Η αναζήτηση βρήκε 208 εγγραφές

από Xriiiiistos
Δευ Μαρ 09, 2020 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 218
Προβολές: 6828

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 76 Να υπολογιστεί το $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{4}(1-x)}dx$ $\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1-x+x}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{3}(1-x)}dx=$ $\displaystyle \int_{2}^{3}x^{-4}+\dfrac{1-x+...
από Xriiiiistos
Δευ Μαρ 09, 2020 1:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 497

Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Οι πραγματικοί αριθμοί $a$, $b$, $c$ είναι διαφορετικοί από το $1$ και ισχύει: (1) $abc =1$ (2) $a^2+b^2+c^2 - \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) = 8(a+b+c) - 8 (ab+bc+ca)$ Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης $\displaystyle{\dfrac{1}{a-1} + \dfrac{1}{...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 29, 2020 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από κύκλους
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 154

Re: Συνευθειακά από κύκλους

Όμορφη :) Oμοιοθεσία λόγου $\lambda =\frac{1}{2}$ από το $A$ στέλνει τον κύκλο $Euler$ ΣΤΟΝ $(BHC)$ άρα τα κέντρα των κύκλων $Euler,(BHC)$ είναι συνευθειακά με το $A$. Δηλαδή το $A$ ανήκει στην μεσοκάθετη του $KL$ άρα $AK=AL$. $KL,ZE,BC$ συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων $Euler,(ZECB),(BHC)$ σ...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 29, 2020 5:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 335

Re: Καθετότητα

$X,Y$ σημεία της $EF$ ώστε $YC,XB,AG$ να είναι παράλληλες και $D$ μέσο BC Oπότε $GD$ διάμεσος του τραπεζίου $BXYC$ M,P,K (1).png $\dfrac{FC}{AF}=\dfrac{CY}{AG}\kappa \alpha \iota \dfrac{EB}{AE}=\dfrac{XB}{AG}$ οπότε έχουμε $\dfrac{EB}{AE}+\dfrac{FC}{AF}=\dfrac{XB+YC}{AG}=\dfrac{XB+YC}{2GD}=\dfrac{XB...
από Xriiiiistos
Τρί Ιαν 28, 2020 1:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: "Νόμος" των συνημιτόνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 167

Re: "Νόμος" των συνημιτόνων

Και μία δίχως τριγωνομετρία στα όμοια τρίγωνα έστω N μέσο το HE ΤΌΤΕ $\widehat{DHE}=\widehat{BFE}=180-\widehat{ACB}\kappa \alpha \iota \widehat{ABE}=\widehat{ADE}$ ΆΡΑ τα τρίγωνα $BFE,DHE$ είναι όμοια και $BM,DN$ oμόλογοι διάμεσοι άρα τα τρίγωνα $DHN,BFM$ (1) είναι όμοια. $D,N$ μέσα των $HS,HE$ άρα ...
από Xriiiiistos
Τρί Ιαν 28, 2020 12:26 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση σταθεράς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 186

Re: Εύρεση σταθεράς

Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί $c\in \mathbb{R}$ για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$. Φιλικά, Αχιλλέας Μια προσπάθεια και ελπίζω να μην υπάρχει πρόβλημα στην λύση, P(x,y) η σχέση και $...
από Xriiiiistos
Κυρ Ιαν 26, 2020 7:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανορθόδοξη ορθότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 248

Re: Ανορθόδοξη ορθότητα

Οι εφαπτόμενες στα $A,\ B$ τέμνονται στο $C'$ το $C'K$ τέμνει τις $AB,DC,A'B'$ στα $L,F,Y$ αντίστοιχα. $I$ το αντιδιαμετρικό του $T$ και $C'I\cap B'A'\equiv X$. ASK1 (5).png $\widehat{KFS}=\widehat{KTS}=90\overset{KFTS \varepsilon \gamma \gamma \rho }\Leftrightarrow \widehat{TSK}=\widehat{TFY}$ $1=\...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 22, 2020 3:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Αναζητώντας τα μέγιστα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 145

Re: Αναζητώντας τα μέγιστα

α) από θεώρημα θαλή έχουμε $\dfrac{PG}{GB}=\dfrac{ES}{TE}=\dfrac{EP}{CE}\Rightarrow GE//CB$ β) για τους υπολογισμούς $AB=AC=a$ και $\dfrac{BP}{BA}=s$ όπου s,a σταθερά (το P δεν κινείται) Έστω $N\in AB$ ώστε $TN//CB$ τότε έχουμε $\dfrac{TA}{DP}=\dfrac{TB}{BD}=\dfrac{NB}{GB}=\dfrac{DG}{TN}=s$ $(I)$ $(...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και εκθετική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 519

Re: Και εκθετική ανίσωση

Το θέμα που εμπεύστηκε η άσκηση βιβλίο μαθηματικοί διαγωνισμοί 2 σελ 20 εφαρμογή 4 Η λύση $(a+b)^{b}=\frac{(a+b)^{b+1}}{a+b}=(\frac{a}{b}+1)^{b+1}\frac{b^{b+1}}{a+b}\geq (\frac{a}{b}(b+1)+1)\frac{b^{b+1}}{a+b}$ $=a\frac{b^{b}}{a+b}+a\frac{b^{b+1}}{a+b}+\frac{b^{b+1}}{a+b}$ στην ανίσωση χρεισιμοποιήθ...
από Xriiiiistos
Πέμ Ιαν 16, 2020 1:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πρόοδος και ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 136

Re: Πρόοδος και ανισότητα

Αν $a_{n+1}=a_n(2-a_{n+1}),n=1,2,...,$ με $\dfrac{1}{2}<a_1<\dfrac{2}{3}$, να δείξετε ότι $\displaystyle n+\dfrac{1}{2}<\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{a_k}<n+2.$ Ωραία άσκηση Έστω $a_{n+1}$ αρνητικό τότε $1-a_{n+1}>0$ άρα $a_{n}$ αρνητικό και επαγωγικά $a_{1}<0$ άτοπο. Αν ένας ήταν μηδέν τότε όλοι είναι μ...
από Xriiiiistos
Τρί Ιαν 14, 2020 8:50 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 331

Re: Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις

Μου είχε δημιουργηθεί και εμένα η ίδια απορία πριν λίγες μέρες προσπαθώντας να λύσω μια συναρτησιακή εξίσωση :? Άλλη μία, δεν έχω απάντηση. Γίνεται μια συνεχής συνάρτηση $f$ να έχει περιόδους $A,B\not\equiv 0$ ώστε να μην υπάρχουν $K,L\in \mathbb{N}$ ώστε $A=KB,LA=B$ και αν πάρουμε οποιοδήποτε υποδι...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 08, 2020 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και εκθετική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 519

Re: Και εκθετική ανίσωση

Επαναφορά, αν δεν δημοσιευθεί λύση σε λίγες μέρες θα την ανεβάσω εγώ το a\geq b,c
δεν χρειάζεται (ολά χρειάζεται ότι είναι θετικοί)
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 08, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεσάτη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 152

Re: Μεσάτη

$ED\cap BC\equiv P$ $\widehat{CAS}=\widehat{DES}=\widehat{SBC}$ άρα $ESPB$ εγγράψιμο δηλαδή $\widehat{SPB}=90^{\circ}$ Προφανώς τώρα $MPSN$ εγγράψιμο και έχουμε $\widehat{ESD}=\widehat{CAB}=\widehat{BSC}$ ΚΑΙ $\widehat{DES}=\widehat{DAS}=\widehat{CBS}$ άρα $ESD,BSC$ (i) όμοια τρίγωνα. $\widehat{NSM}...
από Xriiiiistos
Σάβ Νοέμ 23, 2019 12:00 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4418

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Καλησπέρα σας, είμαι γονιός ενός μαθητή που συμμετείχε φέτος στην JBMO (του Θάνου Παπαλέξη) . Mε αφορμή αυτή τη δημοσίευση στο mathematica και τους προβληματισμούς που τέθηκαν από κάποιους μαθητές, γονείς και καθηγητές αλλά και τις δικές μου ανησυχίες, θέλω να σας αναφέρω κάτι. Στις 3-9-2019 έγινε ...
από Xriiiiistos
Πέμ Νοέμ 21, 2019 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Χάνοντας τα μισά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 156

Re: Χάνοντας τα μισά

$MS\cap AD\equiv E$ το οποίο είναι μέσο του $AD$ και $SM$. k μέσο $BC$ τότε το $ENKL$ είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο αφού $EN,LK$ ΕΊΝΑΙ ίσες και παράλληλες με το μισό της AC. Επιπροσθέτως έχουμε E,M,K συνευθειακά. $(MDSP)=(MDS)+(PSM)=\frac{(PSMB)+(MASD)}{2}=$ $=(SBM)+(MAD)=2(MED)+2(BME)=2(BMDE)$ $2(BE...
από Xriiiiistos
Δευ Νοέμ 11, 2019 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από τους κύκλους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 151

Συνευθειακά από τους κύκλους

Δεν την έχω κοιτάξει ακόμα αλλά το geogebra μου βγάζει πως ισχύει οπότε δεν είμαι σίγουρος για το αν είναι στο σωστο επίπεδο. Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και ο εγγεγραμμένος του κύκλος τέμνει τις $BC,AC,AB$ στα $D,E,Z$ αντίστοιχα. $(O)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC. Οι εφαπτομένες του $(O)$ στα σημεία...
από Xriiiiistos
Σάβ Νοέμ 02, 2019 4:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Είναι το τρίγωνο ισόπλευρο?
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 691

Re: Είναι το τρίγωνο ισόπλευρο?

διαγραφή λανθασμένης απάντησης
από Xriiiiistos
Τετ Οκτ 30, 2019 4:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μια ανισότητα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 194

Μια ανισότητα

Γεια τους θετικούς $x,y,z$ δείξτε ότι $11\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq 6(2\sum x-\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1})^{3}+(\sum \dfrac{x}{\sqrt{y+z+1}})^{6}$ Τα $\sum$ : $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}=\dfrac{x^{6}}{yz}+\dfrac{y^{6}}{zx}+\dfrac{z^{6}}{xy}$ $\sum x=x+y+z$ $\sum \dfrac{3x^{2}+4x-y-z}{y+z+1}=\dfrac...
από Xriiiiistos
Παρ Σεπ 20, 2019 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1232

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019

Πρόβλημα 2. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ κέντρου $Ο$. Έστω $I$ το έκκεντρο του $ABC$ και $D, E, F$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ με τις $BC, AC, AB$, αντίστοιχα. Αν $S$ είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο $D$ προς την ευθεία $EF$, να αποδ...
από Xriiiiistos
Παρ Σεπ 13, 2019 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1360

Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία

G5. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB<AC<BC$ και έστω $D$ σημείο στην προέκταση του $BC$ από τη μεριά του $C$. Ο κύκλος $c_1$ με κέντρο το $A$ και ακτίνα $AD$ τέμνει τις ευθείας $AC,AB$ και $CB$ στα $E,F$ και $G$ αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος $c_2$ του τριγώνου $AFG$ τέμνει ξανά τις ευθείας...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση