Πρόβλημα 4 γ' γυμνασίου α)Τα τρίγωνα $\overset{\Delta }{\textrm{AB}\Gamma },\overset{\Delta }{B\Gamma \Delta },\overset{\Delta }{\Gamma \Delta E},\overset{\Delta }{\Gamma EZ}$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή άρα:$AB=B\Gamma \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\Gamma \Delta \left (\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2=\Gamma...

Πρόβλημα 2 γ' γυμνασίου Έστω ότι απάντησε σε $x$ ερωτήσεις σωστά.Τότε σε $12-x$ θα απάντησε λανθασμένα. Έχουμε λοιπόν $1320=600+\left ( 80x-40\left ( 12-x \right ) \right )\Leftrightarrow 720=120x-480\Leftrightarrow \boxed{x=10}$ *Kύριε Νίκο η λύση είναι του Θεοδόση :) **Μήπως θα έπρεπε η συζήτηση ...

Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά $AB$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ . Με βάση την $BS$ και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο $BST$ . Ονομάζω $M , N$ τα μέσα των $BC , BT$ αντίστοιχα και με βάση την $MN$ σχεδιάζω τρίτο ισόπλευρο $LMN$ ,...

Μία λύση για την αρχική με λιγότερες πράξεις και χρήση του αρμονικού τετράπλευρου, Έστω $O$ το κέντρο του $(S,T,R)$ και $X$ ο πόλος του $ST$ ως προς τον ίδιο κύκλο. Λόγω του αρμονικού οι $XT,XU$ είναι εφαπτόμενες και το $X$ ανήκει στη $RS$. Από λήμμα είναι $\left ( X,S,L,R \right )=-1$ και από $Mac\...

Μπράβο, Πρόδρομε! κοίταξε τώρα κάτι άλλο: Αν στο σχήμα σου $S\equiv TC' \cap RM$, $L\equiv (P, PC) \cap RM$ και $U\equiv (STR) \cap TL$, δείξε οτι το $TSUR$ είναι αρμονικό τετράπλευρο Αρκεί $TL$ συμμετροδιάμεσος στο $TSR$ : Το τμήμα $CQ$ είναι συμμετρικό του $C'L$ ως προς την $AD$ ,δηλαδή $D$ μέσον...

GEOMETRIA238=FB3712.jpg Εστω ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD, \hat{A}=\hat{D}=90^o, AB>CD$. Ο περίκυκλος $ABC$ τέμνει την $AD$ στο $P$. Ο κύκλος $(P, PC)$ τέμνει την μεσοπαράλληλο του τραπεζίου $MN$, στο $Q$ και την $QD$ στο $T$. Αν η $TC$ συναντά την $MN$ στο $R$, δείξτε ότι $QR=2\cdot MN$ Καλησπέρα! Έστ...

GEOMETRIA237=FB3831.jpg Ο έγκυκλος τριγώνου $ABC, b>c$ εφάπτεται της μεσοκαθέτου $Mx$ της $BC$. Αν το ύψος $AD=h$ και $DM=d$, δείξτε ότι $\dfrac{b-c}{h-d}=2$ Προαιρετικά, αναζητήστε τον γεωμετρικό τόπο του $A$ όταν η $BC$ είναι σταθερή. Αν $I$ το έκκεντρο του $ABC$ και $F$ το σημείο επαφής του έγκυ...

Ένα επιπλέον ερώτημα: Αν το $D$ είναι εσωτερικό σημείο του $BC$ να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο λόγος $\dfrac{c}{a}.$ Από την τριγωνική ανισότητα είναι: $b>a-c\Leftrightarrow b^2>a^2+c^2-2ac\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow a^2-3ac+c^2<0$ το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες τις $x_1=c\left ( ...

Εντυπωσιακή σταθερότητα.pngΤα ισομήκη τμήματα $AB , A'B'$ , ολισθαίνουν στις πλευρές $Ox , Oy$ αντίστοιχα , γωνίας $\widehat{O}$ . Δείξτε ότι το τμήμα $MN$ το οποίο συνδέει τα μέσα των $AA' , BB'$ , παραμένει σταθερό . Υπολογίστε το τμήμα αυτό , αν : $AB=A'B'=4$ και : $\widehat{xOy}=60^0$ . 155.PNG...

Η πρόταση κάτι μου θυμίζει από Πάππο. Ίσως. Δεν μπορώ να το προσδιορίσω. Πάντως σίγουρα η ευθεία $DK $είναι σταθερή και παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας $A$. Επίσης να αναφέρουμε ότι το παραπάνω μαζί με γεγονός ότι τα μέσα των $BC,MN,AD$ είναι συνευθειακά προκύπτουν από το $AD=AS$ σε συνδυασμό με ...

Σταθερό σημείο..png Δίνεται τρίγωνο $ABC (AB\ne AC).$ Στην ευθεία $BA$ θεωρώ τα σημεία $M, D$ και στην $CA$ το σημείο $N,$ ώστε $BM=CN, BD=CA.$ Αν οι $BN, CM$ τέμνονται στο $K,$ να δείξετε ότι οι $KD, CA$ τέμνονται σε σταθερό σημείο (ανεξάρτητο της επιλογής των $M, N$). Καλησπέρα! Έστω $MC=NC=x$ .Α...

Συνθήκη με βαρύκεντρο.png $AD$ είναι το ύψος και $BE$ η διχοτόμος τριγώνου $ABC.$ Αν το βαρύκεντρο $G$ του τριγώνου $ABC$ είναι σημείο του τμήματος $DE,$ να υπολογίσετε το $b$ συναρτήσει των $a, c.$ Θ.διχοτόμου : $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{c}{a}$,λόγω βαρύκεντρου είναι $\dfrac{GM}{GA}=\dfrac{1}{2}$ και...

Διαγωνιστικός κύκλος.pngΗ Επιτροπή Διαγωνισμού σας δίνει ένα χαρτί στο οποίο είναι σχεδιασμένα - με μαύρο - το τεταρτοκύκλιο και το ημικύκλιο . Ο διαγωνιζόμενος ( εσείς ) πρέπει να σχεδιάσει τον πολυεφαπτόμενο κόκκινο κύκλο . Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις . Η Επιτροπή Δ. θα βραβεύσει τη...

α)Θεωρούμε τις στροφές $\partial_{1}=F_{90^{+}},\partial _{2}=E_{90^{+}}$. Η σύνθεσή τους,$\Theta =\partial_{1}\circ \partial_{2}$ είναι στροφή κατά γωνία $180$ και προφανώς στέλνει το $T$ στο $D$. Άρα (επειδή είναι στροφή 180 μοιρών) θα στέλνει και το $D$ στο $T$. Όμως $\partial_{1}(D)=G$ και συνε...

153.PNG Στο εξωτερικό τριγώνου $ABC$ και με πλευρές τις $AB,AC$ θεωρούμε τετράγωνα $ABDE,ACTF$. Με πλευρά την $DF$ θεωρούμε τετράγωνο $FDHG$(στο ημιεπίπεδο που ορίζει η $DF$ και δεν ανήκει το $A$). α) Να δείξετε ότι τα $EG,ET$ είναι ίσα και κάθετα. β) Αν $N,M$ μέσα των $BC,EF$ και $P\equiv GM\cap A...

Ανισοϊσότητα σε τρίγωνο.png Έστω $H$ το ορθόκεντρο και $I$ το έγκεντρο οξυγώνιου τριγώνου $ABC.$ Η $AI$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο $E.$ Αν $IE=R$ ($R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου), να δείξετε ότι $AH\ge AI.$ $EI=R\Leftrightarrow EB=EC=R\Leftrightarrow \angle A=60^{\circ}$ Αν $O$ το...

3=2.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα σημεία $M , N, L$ είναι τα μέσα των πλευρών του , $(O,R)$ ο περίκυκλός του και $(K,r)$ ο έγκυκλός του . Δείξτε ότι : $\boxed{OM+ON+OL=R+r}$ Καλησπέρα! Είναι $OM=R \sin \angle OBM=R\cos A$ άρα $OM+ON+OL=R(\cos A+\cos B+\cos C)$ ,δηλαδή αρκεί $R(\c...

Αλλιώς για την εγγραψιμότητα:

Έστω ,επειδή οι συντρέχουν (στο ) θα είναι και αφού είναι

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν. 19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$. Το σημείο $N \in BC$ ώστε $BN=2NC$. Εντοπίζουμε το $E \in A...

Έστω $M,F,N$ τα μέσα των $LE,KD,BC$. Η σύνθεση $B_{-90^{\circ}}\circ C_{-90^{\circ}}$ στέλνει το $K$ στο $D$ και έχει κέντρο το μέσο του $KD$(το $F$).Έτσι $FLE,FBC$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή.Αν $LC\cap BE\equiv T$τότε $T\in KD$, αφού $LATBK,ATCDE \,\,\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \a...