Η αναζήτηση βρήκε 190 εγγραφές

από Xriiiiistos
Παρ Σεπ 20, 2019 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 797

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019

Πρόβλημα 2. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ κέντρου $Ο$. Έστω $I$ το έκκεντρο του $ABC$ και $D, E, F$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ με τις $BC, AC, AB$, αντίστοιχα. Αν $S$ είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο $D$ προς την ευθεία $EF$, να αποδ...
από Xriiiiistos
Παρ Σεπ 13, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1130

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

G5. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB<AC<BC$ και έστω $D$ σημείο στην προέκταση του $BC$ από τη μεριά του $C$. Ο κύκλος $c_1$ με κέντρο το $A$ και ακτίνα $AD$ τέμνει τις ευθείας $AC,AB$ και $CB$ στα $E,F$ και $G$ αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος $c_2$ του τριγώνου $AFG$ τέμνει ξανά τις ευθείας...
από Xriiiiistos
Τρί Αύγ 20, 2019 3:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 504

Re: Συναρτησιακή!

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:Z^{+} \rightarrow Z^{+}$ ,ώστε $xf(x)+f(y)|yf(x)^2+f(y)^2$ για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων $(x,y)$. Έχει λάθος Θα δημιουργήσουμε διαφορά τετραγώνων ώστε να εμφανιστεί το "κάτω" μέλος. Θέτω όπου y το $g(x)-x^{2}$ με g(x) τέτοιο ώστε να επαληθεύει τους περιοριμούς (...
από Xriiiiistos
Κυρ Ιούλ 28, 2019 11:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολωνέζικη πεταλούδα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 700

Re: Πολωνέζικη πεταλούδα

Πολωνέζικη πεταλούδα.png Στο εσωτερικό εγγεγραμμένου τετραπλεύρου $ABCD$ υπάρχει σημείο $S$ ώστε $\displaystyle A\widehat SD = B\widehat SC$ και $\displaystyle A\widehat DS = C\widehat BS.$ Αν η διχοτόμος της γωνίας $A\widehat SB$ τέμνει τον κύκλο στα $P, Q,$ να δείξετε ότι $SP=SQ.$ Θα το γράψω λύγ...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιούλ 27, 2019 12:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά και ομοκυκλικά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 354

Re: Συνευθειακά και ομοκυκλικά

Συνευθειακά και ομοκυκλικά.pngΠάνω στη διάμετρο $AB$ , κύκλου $(O,r)$ , θεωρούμε σημεία $P,Q$ , ώστε : $AP=QB<r$ . Από τυχαίο σημείο $S$ της προέκτασης της $AB$ φέραμε την εφαπτομένη $ST$ και ονομάσαμε $T'$ το αντιδιαμετρικό του $T$ . Οι ημιευθείες $TP,TQ$ τέμνουν τον κύκλο και την $TS$ στα σημεία ...
από Xriiiiistos
Παρ Ιούλ 26, 2019 10:00 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα από την Ιταλία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 803

Re: Καθετότητα από την Ιταλία

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ φέρουμε τη διχομόμο $AD$ και έστω $M$ το μέσο του $AD$.Στο τμήμα $BM$ παίρνουμε σημείο $ N$ , ώστε $\angle ANM=\angle DAC$. Να αποδειχθεί ότι $ AN\perp NC$. Δουλεύω σε σχήμα AB<AC ΚΑΙ N μέσα στο τρίγωνο Θα τη λύσω με αρμονικότητα. Έστω $R\equiv BM\cap AC$ και από το $B...
από Xriiiiistos
Πέμ Ιούλ 25, 2019 10:07 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 4692

Re: IMO 2019

Οι μεταρρυθμίσεις που έχω δει με την παιδεία, τουλάχιστον τα τελευταία χρόνια, χαρακτηρίζονται από πρόχειρη δουλειά και επέμβαση σε κλάδους από άτομα που δεν γνωρίζουν για αυτόν. Χαρακτηστικό παράδειγμα είναι η τελευταία αλλαγή επί Γαβρόγλου -χρησιμοποιώντας αρκετά επιχειρήματα που δεν έστεκαν- και ...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιούλ 20, 2019 3:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 4692

Re: IMO 2019

Συγχαρητήρια σε όλους όσους συμμετείχαν με οποιοδήποτε τρόπο και κυρίως στα παιδιά που αγωνίστηκαν σε αυτόν τον απαιτητικό διαγωνισμό.
από Xriiiiistos
Παρ Ιούλ 19, 2019 7:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και εκθετική ανίσωση
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 231

Και εκθετική ανίσωση

Για τους θετικούς a\geq b,c να αποδειχθεί

(a+b)^{b}+(a+c)^{c}\geq 2a\sqrt{\dfrac{b^{b}c^{c}}{(a+b)(a+c)}}+4\sqrt{\dfrac{a\cdot b^{b+1}c^{c+1}}{(a+b)(a+c)}}

και να εξεταστεί αν χρειάζεται η ισότητα.
από Xriiiiistos
Παρ Ιούλ 05, 2019 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 242

Re: Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο

Βασικά είναι μια μορφή γενίκευσης της τριγωνομετρικής μορφής Ceva. Mια άλλη γενίκευση για την μετρική σχέση ceva στο κύκλο είναι πως αν τα σημεία $A,B,C,D,E,F$ είναι σημεία της περιμέτρου κύκλου τοποθετημένα με αρκιβώς αυτήν την σειρά τότε οι $AD,BE,CF$ συντρέχουν αν και μόνο αν $\frac{AB}{BC}\cdot ...
από Xriiiiistos
Πέμ Ιουν 27, 2019 9:24 am
Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
Θέμα: Εξετάσεις πρότυπα γυμνάσια 2019
Απαντήσεις: 44
Προβολές: 3030

Re: Εξετάσεις πρότυπα γυμνάσια 2019

S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 8:42 am


Β) Για τις εξετάσεις προς το πρότυπο Γυμνάσιο θα πρέπει κατά την εκφώνηση και ρητά να απαγορεύεται η χρήση άλγεβρας.
Aυτό μου φαίνεται πολύ καταπιεστικό. Γιατί να μην αφήσουμε τον μαθητή να την λύση με τον δικό του τρόπου; Με τον τρόπο που ίσως να τον εκφράζει και περισσότερο;
από Xriiiiistos
Σάβ Ιουν 15, 2019 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #4
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 624

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #4

ΘΕΜΑ 4. Να δειχθεί ότι αν οι $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$ τότε $\displaystyle \dfrac{1}{1+a^2(b+c)}+\dfrac{1}{1+b^2(c+a)}+\dfrac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}. $ Από την ισότητα έχουμε $a(b+c)=3-bc\Leftrightarrow a^{2}(b+c)=3a-abc$ κάνοντάς το κυκλικά έχουμε $LHS=\sum ...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιουν 15, 2019 6:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 762

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι $x,y,z$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε $\displaystyle \dfrac{x^3}{z^3+x^2y}+\dfrac{y^3}{x^3+y^2z}+\dfrac{z^3}{y^3+z^2x}\geq \frac{3}{2}. $ Eνδιαφέρον, η $f(x)=\frac{1}{x}$ είναι κυρτή συνάρτηση στους θετικούς άρα από Jensen έχουμε $LHS=x^{3}f(z^{3}+x^{2}y)+y^{3}f(x^{3}+y^{...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιουν 15, 2019 5:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #2
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 473

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #2

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a^2+b^2+c^2=3$, τότε $\displaystyle \dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{5}{c}\geq 4a^2+3b^2+2c^2. $ Πότε ισχύει η ισότητα? Iσοδύναμα αρκεί να δείξω $b^{2}+2c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{5}{c}\geq 12$ και το αριστερό μέλος γ...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιουν 01, 2019 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Περίεργη ανίσωση με εκθέτες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 318

Περίεργη ανίσωση με εκθέτες

x,y,z> 0 και x+y+z=4 δείξτε ότι

(y+1)^{y}+\frac{(x+1)^{(x+2)^{x+1}}}{x}+\frac{z^{2}}{z+1}> \frac{17}{3}+x

το x+2 είναι υψωμένο στο x+1
από Xriiiiistos
Πέμ Μάιος 30, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέση από το πουθενά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 280

Re: Σχέση από το πουθενά

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, το ορθόκεντρο του $H$ και το αντιδιαμετρικό του $A$, $A'$ στον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABC$. Η παράλληλη από το $H$ ως προς την $BC$ τέμνει την $AB$ στο $M$ και την $AC$ στο $I$. Αν $N$ είναι το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων $HA'A$ και $AMI$. Να αποδειχτεί $AM\cd...
από Xriiiiistos
Σάβ Μάιος 18, 2019 9:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1130

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

G2. Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ με κέντρο $O$. Έστω $H$ το ορθόκεντρο του $ABC$ και $K$ το μέσο της $OH$. Η εφαπτομένη του $\Gamma$ στο $B$ τέμνει τη μεσοκάθετο της $AC$ στο $L$ και η εφαπτομένη του $\Gamma$ στο $C$ τέμνει τη μεσοκάθετο της $AB$ στο $M$. Να δειχθεί ότι οι $AK$...
από Xriiiiistos
Παρ Μάιος 17, 2019 7:38 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μαντέψτε πως σκέφτηκε
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 577

Re: Μαντέψτε πως σκέφτηκε

Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ , είναι σχεδιασμένο τμήμα $CE\perp AB$ . Θέλοντας κάποιος να γράψει κύκλο ο οποίος να εφάπτεται των τμημάτων $EC , EB$ αλλά και του ημικυκλίου , ακολουθεί τα εξής βήματα . Αρχικά γράφει τόξο με ακτίνα $AC$ ,το οποίο τέμνει την $AB$ στο $D$ και στη συνέχεια σχεδιάζει τετρ...
από Xriiiiistos
Δευ Μάιος 13, 2019 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσες γωνίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 245

Ίσες γωνίες

Στο τρίγωνο ABC ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται με τις BC,AC,AB στα D,E,Z και S η τομή των ευθειών ZE,BC. Από D φέρνουμε κάθετη (ε) προς την BC και το σημείο T είναι πάνω στην (ε) ώστε AT//BC. Να εξετάσετε αν ισχύει \widehat{AET}=\widehat{ESC}
από Xriiiiistos
Κυρ Μάιος 05, 2019 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1130

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

G1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Έστω $D$ και $E$ τα παράκεντρα των τριγώνων $AMB$ και $AMC$ αντίστοιχα ως προς το σημείο $M$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABD$ τέμνει την ευθεία $BC$ στα σημεία $B$ και $F$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ACE$...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση