεδιασμένο τμήμα $CE\perp AB$ . Θέλοντας κάποιος να γράψει κύκλο ο οποίος να εφάπτεται των τμημάτων $EC , EB$ αλλά και του ημικυκλίου , ακολουθεί τα εξής βήματα . Αρχικά γράφει τόξο με ακτίνα $AC$ ,το οποίο τέμνει την $AB$ στο $D$ και στη συνέχεια σχεδιάζει τετρ...
από Xriiiiistos
Δευ Μάιος 13, 2019 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσες γωνίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 126

Ίσες γωνίες

Στο τρίγωνο ABC ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται με τις BC,AC,AB στα D,E,Z και S η τομή των ευθειών ZE,BC. Από D φέρνουμε κάθετη (ε) προς την BC και το σημείο T είναι πάνω στην (ε) ώστε AT//BC. Να εξετάσετε αν ισχύει \widehat{AET}=\widehat{ESC}
από Xriiiiistos
Κυρ Μάιος 05, 2019 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 557

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

G1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Έστω $D$ και $E$ τα παράκεντρα των τριγώνων $AMB$ και $AMC$ αντίστοιχα ως προς το σημείο $M$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABD$ τέμνει την ευθεία $BC$ στα σημεία $B$ και $F$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ACE$...
από Xriiiiistos
Πέμ Μάιος 02, 2019 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1027

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A4. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $abc=1$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right) \geqslant 3(a+b+c+ab+bc+ca).$ Θέτοντας $a=\frac{x^{2}}{yz},b=\frac{y^{2}}{xz},c=\frac{z^{2}}{xy}$ η ανίσωση γίνεται $2(\frac{x^{6}+y^{6}+z^{6}}...
από Xriiiiistos
Τετ Μάιος 01, 2019 8:56 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 324

Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1

Πρόβλημα 1 α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d$ ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$. Να αποδειχθεί ότι: $ab(a-b) + bc (b-c) + cd (c- d) + da (d-a) \leq \frac{8}{27}$. β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών $(a,b,c,d)$ , ώστε $0\leq a,b,c,d \leq 1$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην πρ...
από Xriiiiistos
Παρ Απρ 26, 2019 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 755

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)

1. Για την μη σταθερή αριθμητική πρόοδο $\displaystyle \left ( a_{n}\right )$ υπάρχει τέτοιος μη μηδενικός φυσικός αριθμός $n$, ώστε $\displaystyle a_{n}+a_{n+1} = a_{1}+…+a_{3n-1}$. Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την πρόοδο δεν υπάρχουν μηδενικοί όροι. (Σ. Ιβάνοβ) Πηγή η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας....
από Xriiiiistos
Δευ Απρ 08, 2019 3:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 260

Re: Συντρέχουν

Συντρέχουν.pngΣτο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει τις διαγωνίους $AC,BD$ στα σημεία $T,Q$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες $AB , DC , QT$ συντρέχουν ( σε σημείο $S$ ) . Μιας και έχουμε το ίδιο σχήμα στην ωραία λύση του κ. Κούτρα δανείζομαι τα γράμματά του δηλαδή $DB...
από Xriiiiistos
Τετ Απρ 03, 2019 9:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 19
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 215

Re: Μεγάλες κατασκευές 19

Μεγάλες κατασκευές 19.pngΚατασκευάστε σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο αν το σημείο $N$ , είναι το μέσο της διαμέσου $AM$ , να προκύπτει και $NC=AB$ . Μπορούμε με διπλό θεώρημα διαμέσων να βγάλουμε μια σχέσεις μεταξύ των τμημάτων αλλά δεν βοηθά στη κατασκευή Έστω σημείο $S$ στο ημιεπ...
από Xriiiiistos
Τετ Απρ 03, 2019 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διχοτόμηση από κοινή χορδή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 200

Re: Διχοτόμηση από κοινή χορδή

Διχοτόμηση από κοινή χορδή.png Από το έγκεντρο $I$ τριγώνου $ABC$ φέρνουμε κάθετη στην $AI$ που τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στα $P, Q.$ Οι κύκλοι $(P, I, B)$ και $(Q, I, C)$ επανατέμνονται στο $S.$ Να δείξετε ότι η $SI$ διχοτομεί τη γωνία $P\widehat SQ.$ $CI,BI$ ξανατέμνουν τον κύκλο στα $N,M...
από Xriiiiistos
Κυρ Μαρ 31, 2019 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Εύρεση σημείου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 173

Re: Εύρεση σημείου

Εύρεση σημείου.png Δίδονται ένας κύκλος , Ένα σημείο $A$ εκτός αυτού και μια ευθεία . Να βρεθεί σημείο $M$ της ευθείας ώστε το $MA$ να ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα $MB$ προς τον κύκλο . O κύκλος, το σημείο και η ευθεία είναι σταθερά σημεία οπότε τα $K,A$ θα απέχουν από την ευθεία $h_{1},h_{2}$ κα...
από Xriiiiistos
Τετ Μαρ 20, 2019 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 610

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη)

