Η αναζήτηση βρήκε 92 εγγραφές

από Eagle
Κυρ Αύγ 03, 2014 8:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Επιτρέπεται ένα ψέμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 572

Re: Επιτρέπεται ένα ψέμα

Πράγματι ωραία άσκηση! Μοιάζει πολύ με το IMO 2012 P3. Έστω ότι επιτρέπεται ο Α να πει το πολύ $k$ ψέμματα, τότε θα δείξουμε ότι αν $\displaystyle{N>\frac{2^n}{\binom{n}{0} + \cdots + \binom{n}{k}}}$ τότε ο Α έχει σίγουρα στρατιγική νίκης. Αρχικά παρατηρούμε ότι το συγκεκριμένο παιχνίδι είναι ένα pe...
από Eagle
Δευ Ιαν 02, 2012 12:59 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: 9Α-Άλγεβρα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 884

Re: 9Α-Άλγεβρα

Αλλη μια λύση(την βάζω σε hide διότι γίνεται χρήση τύπων Vieta για πολυώνυμα): Έχουμε $\displaystyle xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1$.Επομένως τώρα έχουμε $\displaystyle {\left.\begin{matrix} x+y+z=2\\xy+yz+zx=1 \\ x^2+y^2+z^2=2 \end{matrix}\right\}$.Αν θεωρήσουμε τα $x,y,...
από Eagle
Σάβ Σεπ 10, 2011 8:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 230994

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

ΑΣΚΗΣΗ 212 Θεωρούμε σκακιέρα $50\times 50.$ Αρχικά όλα τα τετράγωνα $1\times 1$ έχουν μαύρο χρώμα. Μια κίνηση συνίσταται στο να αλλάξουμε το χρώμα όλων των τετραγώνων μιας στήλης ή μιας γραμμής (αν είναι μαύρο γίνεται άσπρο και αν είναι άσπρο γίνεται μαύρο.) α) Δείξτε ότι δεν είναι δυνατόν, μετά απ...
από Eagle
Σάβ Σεπ 10, 2011 2:41 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 230994

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

ΑΣΚΗΣΗ 209 Αν $S(n)$ το άθροισμα των ψηφίων του φυσικού $n,$ να δείξετε ότι ο αριθμός $S(2n^2 +3)$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Είναι γνωστό ότι ένας αριθμός $n$ είναι ισότιμος $\pmod 9$ με το άθροισμα των ψηφίων του,δηλαδή $S(2n^2+3)\equiv 2n^2+3$.Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι ο αριθμό...
από Eagle
Πέμ Αύγ 25, 2011 11:16 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Εύρεση πρώτου!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 234

Re: Εύρεση πρώτου!

Ισχυρίζομαι ότι $p=3$. Έστω $p \geq 5$,άρα $p$ περιττός. Παίρνοντας την παράσταση $\pmod 3$ λαμβάνουμε $2^p+p^2 \equiv (-1)^p+1=-1+1=0 \pmod 3$,διότι $p$ περιττός και διάφορος του 3.Δηλαδή για κάθε πρώτο $p$ διάφορο του 3 και του 2 αποδείξαμε ότι η παράσταση είναι διαιρετή από το 3. Για $p=2$,έχουμε...
από Eagle
Κυρ Αύγ 21, 2011 4:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ωραία διοφαντική
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 577

Ωραία διοφαντική

Να λυθεί στο σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων αριθμών η εξίσωση:
\displaystyle{ 2^{a} = 3^{b} \cdot 5^{c} + 7^{d} }


Πηγή:
από Eagle
Παρ Αύγ 12, 2011 11:20 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Διαιρετότητα!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 519

Re: Διαιρετότητα!

Αν $\displaystyle{x,y,z\in \mathbb{Z}}$, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{6/(x+y+z) \Leftrightarrow 6/(x^3+y^3+z^3)}$. Για την λύση θα χρειαστούμε το ακόλουθο λήμμα: Λήμμα: Έστω $a$,ένας ακέραιος.Αν $a \equiv u \pmod 6,u \in \{ 0,1,2,3,4,5 \}$ τότε $a^3 \equiv u \pmod 6$.Ισχύει και το αντίστροφο. Α...
από Eagle
Κυρ Αύγ 07, 2011 12:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 980

Re: Δυνάμεις του 4 και τέλειο τετράγωνο.

Ας θέσουμε $x\geq y\geq z$. (Προφανώς οι δυο ισότητες δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα) $4^{x}+4^{y}+4^{z}=4^{z}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)=(2^{z})^{2}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)$ οπότε το $4^{x-z}+4^{y-z}+1$ πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, προφανώς περιττού. $4^{x-z}+4^{y-z}+1=(2k+1)^{2}$ $4^{x-z}+4^{y-z}=2k(2...
από Eagle
Κυρ Αύγ 07, 2011 11:15 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Aκέραιοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 220

Re: Aκέραιοι

Μια λύση. Έστω $x^3=z$,τότε $z^2+3z+1-y^4=0$ με $D=4y^4+5$, η οποία απαιτούμε να είναι τέλειο τετράγωνο.Άρα $4y^4+5=n^2 \Leftrightarrow 5=(n-2y)(n+2y)$.Επομένως μένει να λύσουμε τα 4 ακόλουθα συστήματα: $\left.\begin{matrix}n-2y=5 & \\ n+2y=1 & \end{matrix}\right\}$ $\left.\begin{matrix}n-2y=1 & \\ ...
από Eagle
Τετ Μάιος 25, 2011 10:18 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 230994

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Επειδή η ΑΣΚΗΣΗ 13 δεν έχει απαντηθεί, θα δώσω μερικές πληροφορίες που βέβαια οι περισσότεροι μαθητές Γυμνασίου δεν έχουν ακόμα διδαχθεί. (α) Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίου, λέγεται διάμεσος του τραπεζίου. Η διάμεσος τραπεζίου, είναι παράλληλη με τις...
από Eagle
Σάβ Μάιος 21, 2011 5:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Όμοια τρίγωνα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 329

Re: Όμοια τρίγωνα!

Ωραία άσκηση. Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε $\displaystyle{(\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz})^2=(a+b+c)(x+y+z)}$. Όμως από Cauchy-Schwarz(BSC) παίρνουμε $\displaystyle{(\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz})^2 \leq (a+b+c)(x+y+z)}$.Συνεπώς ισχύει η ισότητα. Άρα $\displaystyle{\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{...
από Eagle
Παρ Μάιος 20, 2011 9:35 am
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ξαναμέτρα !
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 651

Re: Ξαναμέτρα !

Νομίζω πως τα τρίγωνα είναι 8.Συγκεκριμένα:
ADC,CDZ,ADZ,ADE,EDB,ADB,ACB,AEZ
από Eagle
Πέμ Μάιος 19, 2011 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 230994

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

ΑΣΚΗΣΗ 14. (Ομοίως από την ίδια πηγή) Έστω $a,b,c,d \in \mathbb{N},\;\omega \sigma \tau \varepsilon \;4a^2 + 13b^2 + 13c^2 + 9d^2 = 12\left( {ab + bc + cd} \right).$ Να αποδειχθεί ότι : $a = \pi o\lambda \lambda .\,27.$ S.E.Louridas Όπως και με την άσκηση 12 σχηματίζουμε τέλεια τετράγωνα.Δηλαδή $\d...
από Eagle
Πέμ Μάιος 19, 2011 5:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ένα σύστημα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 394

Re: Ένα σύστημα!

Να βρεθούν οι θετικοί $\displaystyle{x,y,z}$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{xyz-(x+y+z)+10=xy+yz+zx=12.}$ Άλλη μια λύση. Από την πρώτη εξίσωση έχουμε $\displaystyle{xyz=x+y+z+2}$ και από την δεύτερη $\displaystyle{12=xy+yz+zx \geq 3 \sqrt[3]{(xyz)^2} \Leftrightarrow 8 \geq xyz \Leftrightarr...
από Eagle
Πέμ Μάιος 19, 2011 4:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απαντήσεις: 2769
Προβολές: 230994

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

ΑΣΚΗΣΗ 12. « Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης $x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3,$ προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των x, y για τις οποίες το έχουμε» S.E.Louridas Λοιπόν ας ονομάσουμε Α την παράσταση $x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3$.Έτσι $\displaystyle{ A=x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3=(x^2-8xy+...
από Eagle
Σάβ Μάιος 14, 2011 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Αργία μήτηρ πάσης ..Ιδέας
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1105

Re: Αργία μήτηρ πάσης ..Ιδέας

Λοιπόν , για να αποχαιρετήσουμε το 2008 , ας γράψω και αυτή την σκέψη που μου γεννήθηκε σήμερα: Όταν με το καλό ολοκληρώσουμε τη σελίδα και συγκροτήσουμε το Mathematica ως .. επιστημονικό σωματείο με διοίκηση κλπ(αυτό είναι το καλύτερο!), είναι ωραίο να κάνουμε και τα εξής: α) Να καθιερώσουμε έναν ...
από Eagle
Πέμ Απρ 21, 2011 2:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα 33
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 367

Re: Ανισότητα 33

Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle 16(a+b+c)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Αποδείξτε ότι $\displaystyle \frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2(b+a)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2(c+b)}\right)^3}\le\frac{8...
από Eagle
Τετ Απρ 20, 2011 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΙΚΡΩΝ(JUNIOR) - 2011
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 2140

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΙΚΡΩΝ(JUNIOR) - 2011

Ας κάνω την αρχή με το πρώτο: α) $\displaystyle{ n\sqrt{x-n^2} \leq \frac{x}{2} \Rightarrow x - 2n\sqrt{x-n^2} - n^2 + n^2 \Rightarrow (\sqrt{x-n^2} - n)^2} \geq 0$. Με την ισότητα να ισχύει όταν: $\sqrt{x-n^2} = n \Rightarrow x-n^2 = n^2 \Rightarrow x = 2n^2$ β) Περιορισμοί: $x \geq 1 , y \geq 4 ,...
από Eagle
Δευ Απρ 18, 2011 2:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΗΜΟΤΙΚΟ
Θέμα: ασκηση για Γ ταξη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1401

Re: ασκηση για Γ ταξη

Νομίζω πως έχεις κάνει ένα λάθος,αφού τα ποσά 55,5Ε και 30,5Ε δεν διαφέρουν κατα 13 ευρώ. Δίνω μια λύση σε hide διότι μπορεί να υπάρχουν κάποια τριτάκια που να θέλουν να την προσπαθήσουν. 85-13=72 72:2=36 Άρα ο Γιάννης έχει 36Ε ενώ ο Κωστής 36+13=49Ε Να σημιώσω πως λύση είναι της αδερφής μου,που της...
από Eagle
Σάβ Απρ 16, 2011 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ 2011
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 7213

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ 2011

Μπορεί κάποιος να αναρτήσει τα θέματα των μικρών;
Επίσης πότε θα βγούν τα αποτελέσματα;

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση