Διακεντρικές τέμνονται σε κύκλο.pngΣτη βάση $BC$ τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημείο $D$ και γράφουμε τους κύκλους $(A,B,D)$ και $(A,C,D)$ με κέντρα $K,Q$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι $BK , CQ$ , τέμνονται πάνω στον περίκυκλο του $\displaystyle ABC$ . Για ποια θέση του $D$ , προκύπτει : $\...

Γ γυμνασίου θέμα 3 Χρησιμοποιώ λατινικούς χαρακτήρες: Έστω $\left\{\begin{matrix} & 2a-1=kb & \\ & b-1=cl & \\ & c-1=ma & \end{matrix}\right.,k,l,m\in \mathbb{N}^{*}$ Είναι $c-1=ma\Leftrightarrow c=am+1$ άρα $b-1=(am+1)l\Leftrightarrow b=aml+l+1$ και $2a-1=kb=k\left ( aml+l+1 \right )\Leftrightarro...

Τυχαίο ; Δεν νομίζω !.pngΣτον άξονα $x'x$ , βρίσκονται σημεία $A,B$ , με $OA<OB$ και έστω $N$ ένα σημείο του $OA$ . Σημείο $S$ κινείται στον άξονα $y'y$ και σημείο $T$ κινείται επί του τμήματος $SN$ . Οι ημιευθείες $AT,BT$ τέμνουν τα τμήματα $SB,SA$ στα σημεία $A',B'$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι η $A'B...

Σχετικά κοντά.png$\bigstar$ Στο άκρο $A$ της ακτίνας $OA$ ενός κύκλου , φέραμε την εφαπτομένη επί της οποίας θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ . Σχεδιάζουμε ακτίνα $OT \perp OS$ . Εντοπίστε σημείο $P$ στην προέκταση της $OA$ , ώστε , ο κύκλος $(S,O,T)$ να διέρχεται από το μέσο $M$ του $PT$ . Υπολογίστε το ...

Στο τρίγωνο $ABC$ κατασκευάστηκε το σημείο $D$, συμμετρικό του κέντρου $I$ του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντο $O$ του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι $AD^2=4R^2-AB \cdot AC$, όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. (Για Γ' Λυκείου) 208.PNG Από το π...

Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png Από τα άκρα $A, B$ της διαμέτρου $AOB$ ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες $Ax, By$ και έστω $P$ σημείο της $Ax.$ Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις $Ax, By$ στα $M, Q$ αντίστοιχα. Αν $M$ είναι το μέσο του $AP$ να δείξετε ότι $OP\bot AQ.$ Καλησ...

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $N$ το μέσον της πλευράς του $AC$ και $D$, τυχόν σημείο επί της $BC$. Στην προέκταση της $BC$ προς το μέρος του $C$ λαμβάνουμε σημείο $E$ ώστε να είναι $CE = BD$ και ας είναι $M$, το σημείο επί της $EN$ ώστε να είναι $DM\parallel BN$. Αποδείξτε ότι $EM = ...

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $N$ το μέσον της πλευράς του $AC$ και $D$, τυχόν σημείο επί της $BC$. Στην προέκταση της $BC$ προς το μέρος του $C$ λαμβάνουμε σημείο $E$ ώστε να είναι $CE = BD$ και ας είναι $M$, το σημείο επί της $EN$ ώστε να είναι $DM\parallel BN$. Αποδείξτε ότι $EM = ...

206.PNG Έστω $ABCD$ τετράγωνο.Με κορυφή $C$ κατασκευάζουμε εξωτερικά του, τετράγωνο $CEZF$ (όχι απαραίτητα ίσο με το αρχικό).Με κορυφές $D,Z$ κατασκευάζουμε το τετράγωνο $DZKN$ όπως στο σχήμα και τέλος το τετράγωνο $NBLT$. α) Δείξτε ότι τα $T,D,F$ είναι συνευθειακά. β)Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{TD...

1.png Χρόνια πολλά και καλή χρονιά . Στο παραπάνω σχήμα είναι $AB=BC$ και $AC=BD$. Βρείτε τις μοίρες της γωνίας $\theta$ . 205.PNG Θα δείξω ότι $\theta=20^{\circ}$ Έστω $ADZ$ ισόπλευρο εξωτερικά του $ABC$.Εύκολα βλέπουμε πως $\Delta ABC\doteq \Delta BAZ$ και έτσι $\angle DBA =10 ^{\circ}$.Έστω $H\e...

Για Γερόλυκους και λυκόπουλα.png οι ευθείες $a$ και $b$ τέμνονται εκτός σχεδίου . Δίδεται και το σταθερό σημείο $F$ . Μόνο με τη βοήθεια του χάρακα να σχεδιάσετε την ευθεία που διέρχεται από το $F$ και το σημείο τομής των δεδομένων ευθειών. 204.PNG Καλησπέρα! Έστω $A,B$ σημεία στις $a,b $ αντίστοιχ...

min## έγραψε: ↑

Τρί Ιαν 07, 2020 2:26 pm

Είναι ο Πάππος στην και στην ευθεία στο άπειρο

Ακριβώς αυτό είχα στο μυαλό μου

203.PNG Δίνονται τρία συνευθειακά σημεία $A,B,C$ .Έστω $e_1,e_3$ δύο τυχαίες ευθείες που διέρχονται από το $C$ και $e_2$ που διέρχεται από το $A$.Η παράλληλη από το $B$ στην $e_1$ τέμνει την παράλληλη από το $A$ στην $e_3$ στο $E$.Η παράλληλη από το $B$ στην $e_2$ τέμνει την $e_3$ στο $F$.Να δείξετ...

Capture2.PNG Καλησπέρα :mathexmastree: Έστω τρίγωνο $ABC $ με $b^2+c^2=2a^2$ ,$L$ το σημείο Lemoine και $O $ το περίκεντρο του . α) Εάν η εφαπτομένη του $(A,B,C)$ στο $A$ τέμνει την $OL$ στο $S $να δείξετε ότι $C,B,S$ συνευειακά. β) Έστω $M,N$ μέσα των $AB,AC$ και $D$ η τομή της $AL$ με την $BC$. Ν...

Σταθερό εμβαδόν.PNG Έστω $O$ η τομή των $GR, HI$. Τότε: Να δειχθεί ότι το $(BOC)$ είναι ανεξάρτητο από τη θέση του δρομέα $R$ πάνω στην $BC$. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος. Καλησπέρα ! Αρκεί το $O$ να κινήται επί σταθερής ευθείας παράλληλης στην $BC$(τότε το τρίγωνο θα έχει πάντοτε το ίδιο ύψος και ί...

Κανονική κατασκευή.pngΟνομάζω μια κατασκευή κανονική , αν μπορεί να επιτευχθεί με χρήση μόνο του κανόνα . Λοιπόν , μπορείτε να επιτύχετε μια κανονική κατασκευή της παράλληλης από το $S$ προς το τμήμα $AB$ ; Καλό! Έστω τυχαία ημιευθεία $Ax$ στο ίδιο ημιεπίπεδο με το $S$ που ορίζει η $AB$. Έστω $D\eq...

Γωνία από ίσες γωνίες.png $AD, BE, CF$ είναι οι διχοτόμοι σκαληνού τριγώνου $ABC.$ Αν $A\widehat EB=B\widehat DF$ να υπολογίσετε τη γωνία $\widehat A.$ Αλλιώς από το εγγράψιμο $BDES$ είναι $CE\cdot CS=CD\cdot CB\Leftrightarrow \dfrac{ab}{a+c}\cdot \dfrac{ab}{a-c}=\dfrac{ac}{b+c}\cdot a\Leftrightarr...

Γωνία από ίσες γωνίες.png $AD, BE, CF$ είναι οι διχοτόμοι σκαληνού τριγώνου $ABC.$ Αν $A\widehat EB=B\widehat DF$ να υπολογίσετε τη γωνία $\widehat A.$ Καλησπέρα! Έστω $DF\cap AC\equiv S,DF\cap BE\equiv T$ και $I$ το έκκεντρο.Η $BS$ θα είναι εξωτερική διχοτόμος της $\angle B$ άρα $\angle SBE=90^{\c...

Χαιρετώ. Αφετηρία για το παρόν είναι το θέμα τούτο Συνευθειακά για μέγιστο.PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και οι διάμεσοί του $BE,CZ$ που τέμνονται στο $G$. Το σημείο $R$ διατρέχει την πλευρά $BC$. Φέρουμε τις $RI \parallel BE$ και $RH \parallel CZ$ με $I \in AC ...H \in AB$. Να εξεταστεί αν το $\left (...

Πρόδρομε, Σε βλέπω για διατριβή !!!! στα συγκεκριμένα θέματα Ολοκλήρωσε τις παρατηρήσεις - ανακαλύψεις σου και θα δούμε που θα πάει η " δουλειά" Προτείνω να γράψεις ένα άρθρο για τις συγκεκριμένες (σπουδαίες νομίζω και δεν γνωρίζω αν είναι γνωστές) ανακαλύψεις σου Μπράβο σου !!!! :coolspeak: Σας ευ...