Η αναζήτηση βρήκε 780 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Οκτ 16, 2020 4:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 719

Re: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα

A7. Είναι $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)=3(a+b+c)\Leftrightarrow a+b+c\geq3$.Έστω $a+b+c=A$.Τότε $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=A^2-2A$ Από Holder είναι $\sum \sqrt[3]{\dfrac{a^3+1}{2}}\le \sqrt[3]{(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})(\sum (a+1))(\sum (a^2-a+1))}=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}(A+3)(A^2-3A...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Οκτ 11, 2020 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 719

Re: JBMO Shortlist 2019 - Άλγεβρα

Ελάχιστα διαφορετικά για το A2 μπορούμε να κάνουμε \sum \dfrac{ab}{a+b}=\sum \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\geq \dfrac{9}{2\dfrac{\sum ab}{abc}}=\dfrac{3}{\sum ab} και μετά Chebyshev.Η άσκηση ήταν και στην ΒΜΟ Shortlist 2018.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Οκτ 08, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2015
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2814

Re: BMO 2015

Μια λύση για την γεωμετρία Έστω $Q_2\equiv DF\cap AB$.Είναι $DQ_2$ μεσοκάθετος $BI$ οπότε $\angle Q_2IB=\angle Q_2BI=\angle IBC$ άρα $IQ_2\parallel BC$.Όμοια τα $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4,Q_5,Q_6$ όπως στο σχήμα. Αν $X,Y,Z$ οι τομές των $ FD,FE,ED$ με $AC,BC,AB$ αντίστοιχα τότε αφού $ABC $,$DE$$F$ προοπτικά θ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Οκτ 03, 2020 9:28 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Βιετναμέζικο παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 344

Re: Βιετναμέζικο παραλληλόγραμμο

το παραλληλόγραμμο του TRAN QUANG HUNG.png Μια πρόταση γνωστή ως το παραλληλόγραμμο TRAN QUANG HUNG (γνωστού μεγάλου Γεωμέτρη από το μακρινό Βιετνάμ) Έστω $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής των διαγωνίων $\displaystyle{AC,BD}$ τυχόντος κυρτού τετραπλεύρου $\displaystyle{ABCD}$. Να δειχθεί ότι το τε...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Σεπ 01, 2020 11:30 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 267

Συνευθειακά

Καλημέρα,μια ιδιοκατασκευή: Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$.Ο εγγεγραμμένος κύκλος του $ABC$ εφάπτεται στις $BC,AC,AB$ στα $A',B',C'$ αντίστοιχα.Έστω $A_1$ το μέσο του τόξου $BC$ του $(O)$ που δεν περιέχει το $A$.Έστω επίσης $A_1A'\cap (O)\equiv A_2$ και $B'C'\cap AA_2\equiv A_3$. Ομ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Αύγ 25, 2020 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εγγράψιμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 161

Re: Εγγράψιμο

357.PNG
357.PNG (40.41 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Είναι \angle KMB=2\angle C=\angle KOB άρα KOMB εγγράψιμο.
KB=KE=KC από το ορθογώνιο BCE.Επίσης \angle BKM=\angle BOM=\angle A=\angle MDE.Οπότε τα EDM,BKM είναι ίσα και MK=KD.Ομοίως ML=MD.Αφού MT=MD τα D,K,T,L ισαπέχουν από το M
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τετ Αύγ 19, 2020 5:57 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ριζικά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 217

Re: Ριζικά

Εστω $0<a<b$ πραγματικοί. Αν $n\in \mathbb{N},n>0$ Αν $\displaystyle \sqrt[n]{x^n+\sqrt[n+1]{a^nx^{n^2}}}+\sqrt[n]{a^n+\sqrt[n+1]{a^{n^{2}}x^{n}}}=b$ και $x>0$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle x=(b^{\frac{n}{n+1}}-a^{\frac{n}{n+1}})^{\frac{n+1}{n}}$ Σ.Γ.Κανέλλος και Α.Κουκλάδας -Π.Γεωργιακάκης Συμπλήρ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Αύγ 13, 2020 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 265

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Θεωρούμε τα πολυώνυμα $f(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)$ και $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n $ όπου $n>3$ φυσικός. 1)Βρείτε τα $n$ για τα οποία το $f$διαιρεί το $g$ 2)Για $n=7$ βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ας την δυσκολέψουμε (*) λίγο: Από τα $n$ που θα βρείτε ποια είναι εκείνα για τα οποία το $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Αύγ 13, 2020 12:20 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 265

Re: Διαιρετότητα πολυωνύμων πολλών μεταβλητών 2

Θεωρούμε τα πολυώνυμα $f(x,y)=xy(x^2+xy+y^2)$ και $g(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n $ όπου $n>3$ φυσικός. 1)Βρείτε τα $n$ για τα οποία το $f$διαιρεί το $g$ 2)Για $n=7$ βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης 1)Είναι $g(0,y)=g(x,0)=0$(απλό). Γράφουμε επίσης $f(x,y)=xy(x-y(\omega +1))(x-y\omega)$ με $\omega=\dfrac{-1+i...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Αύγ 11, 2020 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα με παράμετρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 153

Re: Ανισότητα με παράμετρο

Δίνονται οι πραγματικοί $a_i$ με $i=1,2,....,n$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i\neq 0$ Αν είναι $M>0$ να δειχθεί ότι $\displaystyle |\sum_{i=1}^{n}a_i+\frac{M-\sum _{i\neq j}a_ia_j}{\sum_{i=1}^{n}a_i}|\geq \sqrt{2M+\frac{2M}{n}}$ Αρχικά υποθέτω πως το $\displaystyle \sum_{i...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Ιούλ 26, 2020 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 377

Εκθετική

Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση \rm 7^x+15^y=z^2.
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 292

Re: Τεστ Εξάσκησης (50), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Aν $a, b, c>0$ να δείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$ Λόγω ομοιογένειας μπορώ να θέσω $\rm a+b+c=1$ οπότε γίνεται $\rm \sum \sqrt{\dfrac{1-c+b}{1+c-b}} \geq 3$. Θέτω $\rm 1-c+b=x,1-b+a=y,1-a+c=z,0<x,y,z<2$ .Θα είναι $\rm x+y+z=3$. Η ανισότητα γίνεται $\...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 25, 2020 10:13 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέσο τμήματος
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 625

Re: Μέσο τμήματος

Μέσο τμήματος.png Σε τυχαίο σημείο $S$, ημικυκλίου διαμέτρου $AB$, φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο $B$ επί την $AB$ στο $T$. Ας είναι $D$ η προβολή του $S$ στην $AB$. Φέρνω και την κάθετη από το $S$ στην $AT$ και τέμνει την $AB$ στο $M$. Δείξτε ότι το $M$είναι μέσο του $DB$ Δεκτή κάθε λ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Ιούλ 16, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: 6 κάρτες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 487

Re: 6 κάρτες

Νομίζω είναι $50-50$ : Για να ζητάει ανταλλαγή ο πρώτος ,δεδομένου του ότι σκέφτεται λογικά ,πρέπει να έχει κάποιον από τους αριθμούς $1,2,3$ καθώς αν είχε $4,5,6$ είναι πιο πιθανό να κερδίσει και δεν θα ζητούσε ανταλλαγή. Ο δεύτερος παίκτης το ξέρει αυτό ,οπότε ο πρώτος θα έχει ή το $1$ ή το $3$.Άρ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Ιούλ 14, 2020 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Pascal^(-1)-ερώτηση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 353

Re: Pascal^(-1)-ερώτηση

Καλησπέρα. Αναρωτιόμουν αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Pascal. Δεν το πολυέψαξα αλλά ακόμα και αν ισχύει, η απόδειξη με ευκλείδια μέσα φαντάζει εφιάλτης (οπότε μπορεί να υπάρχει κάτι από προβολική, όπως το αντίστροφο του Desargues από αρχή δυϊσμού). Καλησπέρα,πράγματι ισχύει και η απόδειξη ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 04, 2020 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 463

Re: Διαιρετότητα

Καλημέρα Πρόδρομε, Μια λύση στα γρήγορα. Θα επανέλθω με εκτενέστερη αιτιολόγηση αν υπάρχει κάποια ασάφεια. Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονι...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Ιούλ 04, 2020 12:17 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 463

Διαιρετότητα

Καλησπέρα!

Έστω \rm a,b,c,n θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε \rm a\mid b^n,b\mid c^n και \rm c\mid a^n.
Να αποδείξετε ότι \rm abc\mid (a+b+c)^{n^2+n+1}
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 958

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Είναι γνωστή και πολύ χρήσιμη πρόταση για τις πολικές η παρακάτω πρόταση: Αν από σημείο $\rm P $ φέρεις τυχαία τέμνουσα $\rm PAB$ σε κύκλο η οποία τέμνει την πολική του $\rm P $ στο $\rm R$ τότε τα $\rm P,A,B,R$ σχηματίζουν αρμονική τετράδα. Πολλές πληροφορίες για πολικές στο :logo: μπορείς να βρεις...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 9:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 958

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει κάποια απόδειξη που δείχνει την παραλληλία με πολικές μόνο?(αν υπάρχει) Καλησπέρα,δεν ξέρω αν σε καλύπτω: 330.PNG Είναι $\rm FA$ συμμετροδιάμεσος στο $\rm FDE$ οπότε $\rm PEFD$ αρμονικό.Έτσι αν $\rm R\equiv KF\cap DE$ (όπου $\rm K\equiv KQ\cap (D,E,F)$) θα είναι $\rm (D,E...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Ιούλ 03, 2020 7:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 197
Προβολές: 21398

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

rek2 έγραψε:
Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm
Υπάρχουν αναπάντητες;
Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις 12,13,20,25,26,29,38,39,42,43,48,49,50,55,57,58,61,63,64,71,72.
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση