Η αναζήτηση βρήκε 92 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Αύγ 03, 2014 8:50 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Επιτρέπεται ένα ψέμα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 867
Re: Επιτρέπεται ένα ψέμα
Πράγματι ωραία άσκηση! Μοιάζει πολύ με το IMO 2012 P3. Έστω ότι επιτρέπεται ο Α να πει το πολύ $k$ ψέμματα, τότε θα δείξουμε ότι αν $\displaystyle{N>\frac{2^n}{\binom{n}{0} + \cdots + \binom{n}{k}}}$ τότε ο Α έχει σίγουρα στρατιγική νίκης. Αρχικά παρατηρούμε ότι το συγκεκριμένο παιχνίδι είναι ένα pe...
- Δευ Ιαν 02, 2012 12:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: 9Α-Άλγεβρα
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1190
Re: 9Α-Άλγεβρα
Αλλη μια λύση(την βάζω σε hide διότι γίνεται χρήση τύπων Vieta για πολυώνυμα): Έχουμε $\displaystyle xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1$.Επομένως τώρα έχουμε $\displaystyle {\left.\begin{matrix} x+y+z=2\\xy+yz+zx=1 \\ x^2+y^2+z^2=2 \end{matrix}\right\}$.Αν θεωρήσουμε τα $x,y,...
- Σάβ Σεπ 10, 2011 8:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
- Απαντήσεις: 2700
- Προβολές: 293611
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΑΣΚΗΣΗ 212 Θεωρούμε σκακιέρα $50\times 50.$ Αρχικά όλα τα τετράγωνα $1\times 1$ έχουν μαύρο χρώμα. Μια κίνηση συνίσταται στο να αλλάξουμε το χρώμα όλων των τετραγώνων μιας στήλης ή μιας γραμμής (αν είναι μαύρο γίνεται άσπρο και αν είναι άσπρο γίνεται μαύρο.) α) Δείξτε ότι δεν είναι δυνατόν, μετά απ...
- Σάβ Σεπ 10, 2011 2:41 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
- Απαντήσεις: 2700
- Προβολές: 293611
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΑΣΚΗΣΗ 209 Αν $S(n)$ το άθροισμα των ψηφίων του φυσικού $n,$ να δείξετε ότι ο αριθμός $S(2n^2 +3)$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Είναι γνωστό ότι ένας αριθμός $n$ είναι ισότιμος $\pmod 9$ με το άθροισμα των ψηφίων του,δηλαδή $S(2n^2+3)\equiv 2n^2+3$.Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι ο αριθμό...
- Πέμ Αύγ 25, 2011 11:16 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Εύρεση πρώτου!
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 418
Re: Εύρεση πρώτου!
Ισχυρίζομαι ότι $p=3$. Έστω $p \geq 5$,άρα $p$ περιττός. Παίρνοντας την παράσταση $\pmod 3$ λαμβάνουμε $2^p+p^2 \equiv (-1)^p+1=-1+1=0 \pmod 3$,διότι $p$ περιττός και διάφορος του 3.Δηλαδή για κάθε πρώτο $p$ διάφορο του 3 και του 2 αποδείξαμε ότι η παράσταση είναι διαιρετή από το 3. Για $p=2$,έχουμε...
- Κυρ Αύγ 21, 2011 4:24 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Ωραία διοφαντική
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 802
- Παρ Αύγ 12, 2011 11:20 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Διαιρετότητα!
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 840
Re: Διαιρετότητα!
Αν $\displaystyle{x,y,z\in \mathbb{Z}}$, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{6/(x+y+z) \Leftrightarrow 6/(x^3+y^3+z^3)}$. Για την λύση θα χρειαστούμε το ακόλουθο λήμμα: Λήμμα: Έστω $a$,ένας ακέραιος.Αν $a \equiv u \pmod 6,u \in \{ 0,1,2,3,4,5 \}$ τότε $a^3 \equiv u \pmod 6$.Ισχύει και το αντίστροφο. Α...
- Κυρ Αύγ 07, 2011 12:34 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1489
Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Ας θέσουμε $x\geq y\geq z$. (Προφανώς οι δυο ισότητες δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα) $4^{x}+4^{y}+4^{z}=4^{z}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)=(2^{z})^{2}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)$ οπότε το $4^{x-z}+4^{y-z}+1$ πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, προφανώς περιττού. $4^{x-z}+4^{y-z}+1=(2k+1)^{2}$ $4^{x-z}+4^{y-z}=2k(2...
- Κυρ Αύγ 07, 2011 11:15 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Aκέραιοι
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 409
Re: Aκέραιοι
Μια λύση. Έστω $x^3=z$,τότε $z^2+3z+1-y^4=0$ με $D=4y^4+5$, η οποία απαιτούμε να είναι τέλειο τετράγωνο.Άρα $4y^4+5=n^2 \Leftrightarrow 5=(n-2y)(n+2y)$.Επομένως μένει να λύσουμε τα 4 ακόλουθα συστήματα: $\left.\begin{matrix}n-2y=5 & \\ n+2y=1 & \end{matrix}\right\}$ $\left.\begin{matrix}n-2y=1 & \\ ...
- Τετ Μάιος 25, 2011 10:18 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
- Απαντήσεις: 2700
- Προβολές: 293611
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Επειδή η ΑΣΚΗΣΗ 13 δεν έχει απαντηθεί, θα δώσω μερικές πληροφορίες που βέβαια οι περισσότεροι μαθητές Γυμνασίου δεν έχουν ακόμα διδαχθεί. (α) Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίου, λέγεται διάμεσος του τραπεζίου. Η διάμεσος τραπεζίου, είναι παράλληλη με τις...
- Σάβ Μάιος 21, 2011 5:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Όμοια τρίγωνα!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 553
Re: Όμοια τρίγωνα!
Ωραία άσκηση. Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε $\displaystyle{(\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz})^2=(a+b+c)(x+y+z)}$. Όμως από Cauchy-Schwarz(BSC) παίρνουμε $\displaystyle{(\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz})^2 \leq (a+b+c)(x+y+z)}$.Συνεπώς ισχύει η ισότητα. Άρα $\displaystyle{\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{...
- Παρ Μάιος 20, 2011 9:35 am
- Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Ξαναμέτρα !
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1015
Re: Ξαναμέτρα !
Νομίζω πως τα τρίγωνα είναι 8.Συγκεκριμένα:
ADC,CDZ,ADZ,ADE,EDB,ADB,ACB,AEZ
ADC,CDZ,ADZ,ADE,EDB,ADB,ACB,AEZ
- Πέμ Μάιος 19, 2011 7:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
- Απαντήσεις: 2700
- Προβολές: 293611
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΑΣΚΗΣΗ 14. (Ομοίως από την ίδια πηγή) Έστω $a,b,c,d \in \mathbb{N},\;\omega \sigma \tau \varepsilon \;4a^2 + 13b^2 + 13c^2 + 9d^2 = 12\left( {ab + bc + cd} \right).$ Να αποδειχθεί ότι : $a = \pi o\lambda \lambda .\,27.$ S.E.Louridas Όπως και με την άσκηση 12 σχηματίζουμε τέλεια τετράγωνα.Δηλαδή $\d...
- Πέμ Μάιος 19, 2011 5:08 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Ένα σύστημα!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 612
Re: Ένα σύστημα!
Να βρεθούν οι θετικοί $\displaystyle{x,y,z}$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{xyz-(x+y+z)+10=xy+yz+zx=12.}$ Άλλη μια λύση. Από την πρώτη εξίσωση έχουμε $\displaystyle{xyz=x+y+z+2}$ και από την δεύτερη $\displaystyle{12=xy+yz+zx \geq 3 \sqrt[3]{(xyz)^2} \Leftrightarrow 8 \geq xyz \Leftrightarr...
- Πέμ Μάιος 19, 2011 4:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
- Απαντήσεις: 2700
- Προβολές: 293611
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΑΣΚΗΣΗ 12. « Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης $x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3,$ προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των x, y για τις οποίες το έχουμε» S.E.Louridas Λοιπόν ας ονομάσουμε Α την παράσταση $x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3$.Έτσι $\displaystyle{ A=x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3=(x^2-8xy+...
- Σάβ Μάιος 14, 2011 8:41 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Αργία μήτηρ πάσης ..Ιδέας
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1310
Re: Αργία μήτηρ πάσης ..Ιδέας
Λοιπόν , για να αποχαιρετήσουμε το 2008 , ας γράψω και αυτή την σκέψη που μου γεννήθηκε σήμερα: Όταν με το καλό ολοκληρώσουμε τη σελίδα και συγκροτήσουμε το Mathematica ως .. επιστημονικό σωματείο με διοίκηση κλπ(αυτό είναι το καλύτερο!), είναι ωραίο να κάνουμε και τα εξής: α) Να καθιερώσουμε έναν ...
- Πέμ Απρ 21, 2011 2:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Ανισότητα 33
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 580
Re: Ανισότητα 33
Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle 16(a+b+c)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Αποδείξτε ότι $\displaystyle \frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2(b+a)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2(c+b)}\right)^3}\le\frac{8...
- Τετ Απρ 20, 2011 1:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΙΚΡΩΝ(JUNIOR) - 2011
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 2779
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΙΚΡΩΝ(JUNIOR) - 2011
Ας κάνω την αρχή με το πρώτο: α) $\displaystyle{ n\sqrt{x-n^2} \leq \frac{x}{2} \Rightarrow x - 2n\sqrt{x-n^2} - n^2 + n^2 \Rightarrow (\sqrt{x-n^2} - n)^2} \geq 0$. Με την ισότητα να ισχύει όταν: $\sqrt{x-n^2} = n \Rightarrow x-n^2 = n^2 \Rightarrow x = 2n^2$ β) Περιορισμοί: $x \geq 1 , y \geq 4 ,...
- Δευ Απρ 18, 2011 2:56 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΗΜΟΤΙΚΟ
- Θέμα: ασκηση για Γ ταξη
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1885
Re: ασκηση για Γ ταξη
Νομίζω πως έχεις κάνει ένα λάθος,αφού τα ποσά 55,5Ε και 30,5Ε δεν διαφέρουν κατα 13 ευρώ. Δίνω μια λύση σε hide διότι μπορεί να υπάρχουν κάποια τριτάκια που να θέλουν να την προσπαθήσουν. 85-13=72 72:2=36 Άρα ο Γιάννης έχει 36Ε ενώ ο Κωστής 36+13=49Ε Να σημιώσω πως λύση είναι της αδερφής μου,που της...
- Σάβ Απρ 16, 2011 7:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ 2011
- Απαντήσεις: 32
- Προβολές: 9355
Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ 2011
Μπορεί κάποιος να αναρτήσει τα θέματα των μικρών;
Επίσης πότε θα βγούν τα αποτελέσματα;
Επίσης πότε θα βγούν τα αποτελέσματα;