Πράγματι ωραία άσκηση! Μοιάζει πολύ με το IMO 2012 P3. Έστω ότι επιτρέπεται ο Α να πει το πολύ $k$ ψέμματα, τότε θα δείξουμε ότι αν $\displaystyle{N>\frac{2^n}{\binom{n}{0} + \cdots + \binom{n}{k}}}$ τότε ο Α έχει σίγουρα στρατιγική νίκης. Αρχικά παρατηρούμε ότι το συγκεκριμένο παιχνίδι είναι ένα pe...

Αλλη μια λύση(την βάζω σε hide διότι γίνεται χρήση τύπων Vieta για πολυώνυμα): Έχουμε $\displaystyle xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1$.Επομένως τώρα έχουμε $\displaystyle {\left.\begin{matrix} x+y+z=2\\xy+yz+zx=1 \\ x^2+y^2+z^2=2 \end{matrix}\right\}$.Αν θεωρήσουμε τα $x,y,...

ΑΣΚΗΣΗ 212 Θεωρούμε σκακιέρα $50\times 50.$ Αρχικά όλα τα τετράγωνα $1\times 1$ έχουν μαύρο χρώμα. Μια κίνηση συνίσταται στο να αλλάξουμε το χρώμα όλων των τετραγώνων μιας στήλης ή μιας γραμμής (αν είναι μαύρο γίνεται άσπρο και αν είναι άσπρο γίνεται μαύρο.) α) Δείξτε ότι δεν είναι δυνατόν, μετά απ...

ΑΣΚΗΣΗ 209 Αν $S(n)$ το άθροισμα των ψηφίων του φυσικού $n,$ να δείξετε ότι ο αριθμός $S(2n^2 +3)$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Είναι γνωστό ότι ένας αριθμός $n$ είναι ισότιμος $\pmod 9$ με το άθροισμα των ψηφίων του,δηλαδή $S(2n^2+3)\equiv 2n^2+3$.Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι ο αριθμό...

Ισχυρίζομαι ότι $p=3$. Έστω $p \geq 5$,άρα $p$ περιττός. Παίρνοντας την παράσταση $\pmod 3$ λαμβάνουμε $2^p+p^2 \equiv (-1)^p+1=-1+1=0 \pmod 3$,διότι $p$ περιττός και διάφορος του 3.Δηλαδή για κάθε πρώτο $p$ διάφορο του 3 και του 2 αποδείξαμε ότι η παράσταση είναι διαιρετή από το 3. Για $p=2$,έχουμε...

Να λυθεί στο σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων αριθμών η εξίσωση:



Πηγή:

Αν $\displaystyle{x,y,z\in \mathbb{Z}}$, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{6/(x+y+z) \Leftrightarrow 6/(x^3+y^3+z^3)}$. Για την λύση θα χρειαστούμε το ακόλουθο λήμμα: Λήμμα: Έστω $a$,ένας ακέραιος.Αν $a \equiv u \pmod 6,u \in \{ 0,1,2,3,4,5 \}$ τότε $a^3 \equiv u \pmod 6$.Ισχύει και το αντίστροφο. Α...

Ας θέσουμε $x\geq y\geq z$. (Προφανώς οι δυο ισότητες δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα) $4^{x}+4^{y}+4^{z}=4^{z}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)=(2^{z})^{2}(4^{x-z}+4^{y-z}+1)$ οπότε το $4^{x-z}+4^{y-z}+1$ πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, προφανώς περιττού. $4^{x-z}+4^{y-z}+1=(2k+1)^{2}$ $4^{x-z}+4^{y-z}=2k(2...

Μια λύση. Έστω $x^3=z$,τότε $z^2+3z+1-y^4=0$ με $D=4y^4+5$, η οποία απαιτούμε να είναι τέλειο τετράγωνο.Άρα $4y^4+5=n^2 \Leftrightarrow 5=(n-2y)(n+2y)$.Επομένως μένει να λύσουμε τα 4 ακόλουθα συστήματα: $\left.\begin{matrix}n-2y=5 & \\ n+2y=1 & \end{matrix}\right\}$ $\left.\begin{matrix}n-2y=1 & \\ ...

Επειδή η ΑΣΚΗΣΗ 13 δεν έχει απαντηθεί, θα δώσω μερικές πληροφορίες που βέβαια οι περισσότεροι μαθητές Γυμνασίου δεν έχουν ακόμα διδαχθεί. (α) Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίου, λέγεται διάμεσος του τραπεζίου. Η διάμεσος τραπεζίου, είναι παράλληλη με τις...

Ωραία άσκηση. Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε $\displaystyle{(\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz})^2=(a+b+c)(x+y+z)}$. Όμως από Cauchy-Schwarz(BSC) παίρνουμε $\displaystyle{(\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz})^2 \leq (a+b+c)(x+y+z)}$.Συνεπώς ισχύει η ισότητα. Άρα $\displaystyle{\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{...

Νομίζω πως τα τρίγωνα είναι 8.Συγκεκριμένα:
ADC,CDZ,ADZ,ADE,EDB,ADB,ACB,AEZ

ΑΣΚΗΣΗ 14. (Ομοίως από την ίδια πηγή) Έστω $a,b,c,d \in \mathbb{N},\;\omega \sigma \tau \varepsilon \;4a^2 + 13b^2 + 13c^2 + 9d^2 = 12\left( {ab + bc + cd} \right).$ Να αποδειχθεί ότι : $a = \pi o\lambda \lambda .\,27.$ S.E.Louridas Όπως και με την άσκηση 12 σχηματίζουμε τέλεια τετράγωνα.Δηλαδή $\d...

Να βρεθούν οι θετικοί $\displaystyle{x,y,z}$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{xyz-(x+y+z)+10=xy+yz+zx=12.}$ Άλλη μια λύση. Από την πρώτη εξίσωση έχουμε $\displaystyle{xyz=x+y+z+2}$ και από την δεύτερη $\displaystyle{12=xy+yz+zx \geq 3 \sqrt[3]{(xyz)^2} \Leftrightarrow 8 \geq xyz \Leftrightarr...

ΑΣΚΗΣΗ 12. « Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης $x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3,$ προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των x, y για τις οποίες το έχουμε» S.E.Louridas Λοιπόν ας ονομάσουμε Α την παράσταση $x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3$.Έτσι $\displaystyle{ A=x^2 - 8xy + 19y^2 - 6y + 3=(x^2-8xy+...

Λοιπόν , για να αποχαιρετήσουμε το 2008 , ας γράψω και αυτή την σκέψη που μου γεννήθηκε σήμερα: Όταν με το καλό ολοκληρώσουμε τη σελίδα και συγκροτήσουμε το Mathematica ως .. επιστημονικό σωματείο με διοίκηση κλπ(αυτό είναι το καλύτερο!), είναι ωραίο να κάνουμε και τα εξής: α) Να καθιερώσουμε έναν ...

Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle 16(a+b+c)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Αποδείξτε ότι $\displaystyle \frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2(b+a)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2(c+b)}\right)^3}\le\frac{8...

Ας κάνω την αρχή με το πρώτο: α) $\displaystyle{ n\sqrt{x-n^2} \leq \frac{x}{2} \Rightarrow x - 2n\sqrt{x-n^2} - n^2 + n^2 \Rightarrow (\sqrt{x-n^2} - n)^2} \geq 0$. Με την ισότητα να ισχύει όταν: $\sqrt{x-n^2} = n \Rightarrow x-n^2 = n^2 \Rightarrow x = 2n^2$ β) Περιορισμοί: $x \geq 1 , y \geq 4 ,...

Νομίζω πως έχεις κάνει ένα λάθος,αφού τα ποσά 55,5Ε και 30,5Ε δεν διαφέρουν κατα 13 ευρώ. Δίνω μια λύση σε hide διότι μπορεί να υπάρχουν κάποια τριτάκια που να θέλουν να την προσπαθήσουν. 85-13=72 72:2=36 Άρα ο Γιάννης έχει 36Ε ενώ ο Κωστής 36+13=49Ε Να σημιώσω πως λύση είναι της αδερφής μου,που της...

Μπορεί κάποιος να αναρτήσει τα θέματα των μικρών;
Επίσης πότε θα βγούν τα αποτελέσματα;