Η αναζήτηση βρήκε 770 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Ιούλ 26, 2020 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 282

Εκθετική

Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση \rm 7^x+15^y=z^2.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 183

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Aν $a, b, c>0$ να δείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$ Λόγω ομοιογένειας μπορώ να θέσω $\rm a+b+c=1$ οπότε γίνεται $\rm \sum \sqrt{\dfrac{1-c+b}{1+c-b}} \geq 3$. Θέτω $\rm 1-c+b=x,1-b+a=y,1-a+c=z,0<x,y,z<2$ .Θα είναι $\rm x+y+z=3$. Η ανισότητα γίνεται $\...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 25, 2020 10:13 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέσο τμήματος
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 514

Re: Μέσο τμήματος

Μέσο τμήματος.png Σε τυχαίο σημείο $S$, ημικυκλίου διαμέτρου $AB$, φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο $B$ επί την $AB$ στο $T$. Ας είναι $D$ η προβολή του $S$ στην $AB$. Φέρνω και την κάθετη από το $S$ στην $AT$ και τέμνει την $AB$ στο $M$. Δείξτε ότι το $M$είναι μέσο του $DB$ Δεκτή κάθε λ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Ιούλ 16, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: 6 κάρτες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 362

Re: 6 κάρτες

Νομίζω είναι $50-50$ : Για να ζητάει ανταλλαγή ο πρώτος ,δεδομένου του ότι σκέφτεται λογικά ,πρέπει να έχει κάποιον από τους αριθμούς $1,2,3$ καθώς αν είχε $4,5,6$ είναι πιο πιθανό να κερδίσει και δεν θα ζητούσε ανταλλαγή. Ο δεύτερος παίκτης το ξέρει αυτό ,οπότε ο πρώτος θα έχει ή το $1$ ή το $3$.Άρ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Pascal^(-1)-ερώτηση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 268

Re: Pascal^(-1)-ερώτηση

Καλησπέρα. Αναρωτιόμουν αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Pascal. Δεν το πολυέψαξα αλλά ακόμα και αν ισχύει, η απόδειξη με ευκλείδια μέσα φαντάζει εφιάλτης (οπότε μπορεί να υπάρχει κάτι από προβολική, όπως το αντίστροφο του Desargues από αρχή δυϊσμού). Καλησπέρα,πράγματι ισχύει και η απόδειξη ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 04, 2020 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 375

Re: Διαιρετότητα

Καλημέρα Πρόδρομε, Μια λύση στα γρήγορα. Θα επανέλθω με εκτενέστερη αιτιολόγηση αν υπάρχει κάποια ασάφεια. Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονι...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 04, 2020 12:17 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 375

Διαιρετότητα

Καλησπέρα!

Έστω \rm a,b,c,n θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε \rm a\mid b^n,b\mid c^n και \rm c\mid a^n.
Να αποδείξετε ότι \rm abc\mid (a+b+c)^{n^2+n+1}
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 840

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Είναι γνωστή και πολύ χρήσιμη πρόταση για τις πολικές η παρακάτω πρόταση: Αν από σημείο $\rm P $ φέρεις τυχαία τέμνουσα $\rm PAB$ σε κύκλο η οποία τέμνει την πολική του $\rm P $ στο $\rm R$ τότε τα $\rm P,A,B,R$ σχηματίζουν αρμονική τετράδα. Πολλές πληροφορίες για πολικές στο :logo: μπορείς να βρεις...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 9:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 840

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει κάποια απόδειξη που δείχνει την παραλληλία με πολικές μόνο?(αν υπάρχει) Καλησπέρα,δεν ξέρω αν σε καλύπτω: 330.PNG Είναι $\rm FA$ συμμετροδιάμεσος στο $\rm FDE$ οπότε $\rm PEFD$ αρμονικό.Έτσι αν $\rm R\equiv KF\cap DE$ (όπου $\rm K\equiv KQ\cap (D,E,F)$) θα είναι $\rm (D,E...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 7:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 197
Προβολές: 20229

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

rek2 έγραψε:
Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm
Υπάρχουν αναπάντητες;
Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις 12,13,20,25,26,29,38,39,42,43,48,49,50,55,57,58,61,63,64,71,72.
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 6:41 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 330

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+c} \geqslant \frac{a+b+c}{2}$ Φαντάζομαι στον τρίτο όρο ο παρονομαστής είναι $\rm b+a$ Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle \rm \left (\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 6:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 326

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$. Γενικεύστε σε $n$ μεταβλητές. Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\rm (1+1+1)(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$. Γενίκευση: Χρησιμοποιώντας την Cauchy-Schwarz έχουμε $\left ( \und...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 5:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 316

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$. Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\rm (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq (ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq(ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow$ $\rm \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \left | ab+bc+ac \right |\geq ab+b...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 5:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 954

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 3 Οι κύκλοι $K_1$ και $K_2$ τέμνονται στα σημεία $A$ και $B.$ Οι εφαπτόμενες στον $K_1$ στα σημεία $A$ και $B$ τέμνονται στο $T.$ Έστω $M$ σημείο του κύκλου $K_1$ διαφορετικό από τα $A$ και $B.$ Η ευθεία $MT$ τέμνει τον $K_1,$ για δεύτερη φορά, στο $C,$ η ευθεία $MA$ τέμνει τον $K_2,$ για δεύτ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 1:02 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με απλά "μέσα"
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 302

Re: Με απλά "μέσα"

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , με $AB<AC<BC$ και έστω $(c)$ ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Φέρουμε τα ύψη $BE$ και $CZ$. Ες είναι $D$ ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $AC$. Οι ευθείες $BD$ και $CZ$ τέμνονται στο $Q$, ενώ οι $BE$ και $CD$ στο $S$. Τέλος , αν $K$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 27, 2020 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα λόγω ... καθετότητας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 373

Re: Καθετότητα λόγω ... καθετότητας

Καθετότητα λόγω ... καθετότητας.pngΑπό σημείο $S$ , εξωτερικό του κύκλου $(O)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA$ και $SB$ . Σημείο $P$ κινείται επί του $SB$ . Η κάθετη από το $B$ προς το $OP$ , τέμνει το τμήμα $SA$ στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι και : $OT\perp AP$ . Αλλιώς με κριτήριο καθετότητας α...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 27, 2020 10:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα λόγω ... καθετότητας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 373

Re: Καθετότητα λόγω ... καθετότητας

Καθετότητα λόγω ... καθετότητας.pngΑπό σημείο $S$ , εξωτερικό του κύκλου $(O)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA$ και $SB$ . Σημείο $P$ κινείται επί του $SB$ . Η κάθετη από το $B$ προς το $OP$ , τέμνει το τμήμα $SA$ στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι και : $OT\perp AP$ . Θα είναι $\rm BT$ πολική του $\r...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 27, 2020 12:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 353

Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

Έστω τρίγωνο \rm ABC και \rm A_1,B_1,C_1 τα μέσα των τμημάτων \rm BC,AC,AB αντίστοιχα.
Θεωρούμε τους κύκλους \rm (A,AA_1),(B,BB_1),(C,CC_1).
Να δείξετε ότι το ριζικό κέντρο των τριών αυτών κύκλων ανήκει στην ευθεία \rm Euler του \rm ABC.


328.PNG
328.PNG (47.48 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιουν 27, 2020 12:19 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 197
Προβολές: 20229

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

74. $x + 1 = \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{4(x+1)}}}$ Απάντηση: $x=3$ ή $x = - 1$ Πρέπει $\rm x\geq -1$,θέτω $\rm x=k^2-1$ με $\rm k\geq 0$ και η εξίσωση γίνεται $\rm k^2=\sqrt{2k^2+2\sqrt{2k^2+4k}}$.Αν $\rm k>2$ τότε $\rm 2k^2+4k<2k^2+2k^2=4k^2$ οπότε $\rm RHS<\sqrt{2k^2+2\cdot 2k}=\sqrt...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιουν 26, 2020 11:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 197
Προβολές: 20229

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

73. $1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}$ Απάντηση: $x = 1$ Θέτουμε $\rm x=t+1$ οπότε γίνεται $\rm 2\sqrt{t^2-7t+10}=t+\sqrt{t^2-12t+40}$,από το πρώτο ριζικό πρέπει $\rm t\in (-\infty,2]\cup[5,+\infty)$. Υψώνουμε στο τετράγωνο $\rm 4t^2-28t+40=2t^2-12t+40+2t\sqrt{t^2-12t+40}\Left...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση