Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με έγκεντρο $\displaystyle{I}$. Ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται στην πλευρά $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{D}$ και στην πλευρά $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{F.}$ Η $\displaystyle{AD}$ τέμνει τον κύκλο στο $\displaystyle{H}$ και η $\displaystyle{CF...

Παραλληλία υπό συνθήκη.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ με $\displaystyle{\angle A = {120^0}}$. Αν $\displaystyle{D}$ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $\displaystyle{ABDC}$ να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ είναι παράλληλη προς την $...

Παραλληλία υπό συνθήκη.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ με $\displaystyle{\angle A = {120^0}}$. Αν $\displaystyle{D}$ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $\displaystyle{ABDC}$ να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ είναι παράλληλη προς την $...

Εύκολη καθετότητα.png Έστω κυρτό τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{DA = AB = BC}$ και $\displaystyle{\angle A,\angle B}$ αμβλείες και ας είναι $\displaystyle{I}$ το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών αυτών. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{OI \bot CD}$ όπου $\displaystyle{O}$ το π...

Χαίρετε! 4 Ορθές για μια καθετότητα.png Το $ABCD$ έχει $AC \perp BD$ ενώ $\widehat{B}=\widehat{D}=90^o$. Τα $E \in CD$ και $F \in BC$ ώστε $AF \perp BE$.Αν οι $BE,DF$ τέμνονται στο $Z$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $AZ \perp EF$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Μία με κινούμενα σημεία :D Αρκεί(από ορθόκ...

Η συνεθειακότητα με την τέταρτη κορυφή τετραγώνου.png Προς το εξωτερικό μέρος τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα $\displaystyle{ABED,ACFZ}$. Να δεχθεί ότι η τέταρτη κορυφή $\displaystyle{M}$τετραγώνου $\displaystyle{KLMN}$ με $\displaystyle{K \in CB,L \in BA,N \i...

GEOMETRIA223=FB2965.jpg Εστω $(K, R), (L, r)$ οι έγκυκλοι των τριγώνων $ABC, DBC$, ενός τετραπλεύρου $ABCD$. Αν $PQ$ ($P \in (K), Q \in (L)$), είναι το κοινό εφαπτόμενο τμήμα των $(K),(L)$, που δεν ανήκει στην $BC$, δείξτε ότι: a. οι $AP, DQ$ τέμνονται "πάνω" στην διάκεντρο $KL$ b. το $ABCD$ είναι ...

Με βάσεις τις πλευρές $AC,\ AB$ και προς το εξωτερικό ( ή το εσωτερικό ) μέρος δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ , κατασκευάζουμε τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle B'AC,\ \vartriangle C'AB$ αντιστοίχως και έστω $B'',\ C''$ , τα ορθόκεντρά τους αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέε...

Στον ερχομό της νέας χρονιάς, ένα ενδιαφέρον πρόβλημα δάνειο από το διαδίκτυο, με τις θερμές ευχές μου για ότι καλύτερο σε όλους. Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(K),\ (L)$ εκτός αλλήλων και έστω $AB,\ CD$, οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών και ας είναι τα $A,\ D$, σημεία του κύκλου $(K)$. Έστω τα...

Παραλλαγή: Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x y) (x + f(y)) = x^2 f(y) + y^2 f(x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$ Αρχικά αφού η $f$ ορίζεται στους θετικούς η σχέση ισχύει για κάθε $x,y \in \mathbb{R_+}$ και όχι για κάθε $...

Οι κύκλοι $\Omega$ και $\omega$ είναι αντίστοιχα ο περιγεγραμμένος και ο εγγεγραμμένος ενός σκαληνού τριγώνου $ABC\;(AB < AC)$. Συμβολίζουμε με $A_{1}$ το μέσο του τόξου $BAC$ τού κύκλου $\Omega$, με $I$ το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$, με $D$ το σημείο επαφής του $\omega$ με την πλευρά $BC$, με $D'...

Για κάποια με δίνεται μία συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση για κάθε πραγματικό . Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση.

exerc.pngΈστω $AM$ η διάμεσος του μη ισοσκελούς τριγώνου $ABC$, $D$ το σημείο επαφής της πλευράς $BC$ με το εγγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του $\vartriangle ABC$, $E$ το δεύτερο σημείο τομής του $\omega$ με το ευθύγραμμο τμήμα $AD$. Η εφαπτομένη του $\omega$ στο $E$ τέμνει τη διάμεσο $AM$ στο σημείο $...

3. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ που ικανοποιούν την $f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1$ για κάθε $x,y\in\mathbb{Z}$. Μία λύση κάπως διαφορετική Συμβολίζω με $P(x,y)$ την δοσμένη $P(x,f(x)): f(x-f(f(x)))=-1$ $P(x,x-f(f(x))): f(x+1)=f(f(x))$. $P(f(x),x) : f(0)=f(f(f(x)))-...

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $x,y,z,w$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\begin{aligned} x^2&=10w-1\\ y^2&=13w-1\\ z^2&=85w-1.\\ \end{aligned}}$ Τις γράφω στην μορφή $\left\{\begin{matrix} & 10w=x^2+1 & \\ & 13w=y^2+1 & \\ & 85w=z^2+1 & \end{matrix}\right.$ οπότε διώχνω το $w$ και...

Να υπολογιστεί το εμβαδό που καλύπτει ο χιονάνθρωπος. Οι αριθμοί μέσα στους κύκλους είναι οι ακτίνες τους. Το σχήμα θεωρείται συμμετρικό (δεξιά-αριστερά) Πρόκειται για διασκευή ενός προβλήματος που κατασκεύασε ο μικρός αδελφός μου και μου ζήτησε να το δημοσιεύσω, ελπίζω να είναι ο σωστός φάκελος. 11...

Άσκηση 6: (μεγάλοι μάλλον) Λύστε στους ακεραίους την εξίσωση $x^3=y^2+1$. Επιτρέπεται και η αλγεβρική θεωρία αριθμών Δίνω μία λύση για αυτή που από ότι βλέπω έμεινε άλυτη Δουλεύω στο $\mathbb{Z} [ i ]$ που είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποιήσης. $x^3=(y+i)(y-i)$. Για αρχή θα δείξω ότι οι $y+i,y-i...

Σε τρίγωνο $\mathrm{ABC}$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{4}{9} \sum \sin B \sin C \leq \prod \cos \frac{B-C}{2} \leq \frac{2}{3}\sum \cos A}$ Άνευ λύσης! Αρχικά είναι απλό κάνοντας τις πράξεις να επαληθεύσει κανείς ότι $\cos \dfrac{B-C}{2}=\dfrac{a+b}{c}\sin\dfrac{C}{2}$ Οπότε ο μεσαίος όρος γ...

Σε τρίγωνο $\mathrm{ABC}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum \sin^2 A \leq 2 + 16 \prod \sin^2 \frac{A}{2} \leq \frac{9}{4}}$ Κάνω και το άλλο μέλος...αποδείχθηκε πολύ πιο σύνθετο: Είναι γνωστή η σχέση $\displaystyle 4\prod\sin\dfrac{A}{2}=\sum \cos A-1$ οπότε ισοδύναμα αρκεί να δείξω ότι $\displa...