Η αναζήτηση βρήκε 215 εγγραφές

από Xriiiiistos
Πέμ Απρ 16, 2020 7:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πάνω στα μέσα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 243

Πάνω στα μέσα

Αν ABCD εγγράψιμο και AD\cap BC\equiv E,DC\cap BA\equiv S δείξτε ότι η διχοτόμοι των γωνιών \widehat{AEB},\widehat{BSC} τέμνονται πάνω στο ευθεία που ορίζουν τα μέσα των BD,AC.

Αυτό απλά το παρατήρησα στην προσπάθειά μου να λύσω άλλη άσκηση.
Αυτήν την στιγμή δεν έχω λύση στο πρόβλημα.
από Xriiiiistos
Πέμ Απρ 16, 2020 12:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 501

Re: Συντρέχεια

Είναι γνωστό ότι $sinSAB_{1}/sinSAC_{1}=(A_{2}B_{1}/C_{1}A_{2})^{2}$ απο αυτήν την σχέση κυκλικά και από θ. Ceva έχουμε $\dfrac{sin\widehat{SAB_{1}}}{sin\widehat{SAC_{1}}}\cdot \dfrac{sin\widehat{SBC_{1}}}{sin\widehat{SBA_{1}}}\cdot \dfrac{sin\widehat{SCA_{1}}}{sin\widehat{SCB_{1}}}=1\Leftrightarrow...
από Xriiiiistos
Τετ Απρ 15, 2020 11:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή και συνευθειακά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 724

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

Κατασκευή και συνευθειακά.png Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O).$ α) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου $K$ που να εφάπτεται στην πλευρά $BC$ και εσωτερικά στον κύκλο $(O)$ στο σημείο $A.$ β) Έστω $D$ το σημείο επαφής του κύκλου $(K)$ με την $BC$. Αν οι κάθετες από τα σημεία $A, C$ στις ...
από Xriiiiistos
Δευ Απρ 06, 2020 2:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 638

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$, το έγκεντρό του $I$, το σημείο επαφής $D$ του εγγεγραμμένου κύκλου με την $BC$ και τη διχοτόμο του $AE.$ Αν $M$ το μέσο του τόξου $BC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το $A,$ και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία $MI$ διέρχεται από το μέσο του...
από Xriiiiistos
Τετ Απρ 01, 2020 5:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μια ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 345

Re: Μια ανισότητα

Tην είχα φτιάξει στο σχολείο κάποια στιγμή που βαριόμουν. Καταρχήν έχουμε $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq \sum \dfrac{27x^{6}}{ (y+z+1)^{3}}$ $=(\sqrt[3]{\sum \dfrac{x^{6}}{(y+z+1)^{3}}(\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}})(\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}})\cdot 3^{4}})^{...
από Xriiiiistos
Τετ Απρ 01, 2020 2:51 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μη συνευθειακά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 887

Re: Μη συνευθειακά

Μη συνευθειακά.png Έστω $AB$ η κοινή χορδή δύο μη ίσων τεμνομένων κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ και ας είναι $C,D$ τα αντιδιαμετρικά του $A$ ως προς τους $\left( K \right),\left( L \right)$. Αν $E,Z$ τα σημεία τομής των $CM,DM$ με τους $\left( L \right),\left( K \right)$ αντίστοιχα , μ...
από Xriiiiistos
Τρί Μαρ 31, 2020 12:28 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 625

Re: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 2 Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και ισχύει $AB=BC,AD=3DC$. Το σημείο $R$ βρίσκεται στην $BD$ έτσι ώστε $DR=2RB$, το σημείο $Q$ στην $AR$ ώστε $\angle ADQ = \angle BDQ$. Επιπλέον, $\angle ABQ + \angle CBD = \angle QBD$ και η $AB$ τέμνει την $DQ$ στο $P$. Να βρείτε το μέτρο της ...
από Xriiiiistos
Δευ Μαρ 09, 2020 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 291
Προβολές: 12373

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 76 Να υπολογιστεί το $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{4}(1-x)}dx$ $\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1-x+x}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{3}(1-x)}dx=$ $\displaystyle \int_{2}^{3}x^{-4}+\dfrac{1-x+...
από Xriiiiistos
Δευ Μαρ 09, 2020 1:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 661

Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Οι πραγματικοί αριθμοί $a$, $b$, $c$ είναι διαφορετικοί από το $1$ και ισχύει: (1) $abc =1$ (2) $a^2+b^2+c^2 - \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) = 8(a+b+c) - 8 (ab+bc+ca)$ Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης $\displaystyle{\dfrac{1}{a-1} + \dfrac{1}{...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 29, 2020 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά από κύκλους
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 222

Re: Συνευθειακά από κύκλους

Όμορφη :) Oμοιοθεσία λόγου $\lambda =\frac{1}{2}$ από το $A$ στέλνει τον κύκλο $Euler$ ΣΤΟΝ $(BHC)$ άρα τα κέντρα των κύκλων $Euler,(BHC)$ είναι συνευθειακά με το $A$. Δηλαδή το $A$ ανήκει στην μεσοκάθετη του $KL$ άρα $AK=AL$. $KL,ZE,BC$ συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων $Euler,(ZECB),(BHC)$ σ...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 29, 2020 5:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 366

Re: Καθετότητα

$X,Y$ σημεία της $EF$ ώστε $YC,XB,AG$ να είναι παράλληλες και $D$ μέσο BC Oπότε $GD$ διάμεσος του τραπεζίου $BXYC$ M,P,K (1).png $\dfrac{FC}{AF}=\dfrac{CY}{AG}\kappa \alpha \iota \dfrac{EB}{AE}=\dfrac{XB}{AG}$ οπότε έχουμε $\dfrac{EB}{AE}+\dfrac{FC}{AF}=\dfrac{XB+YC}{AG}=\dfrac{XB+YC}{2GD}=\dfrac{XB...
από Xriiiiistos
Τρί Ιαν 28, 2020 1:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: "Νόμος" των συνημιτόνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 181

Re: "Νόμος" των συνημιτόνων

Και μία δίχως τριγωνομετρία στα όμοια τρίγωνα έστω N μέσο το HE ΤΌΤΕ $\widehat{DHE}=\widehat{BFE}=180-\widehat{ACB}\kappa \alpha \iota \widehat{ABE}=\widehat{ADE}$ ΆΡΑ τα τρίγωνα $BFE,DHE$ είναι όμοια και $BM,DN$ oμόλογοι διάμεσοι άρα τα τρίγωνα $DHN,BFM$ (1) είναι όμοια. $D,N$ μέσα των $HS,HE$ άρα ...
από Xriiiiistos
Τρί Ιαν 28, 2020 12:26 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση σταθεράς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 239

Re: Εύρεση σταθεράς

Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί $c\in \mathbb{R}$ για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$. Φιλικά, Αχιλλέας Μια προσπάθεια και ελπίζω να μην υπάρχει πρόβλημα στην λύση, P(x,y) η σχέση και $...
από Xriiiiistos
Κυρ Ιαν 26, 2020 7:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανορθόδοξη ορθότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 281

Re: Ανορθόδοξη ορθότητα

Οι εφαπτόμενες στα $A,\ B$ τέμνονται στο $C'$ το $C'K$ τέμνει τις $AB,DC,A'B'$ στα $L,F,Y$ αντίστοιχα. $I$ το αντιδιαμετρικό του $T$ και $C'I\cap B'A'\equiv X$. ASK1 (5).png $\widehat{KFS}=\widehat{KTS}=90\overset{KFTS \varepsilon \gamma \gamma \rho }\Leftrightarrow \widehat{TSK}=\widehat{TFY}$ $1=\...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 22, 2020 3:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Αναζητώντας τα μέγιστα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 179

Re: Αναζητώντας τα μέγιστα

α) από θεώρημα θαλή έχουμε $\dfrac{PG}{GB}=\dfrac{ES}{TE}=\dfrac{EP}{CE}\Rightarrow GE//CB$ β) για τους υπολογισμούς $AB=AC=a$ και $\dfrac{BP}{BA}=s$ όπου s,a σταθερά (το P δεν κινείται) Έστω $N\in AB$ ώστε $TN//CB$ τότε έχουμε $\dfrac{TA}{DP}=\dfrac{TB}{BD}=\dfrac{NB}{GB}=\dfrac{DG}{TN}=s$ $(I)$ $(...
από Xriiiiistos
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και εκθετική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 587

Re: Και εκθετική ανίσωση

Το θέμα που εμπεύστηκε η άσκηση βιβλίο μαθηματικοί διαγωνισμοί 2 σελ 20 εφαρμογή 4 Η λύση $(a+b)^{b}=\frac{(a+b)^{b+1}}{a+b}=(\frac{a}{b}+1)^{b+1}\frac{b^{b+1}}{a+b}\geq (\frac{a}{b}(b+1)+1)\frac{b^{b+1}}{a+b}$ $=a\frac{b^{b}}{a+b}+a\frac{b^{b+1}}{a+b}+\frac{b^{b+1}}{a+b}$ στην ανίσωση χρεισιμοποιήθ...
από Xriiiiistos
Πέμ Ιαν 16, 2020 1:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πρόοδος και ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 199

Re: Πρόοδος και ανισότητα

Αν $a_{n+1}=a_n(2-a_{n+1}),n=1,2,...,$ με $\dfrac{1}{2}<a_1<\dfrac{2}{3}$, να δείξετε ότι $\displaystyle n+\dfrac{1}{2}<\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{a_k}<n+2.$ Ωραία άσκηση Έστω $a_{n+1}$ αρνητικό τότε $1-a_{n+1}>0$ άρα $a_{n}$ αρνητικό και επαγωγικά $a_{1}<0$ άτοπο. Αν ένας ήταν μηδέν τότε όλοι είναι μ...
από Xriiiiistos
Τρί Ιαν 14, 2020 8:50 am
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 398

Re: Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις

Μου είχε δημιουργηθεί και εμένα η ίδια απορία πριν λίγες μέρες προσπαθώντας να λύσω μια συναρτησιακή εξίσωση :? Άλλη μία, δεν έχω απάντηση. Γίνεται μια συνεχής συνάρτηση $f$ να έχει περιόδους $A,B\not\equiv 0$ ώστε να μην υπάρχουν $K,L\in \mathbb{N}$ ώστε $A=KB,LA=B$ και αν πάρουμε οποιοδήποτε υποδι...
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 08, 2020 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Και εκθετική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 587

Re: Και εκθετική ανίσωση

Επαναφορά, αν δεν δημοσιευθεί λύση σε λίγες μέρες θα την ανεβάσω εγώ το a\geq b,c
δεν χρειάζεται (ολά χρειάζεται ότι είναι θετικοί)
από Xriiiiistos
Τετ Ιαν 08, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεσάτη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 168

Re: Μεσάτη

$ED\cap BC\equiv P$ $\widehat{CAS}=\widehat{DES}=\widehat{SBC}$ άρα $ESPB$ εγγράψιμο δηλαδή $\widehat{SPB}=90^{\circ}$ Προφανώς τώρα $MPSN$ εγγράψιμο και έχουμε $\widehat{ESD}=\widehat{CAB}=\widehat{BSC}$ ΚΑΙ $\widehat{DES}=\widehat{DAS}=\widehat{CBS}$ άρα $ESD,BSC$ (i) όμοια τρίγωνα. $\widehat{NSM}...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση