Έστω τρίγωνο με .
Θεωρούμε τον -παραγεγραμμένο κύκλο ο οποίος εφάπτεται των στα .
Από το μέσο του φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει την διχοτόμο της στο .
Να δείξετε ότι το συμμετρικό του ως προς το ανήκει στην .

Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης.png Σε ευθεία δίδονται κατά σειρά τα σημεία $A\,,\,B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$. Προς το ίδιο μέρος γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$. Η κάθετος στο μέσο $M$ του $AB$ τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο $D$. Φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμ...

Καλή Κυριακή σε όλους. Γνωστή, λόγω σχέσεων.PNG Στο σχήμα είναι $\widehat{AOB}=90^{0}$ και $3OB=2OA$ . Το $E \in AB$ ώστε $3\left ( BOE \right )= 10\left ( AOE \right )$. Να βρεθεί η $\widehat{OEB}$ . Ευχαριστώ Γιώργος. Δεκτές όλες οι λύσεις , ασφαλώς και οι .. :) ..Γεωμετρικές ! Έστω $OB=2x,OA=3x$...

shape.pngΔίνεται τρίγωνο $ABC$, με $\angle BAC = {120^ \circ }$ και $AB = 2AC$. Αν η διχοτόμος $AD$ της $\angle BAC$ είναι $100$, να βρείτε την πλευρά $BC$. Έστω $ M$ το μέσο της $ AB$,θα είναι $MAC$ ισοσκελές και $MC\perp AD,$.Αν $K\equiv MC\cap AD$ τότε $MK=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow MC=...

Για το G5 τα εγγράψιμα προκύπτουν αμέσως ως εξής(βάζω και το σχήμα για να υπάρχει):

G6. Έστω τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC$ με περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ και περίκεντρο $O$. Έστω $D$ σημείο στην προέκταση της $BA$ από την πλευρά του $A$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος $\omega_1$ του τριγώνου $OAD$ τέμνει την ευθεία $AC$ και τον κύκλο $\omega$ στα σημεία $E$ και $G$ αντίστοιχα. Το σημείο $H...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και $I$ το σημείο τομής των διχοτόμων του. Από το $I$ φέρνουμε παράλληλη προς την $AC$ η οποία τέμνει την $AB$ στο $M$ και την $BC$ στο $N$. Να δείξετε ότι $\displaystyle{MN=\frac{b(a+c)}{a+b+c}.}$ Καλησπέρα! Έστω $L\equiv BI\cap AC$ $\dfrac{b}{MN}\overset{\Theta \alpha \lambd...

Δίνω μία ακόμη προσέγγιση, Έστω $H\equiv PN\cap EM,S\equiv AC\cap LH$. Θα δείξουμε ότι $E,S,F$ συνευθειακά και όμοια θα είναι και $K,S,P$ συνευθειακά. Με θεώρημα Μενελάου στο $BPC$ με διατέμνουσα $\overline{FML}$ είναι: $\dfrac{FC}{FB}\cdot \dfrac{MB}{MP}\cdot \dfrac{LP}{LC}=1\Leftrightarrow \dfrac{...

Καλημέρα σε όλους. Σύγκριση τριγώνων.PNG Σε τρίγωνο $ABC$ το $E \in BC$ . Ο κύκλος με διάμετρο την $AE$ τέμνει την $AB$ στο $Z$ και την $AC$ στο $P$ ενώ ισχύει $EZ=PC$ Θεωρούμε το $M$ συμμετρικό του $B$ ως προς το $Z$ και το $N$ συμμετρικό του $C$ ως προς το $P$. Έστω $O$ το περίκεντρο του τριγώνου...

Πόσα υποσύνολα του συνόλου $\{1,2,3,...,11,12,13\}$ έχουν ακριβώς τρία στοιχεία και το άθροισμα των στοιχείων τους διαιρείται με το 3; Θεωρούμε τα σύνολα $\left\{\begin{matrix} & A=\left \{ 1,4,7,10,13 \right \} & \\ &B=\left \{ 2,5,8,11 \right \} & \\ & C=\left \{ 3,6,9,12 \right \} & \end{matrix}...

Έστω $BH$ το ύψος από την κορυφή $B$ οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ και $D,E$ τα μέσα των πλευρών $AB$ και $AC$, αντίστοιχα. Αν $F$ είναι το συμμετρικό του $H$ ως προς την ευθεία $ED$, να αποδείξετε ότι η ευθεία $BF$ διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου $ABC$. Καλησπέρα! Έστω $O$ το περίκεντρο του τρ...

Ακρότητες στην κατασκευή μέσων.pngΣτις πλευρές $a,b,c$ του σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ επιλέξτε σημεία $A' , B' , C'$ αντίστοιχα , έτσι ώστε , η $AA'$ να διέρχεται από το μέσο $M$ της $BB'$ , η $BB'$ να διέρχεται από το μέσο $N$ της $CC'$ και τέλος , η $CC'$ να διέρχεται από το μέσο $L$ τ...

122.PNG Έστω τρίγωνο $ABC$ και $D,Z$ τυχαία σημεία στο ημιεπίπεδο που ορίζει η $AC$ και δεν ανήκει το $B$. Θεωρούμε τις τομές: $L\equiv CD\cap AZ,E\equiv AZ\cap BD,P\equiv BZ\cap CD,N\equiv BD\cap AC,M\equiv BZ\cap AC,K\equiv LN\cap AB,F\equiv LM\cap BC$ Να δείξετε ότι οι $EF,KP$ τέμνονται πάνω στη...

Πλευρές τετραπλεύρου.png Τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και $P$ είναι ένα σημείο της διαγωνίου $AC,$ ώστε $AP=PC=2PD.$ Αν $PD=a$ και $A\widehat DP=A\widehat BC,$ να υπολογίσετε συναρτήσει του $a$ τα μήκη των πλευρών του τετραπλεύρου. 24 ώρες στους μαθητές. Καλημέρ...

Αθροισμα λόγων.png Δίδεται τρίγωνο $ABC$ . Ευθύγραμμο τμήμα $DE$ με $D,E$ στις $AB,AC$ αντίστοιχα διέρχεται από το βαρύκεντρο $G$ του τριγώνου $ABC$. Δείξετε ότι, $\dfrac{{DB}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = 1$ Έστω $M\equiv BC\cap AG,N\equiv DE\cap BC$ Από το θεώρημα του Μενελάου στα $\overset{\Delt...

Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον; Ευκλείδης Α Λυκείου Συνεχίζω από το σημείο $4a^6-12a^4b-15a^2b^2-4b^3\geq 0$. Είναι $4a^6-12a^4b-15a^2b^2-4b^3=4a^6+4a^4b+a^2b^2-16a^4b-16a^2b^2-4b^3=a^2(4a^2+4a^2b+b^2)-..-4b(4a^4+4a^2b+b^2)=(a^2-4b)...

Αν $a,b>0$ και $\log_9a=\log_{12}b=\log_{16}(a+b),$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{b}{a}.$ Καλημέρα! Θέτω $a=9^x,b=12^x,a+b=16^x,x $ πραγματικός. Είναι $\dfrac{b}{a}=\dfrac{12^x}{9^x}=\left ( \dfrac{4}{3} \right )^x=\left ( \dfrac{16}{12} \right )^x=\dfrac{a+b}{b}\Leftrightarrow a^2+ab-b^2=0\overse...

Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον; Ευκλείδης Α Λυκείου Η λύση έχει κάποια λάθη (ελπίζω να διορθώνονται) Καλημέρα! Η ανισότητα γράφεται $4\left ( (x+y)^2-xy \right )^3\geq 27(xy)^2(x+y)^2$ Θέτω $x+y=a,xy=b$ και ισχύει $a^2\geq 4b\Leftri...

Άσκηση 254 Ορθογώνια 254.png Σε ορθογώνιο $ABCD (AB\ne BC)$ κέντρου $O$ η κάθετη από το $O$ στην $BD$ τέμνει τις $AB, BC$ στα $E, F$ αντίστοιχα. Αν $M, N$ είναι τα μέσα των $CD, AD,$ να δείξετε ότι $FM\bot NE.$ Καλησπέρα! Αρχικά επειδή $EF$ μεσοκάθετος του $BD$ θα είναι $\angle EDF=90^{\circ}$ Είνα...

Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους $m$ ώστε $(2^{2m+1})^{2}+1$ να διαιρείται με δυο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους Καλησπέρα! $(2^{2m+1})^2+1=\left ( 2^{2m+1}+1 \right )^2-2^{2m+2}=\left ( 2^{2m+1}-2^{m+1}+1 \right )\left ( 2^{2m+1}+2^{m+1}+1 \right )$ Για να είναι ο πρώτος παράγο...