Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση .

ΘΕΜΑ 2 Aν $a, b, c>0$ να δείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{cyclic}{\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}}\geq 3}$ Λόγω ομοιογένειας μπορώ να θέσω $\rm a+b+c=1$ οπότε γίνεται $\rm \sum \sqrt{\dfrac{1-c+b}{1+c-b}} \geq 3$. Θέτω $\rm 1-c+b=x,1-b+a=y,1-a+c=z,0<x,y,z<2$ .Θα είναι $\rm x+y+z=3$. Η ανισότητα γίνεται $\...

Μέσο τμήματος.png Σε τυχαίο σημείο $S$, ημικυκλίου διαμέτρου $AB$, φέρνω εφαπτομένη και συναντά την κάθετη στο $B$ επί την $AB$ στο $T$. Ας είναι $D$ η προβολή του $S$ στην $AB$. Φέρνω και την κάθετη από το $S$ στην $AT$ και τέμνει την $AB$ στο $M$. Δείξτε ότι το $M$είναι μέσο του $DB$ Δεκτή κάθε λ...

Νομίζω είναι $50-50$ : Για να ζητάει ανταλλαγή ο πρώτος ,δεδομένου του ότι σκέφτεται λογικά ,πρέπει να έχει κάποιον από τους αριθμούς $1,2,3$ καθώς αν είχε $4,5,6$ είναι πιο πιθανό να κερδίσει και δεν θα ζητούσε ανταλλαγή. Ο δεύτερος παίκτης το ξέρει αυτό ,οπότε ο πρώτος θα έχει ή το $1$ ή το $3$.Άρ...

Καλησπέρα. Αναρωτιόμουν αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Pascal. Δεν το πολυέψαξα αλλά ακόμα και αν ισχύει, η απόδειξη με ευκλείδια μέσα φαντάζει εφιάλτης (οπότε μπορεί να υπάρχει κάτι από προβολική, όπως το αντίστροφο του Desargues από αρχή δυϊσμού). Καλησπέρα,πράγματι ισχύει και η απόδειξη ...

Καλημέρα Πρόδρομε, Μια λύση στα γρήγορα. Θα επανέλθω με εκτενέστερη αιτιολόγηση αν υπάρχει κάποια ασάφεια. Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονι...

Καλησπέρα!

Έστω θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε και .
Να αποδείξετε ότι

Είναι γνωστή και πολύ χρήσιμη πρόταση για τις πολικές η παρακάτω πρόταση: Αν από σημείο $\rm P $ φέρεις τυχαία τέμνουσα $\rm PAB$ σε κύκλο η οποία τέμνει την πολική του $\rm P $ στο $\rm R$ τότε τα $\rm P,A,B,R$ σχηματίζουν αρμονική τετράδα. Πολλές πληροφορίες για πολικές στο :logo: μπορείς να βρεις...

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει κάποια απόδειξη που δείχνει την παραλληλία με πολικές μόνο?(αν υπάρχει) Καλησπέρα,δεν ξέρω αν σε καλύπτω: 330.PNG Είναι $\rm FA$ συμμετροδιάμεσος στο $\rm FDE$ οπότε $\rm PEFD$ αρμονικό.Έτσι αν $\rm R\equiv KF\cap DE$ (όπου $\rm K\equiv KQ\cap (D,E,F)$) θα είναι $\rm (D,E...

rek2 έγραψε: ↑

Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm

Υπάρχουν αναπάντητες;

Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις .
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.

Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+c} \geqslant \frac{a+b+c}{2}$ Φαντάζομαι στον τρίτο όρο ο παρονομαστής είναι $\rm b+a$ Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle \rm \left (\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{...

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$. Γενικεύστε σε $n$ μεταβλητές. Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\rm (1+1+1)(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$. Γενίκευση: Χρησιμοποιώντας την Cauchy-Schwarz έχουμε $\left ( \und...

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$. Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\rm (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq (ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq(ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow$ $\rm \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \left | ab+bc+ac \right |\geq ab+b...

ΘΕΜΑ 3 Οι κύκλοι $K_1$ και $K_2$ τέμνονται στα σημεία $A$ και $B.$ Οι εφαπτόμενες στον $K_1$ στα σημεία $A$ και $B$ τέμνονται στο $T.$ Έστω $M$ σημείο του κύκλου $K_1$ διαφορετικό από τα $A$ και $B.$ Η ευθεία $MT$ τέμνει τον $K_1,$ για δεύτερη φορά, στο $C,$ η ευθεία $MA$ τέμνει τον $K_2,$ για δεύτ...

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , με $AB<AC<BC$ και έστω $(c)$ ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Φέρουμε τα ύψη $BE$ και $CZ$. Ες είναι $D$ ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $AC$. Οι ευθείες $BD$ και $CZ$ τέμνονται στο $Q$, ενώ οι $BE$ και $CD$ στο $S$. Τέλος , αν $K$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $...

Καθετότητα λόγω ... καθετότητας.pngΑπό σημείο $S$ , εξωτερικό του κύκλου $(O)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA$ και $SB$ . Σημείο $P$ κινείται επί του $SB$ . Η κάθετη από το $B$ προς το $OP$ , τέμνει το τμήμα $SA$ στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι και : $OT\perp AP$ . Αλλιώς με κριτήριο καθετότητας α...

Καθετότητα λόγω ... καθετότητας.pngΑπό σημείο $S$ , εξωτερικό του κύκλου $(O)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA$ και $SB$ . Σημείο $P$ κινείται επί του $SB$ . Η κάθετη από το $B$ προς το $OP$ , τέμνει το τμήμα $SA$ στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι και : $OT\perp AP$ . Θα είναι $\rm BT$ πολική του $\r...

Έστω τρίγωνο και τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα.
Θεωρούμε τους κύκλους .
Να δείξετε ότι το ριζικό κέντρο των τριών αυτών κύκλων ανήκει στην ευθεία του .

74. $x + 1 = \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{2(x+1) + 2 \sqrt{4(x+1)}}}$ Απάντηση: $x=3$ ή $x = - 1$ Πρέπει $\rm x\geq -1$,θέτω $\rm x=k^2-1$ με $\rm k\geq 0$ και η εξίσωση γίνεται $\rm k^2=\sqrt{2k^2+2\sqrt{2k^2+4k}}$.Αν $\rm k>2$ τότε $\rm 2k^2+4k<2k^2+2k^2=4k^2$ οπότε $\rm RHS<\sqrt{2k^2+2\cdot 2k}=\sqrt...

73. $1 + 2 \sqrt{x^2 - 9x + 18} = x + \sqrt{x^2 - 14x + 53}$ Απάντηση: $x = 1$ Θέτουμε $\rm x=t+1$ οπότε γίνεται $\rm 2\sqrt{t^2-7t+10}=t+\sqrt{t^2-12t+40}$,από το πρώτο ριζικό πρέπει $\rm t\in (-\infty,2]\cup[5,+\infty)$. Υψώνουμε στο τετράγωνο $\rm 4t^2-28t+40=2t^2-12t+40+2t\sqrt{t^2-12t+40}\Left...