Έστω συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1\,.$ (α) Να δείξετε ότι η ακολουθία $(x_n)_{n \geqslant 1}$ η οποία ορίζεται ως $\displaystyle x_n=f\left(\frac{1}{1}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) ...

Το μαθηματικό του Ε.Κ.Π.Α. τα έχει ανοιχτά αυτά τα μαθήματα για όποιον θέλει για απειροστικό 1 https://eclass.uoa.gr/modules/document/index.php?course=MATH130&openDir=/52b208cbQJT9 και επειδή ενδέχεται να διαφέρει η ύλη σας από το ΕΚΠΑ για απειροστικό 2 https://eclass.uoa.gr/modules/document/?course...

$EB\cap SC\equiv X,BF\cap AT\equiv Z,CQ\cap AD\equiv Y$ Λόγο καθέτων $A,Z,B,X,C,Y$ ομοκυκλικά με $X,Y,Z$ τα αντιδιαμετρικά των $A,B,C$ αντίστοιχα. Οπότε $XZ= //AC=//TS$ άρα $TZ=SX$ όμοια $ZF=YQ$ $EX=DY$ Από μενέλαο στα τρίγωνα $XBC,YCA,ZAB$ με διατέμνουσες τις ευθείες $LES,KDG,MFT$ παίρνουμε $\dfrac...

Αν εγγράψιμο και δείξτε ότι η διχοτόμοι των γωνιών τέμνονται πάνω στο ευθεία που ορίζουν τα μέσα των .

Αυτό απλά το παρατήρησα στην προσπάθειά μου να λύσω άλλη άσκηση.
Αυτήν την στιγμή δεν έχω λύση στο πρόβλημα.

Είναι γνωστό ότι $sinSAB_{1}/sinSAC_{1}=(A_{2}B_{1}/C_{1}A_{2})^{2}$ απο αυτήν την σχέση κυκλικά και από θ. Ceva έχουμε $\dfrac{sin\widehat{SAB_{1}}}{sin\widehat{SAC_{1}}}\cdot \dfrac{sin\widehat{SBC_{1}}}{sin\widehat{SBA_{1}}}\cdot \dfrac{sin\widehat{SCA_{1}}}{sin\widehat{SCB_{1}}}=1\Leftrightarrow...

Κατασκευή και συνευθειακά.png Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O).$ α) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου $K$ που να εφάπτεται στην πλευρά $BC$ και εσωτερικά στον κύκλο $(O)$ στο σημείο $A.$ β) Έστω $D$ το σημείο επαφής του κύκλου $(K)$ με την $BC$. Αν οι κάθετες από τα σημεία $A, C$ στις ...

ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$, το έγκεντρό του $I$, το σημείο επαφής $D$ του εγγεγραμμένου κύκλου με την $BC$ και τη διχοτόμο του $AE.$ Αν $M$ το μέσο του τόξου $BC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το $A,$ και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία $MI$ διέρχεται από το μέσο του...

Tην είχα φτιάξει στο σχολείο κάποια στιγμή που βαριόμουν. Καταρχήν έχουμε $\sum \dfrac{x^{6}}{yz}\geq \sum \dfrac{27x^{6}}{ (y+z+1)^{3}}$ $=(\sqrt[3]{\sum \dfrac{x^{6}}{(y+z+1)^{3}}(\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}})(\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{3^{3}})\cdot 3^{4}})^{...

Μη συνευθειακά.png Έστω $AB$ η κοινή χορδή δύο μη ίσων τεμνομένων κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ και ας είναι $C,D$ τα αντιδιαμετρικά του $A$ ως προς τους $\left( K \right),\left( L \right)$. Αν $E,Z$ τα σημεία τομής των $CM,DM$ με τους $\left( L \right),\left( K \right)$ αντίστοιχα , μ...

ΘΕΜΑ 2 Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και ισχύει $AB=BC,AD=3DC$. Το σημείο $R$ βρίσκεται στην $BD$ έτσι ώστε $DR=2RB$, το σημείο $Q$ στην $AR$ ώστε $\angle ADQ = \angle BDQ$. Επιπλέον, $\angle ABQ + \angle CBD = \angle QBD$ και η $AB$ τέμνει την $DQ$ στο $P$. Να βρείτε το μέτρο της ...

Άσκηση 76 Να υπολογιστεί το $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{4}(1-x)}dx$ $\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1-x+x}{x^{4}(1-x)}dx=\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{3}(1-x)}dx=$ $\displaystyle \int_{2}^{3}x^{-4}+\dfrac{1-x+...

ΘΕΜΑ 1 Οι πραγματικοί αριθμοί $a$, $b$, $c$ είναι διαφορετικοί από το $1$ και ισχύει: (1) $abc =1$ (2) $a^2+b^2+c^2 - \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) = 8(a+b+c) - 8 (ab+bc+ca)$ Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης $\displaystyle{\dfrac{1}{a-1} + \dfrac{1}{...

Όμορφη :) Oμοιοθεσία λόγου $\lambda =\frac{1}{2}$ από το $A$ στέλνει τον κύκλο $Euler$ ΣΤΟΝ $(BHC)$ άρα τα κέντρα των κύκλων $Euler,(BHC)$ είναι συνευθειακά με το $A$. Δηλαδή το $A$ ανήκει στην μεσοκάθετη του $KL$ άρα $AK=AL$. $KL,ZE,BC$ συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων $Euler,(ZECB),(BHC)$ σ...

$X,Y$ σημεία της $EF$ ώστε $YC,XB,AG$ να είναι παράλληλες και $D$ μέσο BC Oπότε $GD$ διάμεσος του τραπεζίου $BXYC$ M,P,K (1).png $\dfrac{FC}{AF}=\dfrac{CY}{AG}\kappa \alpha \iota \dfrac{EB}{AE}=\dfrac{XB}{AG}$ οπότε έχουμε $\dfrac{EB}{AE}+\dfrac{FC}{AF}=\dfrac{XB+YC}{AG}=\dfrac{XB+YC}{2GD}=\dfrac{XB...

Και μία δίχως τριγωνομετρία στα όμοια τρίγωνα έστω N μέσο το HE ΤΌΤΕ $\widehat{DHE}=\widehat{BFE}=180-\widehat{ACB}\kappa \alpha \iota \widehat{ABE}=\widehat{ADE}$ ΆΡΑ τα τρίγωνα $BFE,DHE$ είναι όμοια και $BM,DN$ oμόλογοι διάμεσοι άρα τα τρίγωνα $DHN,BFM$ (1) είναι όμοια. $D,N$ μέσα των $HS,HE$ άρα ...

Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί $c\in \mathbb{R}$ για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$. Φιλικά, Αχιλλέας Μια προσπάθεια και ελπίζω να μην υπάρχει πρόβλημα στην λύση, P(x,y) η σχέση και $...

Οι εφαπτόμενες στα $A,\ B$ τέμνονται στο $C'$ το $C'K$ τέμνει τις $AB,DC,A'B'$ στα $L,F,Y$ αντίστοιχα. $I$ το αντιδιαμετρικό του $T$ και $C'I\cap B'A'\equiv X$. ASK1 (5).png $\widehat{KFS}=\widehat{KTS}=90\overset{KFTS \varepsilon \gamma \gamma \rho }\Leftrightarrow \widehat{TSK}=\widehat{TFY}$ $1=\...

α) από θεώρημα θαλή έχουμε $\dfrac{PG}{GB}=\dfrac{ES}{TE}=\dfrac{EP}{CE}\Rightarrow GE//CB$ β) για τους υπολογισμούς $AB=AC=a$ και $\dfrac{BP}{BA}=s$ όπου s,a σταθερά (το P δεν κινείται) Έστω $N\in AB$ ώστε $TN//CB$ τότε έχουμε $\dfrac{TA}{DP}=\dfrac{TB}{BD}=\dfrac{NB}{GB}=\dfrac{DG}{TN}=s$ $(I)$ $(...

Το θέμα που εμπεύστηκε η άσκηση βιβλίο μαθηματικοί διαγωνισμοί 2 σελ 20 εφαρμογή 4 Η λύση $(a+b)^{b}=\frac{(a+b)^{b+1}}{a+b}=(\frac{a}{b}+1)^{b+1}\frac{b^{b+1}}{a+b}\geq (\frac{a}{b}(b+1)+1)\frac{b^{b+1}}{a+b}$ $=a\frac{b^{b}}{a+b}+a\frac{b^{b+1}}{a+b}+\frac{b^{b+1}}{a+b}$ στην ανίσωση χρεισιμοποιήθ...

Αν $a_{n+1}=a_n(2-a_{n+1}),n=1,2,...,$ με $\dfrac{1}{2}<a_1<\dfrac{2}{3}$, να δείξετε ότι $\displaystyle n+\dfrac{1}{2}<\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{a_k}<n+2.$ Ωραία άσκηση Έστω $a_{n+1}$ αρνητικό τότε $1-a_{n+1}>0$ άρα $a_{n}$ αρνητικό και επαγωγικά $a_{1}<0$ άτοπο. Αν ένας ήταν μηδέν τότε όλοι είναι μ...