A7. Είναι $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)=3(a+b+c)\Leftrightarrow a+b+c\geq3$.Έστω $a+b+c=A$.Τότε $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=A^2-2A$ Από Holder είναι $\sum \sqrt[3]{\dfrac{a^3+1}{2}}\le \sqrt[3]{(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})(\sum (a+1))(\sum (a^2-a+1))}=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}(A+3)(A^2-3A...

Ελάχιστα διαφορετικά για το A2 μπορούμε να κάνουμε και μετά Chebyshev.Η άσκηση ήταν και στην ΒΜΟ Shortlist 2018.

Μια λύση για την γεωμετρία Έστω $Q_2\equiv DF\cap AB$.Είναι $DQ_2$ μεσοκάθετος $BI$ οπότε $\angle Q_2IB=\angle Q_2BI=\angle IBC$ άρα $IQ_2\parallel BC$.Όμοια τα $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4,Q_5,Q_6$ όπως στο σχήμα. Αν $X,Y,Z$ οι τομές των $ FD,FE,ED$ με $AC,BC,AB$ αντίστοιχα τότε αφού $ABC $,$DE$$F$ προοπτικά θ...

το παραλληλόγραμμο του TRAN QUANG HUNG.png Μια πρόταση γνωστή ως το παραλληλόγραμμο TRAN QUANG HUNG (γνωστού μεγάλου Γεωμέτρη από το μακρινό Βιετνάμ) Έστω $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής των διαγωνίων $\displaystyle{AC,BD}$ τυχόντος κυρτού τετραπλεύρου $\displaystyle{ABCD}$. Να δειχθεί ότι το τε...

Καλημέρα,μια ιδιοκατασκευή: Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$.Ο εγγεγραμμένος κύκλος του $ABC$ εφάπτεται στις $BC,AC,AB$ στα $A',B',C'$ αντίστοιχα.Έστω $A_1$ το μέσο του τόξου $BC$ του $(O)$ που δεν περιέχει το $A$.Έστω επίσης $A_1A'\cap (O)\equiv A_2$ και $B'C'\cap AA_2\equiv A_3$. Ομ...

Είναι άρα εγγράψιμο.
από το ορθογώνιο .Επίσης .Οπότε τα είναι ίσα και .Ομοίως .Αφού τα ισαπέχουν από το

Εστω $0<a<b$ πραγματικοί. Αν $n\in \mathbb{N},n>0$ Αν $\displaystyle \sqrt[n]{x^n+\sqrt[n+1]{a^nx^{n^2}}}+\sqrt[n]{a^n+\sqrt[n+1]{a^{n^{2}}x^{n}}}=b$ και $x>0$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle x=(b^{\frac{n}{n+1}}-a^{\frac{n}{n+1}})^{\frac{n+1}{n}}$ Σ.Γ.Κανέλλος και Α.Κουκλάδας -Π.Γεωργιακάκης Συμπλήρ...

Θεωρούμε τα πολυώνυμα $f(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)$ και $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n $ όπου $n>3$ φυσικός. 1)Βρείτε τα $n$ για τα οποία το $f$διαιρεί το $g$ 2)Για $n=7$ βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ας την δυσκολέψουμε (*) λίγο: Από τα $n$ που θα βρείτε ποια είναι εκείνα για τα οποία το $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y...

Θεωρούμε τα πολυώνυμα $f(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)$ και $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n $ όπου $n>3$ φυσικός. 1)Βρείτε τα $n$ για τα οποία το $f$διαιρεί το $g$ 2)Για $n=7$ βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης 1)Είναι $g(0,y)=g(x,0)=0$(απλό). Γράφουμε επίσης $f(x,y)=xy(x-y(\omega +1))(x-y\omega)$ με $\omega=\dfrac{-1+i...

Δίνονται οι πραγματικοί $a_i$ με $i=1,2,....,n$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i\neq 0$ Αν είναι $M>0$ να δειχθεί ότι $\displaystyle |\sum_{i=1}^{n}a_i+\frac{M-\sum _{i\neq j}a_ia_j}{\sum_{i=1}^{n}a_i}|\geq \sqrt{2M+\frac{2M}{n}}$ Αρχικά υποθέτω πως το $\displaystyle \sum_{i...

Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση .

ΘΕΜΑ 2 Aν $a, b, c>0$ να δείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$ Λόγω ομοιογένειας μπορώ να θέσω $\rm a+b+c=1$ οπότε γίνεται $\rm \sum \sqrt{\dfrac{1-c+b}{1+c-b}} \geq 3$. Θέτω $\rm 1-c+b=x,1-b+a=y,1-a+c=z,0<x,y,z<2$ .Θα είναι $\rm x+y+z=3$. Η ανισότητα γίνεται $\...

Μέσο τμήματος.png Σε τυχαίο σημείο $S$, ημικυκλίου διαμέτρου $AB$, φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο $B$ επί την $AB$ στο $T$. Ας είναι $D$ η προβολή του $S$ στην $AB$. Φέρνω και την κάθετη από το $S$ στην $AT$ και τέμνει την $AB$ στο $M$. Δείξτε ότι το $M$είναι μέσο του $DB$ Δεκτή κάθε λ...

Νομίζω είναι $50-50$ : Για να ζητάει ανταλλαγή ο πρώτος ,δεδομένου του ότι σκέφτεται λογικά ,πρέπει να έχει κάποιον από τους αριθμούς $1,2,3$ καθώς αν είχε $4,5,6$ είναι πιο πιθανό να κερδίσει και δεν θα ζητούσε ανταλλαγή. Ο δεύτερος παίκτης το ξέρει αυτό ,οπότε ο πρώτος θα έχει ή το $1$ ή το $3$.Άρ...

Καλησπέρα. Αναρωτιόμουν αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Pascal. Δεν το πολυέψαξα αλλά ακόμα και αν ισχύει, η απόδειξη με ευκλείδια μέσα φαντάζει εφιάλτης (οπότε μπορεί να υπάρχει κάτι από προβολική, όπως το αντίστροφο του Desargues από αρχή δυϊσμού). Καλησπέρα,πράγματι ισχύει και η απόδειξη ...

Καλημέρα Πρόδρομε, Μια λύση στα γρήγορα. Θα επανέλθω με εκτενέστερη αιτιολόγηση αν υπάρχει κάποια ασάφεια. Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονι...

Καλησπέρα!

Έστω θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε και .
Να αποδείξετε ότι

Είναι γνωστή και πολύ χρήσιμη πρόταση για τις πολικές η παρακάτω πρόταση: Αν από σημείο $\rm P $ φέρεις τυχαία τέμνουσα $\rm PAB$ σε κύκλο η οποία τέμνει την πολική του $\rm P $ στο $\rm R$ τότε τα $\rm P,A,B,R$ σχηματίζουν αρμονική τετράδα. Πολλές πληροφορίες για πολικές στο :logo: μπορείς να βρεις...

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει κάποια απόδειξη που δείχνει την παραλληλία με πολικές μόνο?(αν υπάρχει) Καλησπέρα,δεν ξέρω αν σε καλύπτω: 330.PNG Είναι $\rm FA$ συμμετροδιάμεσος στο $\rm FDE$ οπότε $\rm PEFD$ αρμονικό.Έτσι αν $\rm R\equiv KF\cap DE$ (όπου $\rm K\equiv KQ\cap (D,E,F)$) θα είναι $\rm (D,E...

rek2 έγραψε: ↑

Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm

Υπάρχουν αναπάντητες;

Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις .
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.