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας Πρόβλημα 5. Η διχοτόμος της γωνίας $ABC$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του τριγώνου $ABC$ στα σημεία $B$ και $L$. Το σημείο $M$ είναι το μέσο του τμήματος $AC$. Στο τόξο $ABC$ του κύκλου $\omega$ δίνεται σημείο $E$ τέτοιο, ώστε $EM || BL$. Οι ευθείες $A...
από Xriiiiistos
Τρί Μαρ 19, 2019 9:18 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 610

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη)

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας Πρόβλημα 3. Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ φέρουμε τα ύψη $AA^{\prime}$ και $BB^{\prime}$. Έστω $O$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. Να αποδείξετε, ότι η απόσταση του σημείου $A^{\prime}$ από την ευθεία $BO$ είναι ίση με την απόσταση του σημείου...
από Xriiiiistos
Τρί Μαρ 05, 2019 3:59 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 356

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)

XLV Πανρωσική μαθητική μαθηματική ολυμπιάδα 2018/2019. 11η τάξη, Δεύτερη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης 8. Στις πλευρές $AB$ και $AC$ τριγώνου $ABC$ βρέθηκαν σημεία $D$ και $E$ αντίστοιχα τέτοια, ώστε $DB=BC=CE$. Τα ευθύγραμμα τμήματα $BE$ και $CD$ τέμνονται στο σημείο $P$. Να αποδείξετε, ότι οι περιγε...
από Xriiiiistos
Κυρ Φεβ 24, 2019 10:17 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: "NEO" Πρόγραμμα σπουδών Γ ΓΕΛ.
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 1851

Re: "NEO" Πρόγραμμα σπουδών Γ ΓΕΛ.

Σημασία δεν έχει μόνο τι θα κάνουμε στην αυξημένες ώρες αλλά έχει σημασία και τι θα βγάλουν. Οι περισσότεροι έχουν μεγάλες ελλείψης σε βασικές γνώσεις τις καθημερινότητας όπως τον ηλεκτρισμό, το οποίο πλέον μας περιβάλλει, μόνο και μόνο επειδή δεν είναι μάθημα που δίνουν στις πανελλήνιες. Βέβαια ο λ...
από Xriiiiistos
Σάβ Φεβ 23, 2019 2:37 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 59
Προβολές: 7542

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος θέμα 1ο των μεγάλων Έχει λάθος η λύση $a_{n}=5a_{n-1}+3^{n-1},,,,5a_{n-1}=5^{2}a_{n-2}+5\cdot 3^{n-2},...5^{n-1}a_{2}=5^{n}a_{1}+5^{n-1}3^{0}$ προσθέτοντάς τα όλα έχουμε $a_{n}=5^{n}a_{1}+5^{n-1}+5^{n-2}\cdot 3+...3^{n-2}\cdot 5+3^{n-1}=5^{n}+\frac{5^{n}-3^{n}}{5-3}=\fr...
από Xriiiiistos
Σάβ Φεβ 23, 2019 1:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 59
Προβολές: 7542

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Ωραία είναι τα θέματα !!! Θέμα 2ο μεγάλων για συντομία $\Gamma ,\Delta \rightarrow C,D$ $\widehat{AHZ}=\widehat{ZDE}=\widehat{ZBC}$ Από τα εγγράψιμα $DAHZ,DEZB$ Άρα $HCBZ$ εγγράψιμο οπότε $\widehat{HCB}=\widehat{HZA}=\widehat{HDA}$ από το εγγράψιμο $AHZD$ Και από το εγγράψιμο $ACBD$ έχουμε $\widehat...
από Xriiiiistos
Κυρ Φεβ 17, 2019 10:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Το τέταρτο τμήμα 3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 348

Re: Το τέταρτο τμήμα 3

Αρκεί $ABS,ASC$ όμοια τρίτγωνα δηλαδή αρκεί $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AS}\Leftrightarrow AC^{2}=AB\cdot AC$ $AB=b$ άρα $cos\widehat{B}=\frac{t}{b}\kappa \alpha \iota AD^{2}=b^{2}-t^{2}\alpha \rho \alpha AC^{2}=b^{2}+3t^{2}$ ΌΠΟΥ $\widehat{B}$ η γωνία Β του αρχικού τριγώνου. Από το εγγράψιμο $ADSE$ πα...
από Xriiiiistos
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειος κύβος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 344

Re: Τέλειος κύβος

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $2^n + 3^n$ δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού $n$. Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου. Η Άσκηση είναι απλή για $n=1$ άτοπο οπότε θα δουλέψουμε για $n\geq 2$, $2^{n}+3^{n}=k^{2}$ ΜΕ $k$ περιττό ακέραιο που προφανώς δεν διαιρείται με το $2,3$ οπότε έχουμ...
από Xriiiiistos
Σάβ Φεβ 16, 2019 1:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μέγιστο ύψος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 255

Re: Μέγιστο ύψος

Δυστυχώς είναι θέμα το πόσο δυσκολεύονται κάποιοι σε τόσο απλές ασκήσεις. Τέλος πάντων ας δούμε μια πιο απλή λύση με πολύ βασικές προτάσεις του σχολείου. Εύκολα δείχνουμε $BZE,ADE$ όμοια άρα $\frac{BZ}{AE}=\frac{EB}{AD}\Leftrightarrow BZ=EB\frac{AE}{AD}\Leftrightarrow F(x)=\frac{(a-x)x}{a}=-\frac{x^...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση