Συγχαρητήρια!

Μια λύση για το πρόβλημα 2, μαζί με κάποιο motivation για τα βήματα

Θέλουμε να φράξουμε την έκφραση $\displaystyle{\int_{-1}^1 (f''(x))^2dx}$ από κάτω επομένως σκεφτόμαστε να χρησιμοποιήσουμε κάποια ανισότητα της μορφής
$\displaystyle{
(f''(x)-g(x))^2\geq 0\iff (f''(x))^2\geq 2f''(x ...

Να δειχθεί ότι:


$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^6+1} \, \mathrm{d} x = - \frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}}$


Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $x=e^y$:
$\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{\log(x)}{x^6+1}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{y}{e^{6y}+1}\cdot e^ydy}$


και ορίζουμε την ...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:


$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} \left \{ \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \right \}\, \mathrm{d}x }$


όπου $\{ \cdot \}$ είναι το κλασματικό μέρος και $\left \lfloor \cdot \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος.


Επαναφορά,

το προσπαθώ ...

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\sum_{\gcd(m,n)=1} \frac{1}{m^2 n^2} = \frac{5}{2}}$.


Είναι $\displaystyle \sum_{(m,n)=1} \dfrac{1}{m^2n^2}=\sum_{n\geq 1} \dfrac{a_n}{n^2}$ όπου $a_n$ το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών $(a,b)$ με $gcd(a,b)=1$ και $ab=n$.
Αν $\displaystyle n=\prod_{i=1}^k p_i^{c ...

Καμία ιδέα για κλειστή μορφή για το παρακάτω άθροισμα;
$\sum_{p=1}^{m}(\lambda-2^p)^{\frac{3}{2}}$,
όπου $m=[\frac{\log (\lambda -1)}{\log 2}]$ και $[.]$ το ακέραιο μέρος.

edit: Αυτό που με ενδιαφέρει πιο πολύ είναι η τάξη μεγέθους του(ως προς $\lambda$ εννοείται).


Για μεγάλα $\lambda$ το ...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα .

Πρόκληση: Αποφύγετε μιγαδική ανάλυση

Μπορεί κανείς να βοηθήσει στο παρακάτω;
$ \int_{1}^{\lambda-2} t [ \frac{\log(\lambda - t)}{\log 2}] dt$, όπου $\lambda \geq 3$.
Εδώ τα $[ .. ]$ συμβολίζουν το ακέραιο μέρος(integer part).
Το χρειάζομαι στην έρευνά μου.
Ευχαριστώ.


Μια απόπειρα...
Για ευκολία στην πληκτρολόγηση γράφω $l$ αντί ...

Η απάντηση είναι 4,

Εφόσον ο Βασίλης δεν γνωρίζει αν ο αριθμός του είναι διπλάσιος της Άννας μετά το πρώτο Δε ξέρω του Βασίλη και οι δύο γνωρίζουν ότι ο Βασίλης έχει αριθμό άρτιο.
Στη συνέχει η Άννα δε γνωρίζει εαν ο αριθμός της είναι διπλάσιος αυτού του Βασίλη, άρα ο Βασίλης καταλαβαίνει ότι και ...

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι με την ακόλουθη ιδιότητα:
Υπάρχει θετικός ακέραιος και μετάθεση του συνόλου τέτοια ώστε
.

Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία τέτοια


$\displaystyle{ a_0 > 0 \, , \, a_1 > 0 \, , \, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_{n-1}} \quad, \quad n \geq 1}$


Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}} = 1}$.


Σαφώς η $(a_n)$ είναι γνησίως αύξουσα ...

Αν υπάρχει μόνο ένα μέλος να κυνηγάει τον Κόκη απλά ο Κόκης σε κάθε κίνηση του επιλέγει να βρίσκεται σε διαφορετική στήλη από αυτό το μέλος. Άρα ποτέ δεν θα καταφέρει αυτό το μέλος να πιάσει τον Κόκη.



Αυτό το σημείο νομίζω χρειάζεται λίγη προσοχή, αν για παράδειγμα ο Κόκης εφαρμόσει μια ...

Θεωρούμε θετικό ακέραιο . Να βρεθούν όλα τα υποσύνολα των θετικών ακεραίω με την εξής ιδιότητα:
Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής
με τα να είναι ακέραιοι.

Επαναφορά, δεν είναι δύσκολη

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ \displaystyle ABC$ με $AB<AC$ και περίκεντρο $O$, ύψος $AD$ και $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Οι $AO$ και $BC$ τέμνονται στο σημείο $E$ και ο περίκυκλος του τριγώνου $ABE$ επανατέμενει την $AC$ στο σημείο $S$ και την ευθεία $SM$ στο σημείο $K$. Να δείξετε ότι $DK\perp KM ...

DreamingMaths έγραψε: Τρί Ιούλ 11, 2023 4:04 pm Ένας γρίφος που εμπνεύστηκα χθες.
Ποιο γεωμετρικό όργανο δεν αξίζει να εμπιστεύεσαι;

Το μοιρογνωμονιο, τάχα λέει τις μοίρες

Είναι άμεσο: Τα τρίγωνα $BDF, DEC$ είναι ίσα γιατί έχουν $ZD=DC$ ως χορδές στον ίδιο κύκλο που τις βλέπουν ίσες γωνίες (εδώ $A/2$), όμοια $BD=DE$ και οι περιεχόμενες γωνίες είναι και οι δύο ίσες με $A$ (από τα εγγράψιμμα τετράπλευρα $AZDC, \, AEDB$ αντίστοιχα). Άρα $BZ=CE$. όπως θέλαμε ...

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f$ $:$ $R^+$ $->$ $R^+$ ώστε: $f(xf(y))=xy-xf(x)+f(x)^2$ για κάθε $x,y>0$

Η δυσκολότερη εκδοχή της παραπάνω είναι η εξής:
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f$ $:$ $R^+$ $->$ $R^+$ ώστε: $f(xf(y+f(x)))=xy+f(x)^2$ για κάθε $x,y>0$


Ξεκινώ με την πρώτη:

$P(x,y)$ η ...

Για το 1)

Έστω $a,b$ με $a<b$ και $f(a)=f(b)$, υπάρχουν τέτοιοι αφού η $f$ δεν είναι $1-1$.

Παίρνω έναν τυχαίο άρρητο $t$ από το $(a,b)$.

Αν $f(t)=f(a)=f(b)$ τον αγνοώ αυτόν και παίρνω άλλο, υπάρχει το πολύ ένας $t$ με αυτή την ιδιότητα.

Έστω τώρα $f(t)\neq f(a),f(b)$, θεωρώ τη συνεχή συνάρτηση ...

Έστω οι ακέραιοι τέτοιοι ώστε να ισχύει η ισότητα



Να δειχθεί ότι

Επαναφορά για αυτή