Η αναζήτηση βρήκε 677 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 10, 2020 11:52 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 143

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 1 Έστω μία συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}.$ Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες: $f(f(x)+f(y))=x+2f(f(y))-y, \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}$ $f(f(x))=x$ και $f(x+y)=f(x)+f(y), \ \ \forall x,y \in \Bbb{R}.$ Ευθύ: Με $\rm y$ σταθερό αλλάζοντας το $\rm x$ εύκολα η $\rm f$ είναι $1...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 10, 2020 11:20 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 78

Re: Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Θεωρούμε τετράγωνο $ABCD$ και έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AB$, $P$ η προβολή του $B$ στην $CM $ και $N$ το μέσο του τμήματος $CP.$ Η διχοτόμος της γωνίας $\angle DAN$ τέμνει την $DP$ στο $Q.$ Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $BMQN$ είναι παραλληλόγραμμο. 298.PNG Ορίζω $\rm K $ το μέσο του ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Απρ 09, 2020 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 913

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο

Έστω $ABC$ ισόπλευρο τρίγωνο και σημείο $P$ στον περιγεγραμμένο κύκλο του. Ορίζουμε $S_n (P)= PA^n+PB^n+PC^n,$ όπου $n$ ακέραιος. i) Αν $n=1$ να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης $S_n (P).$ ii) Αν $n=-1$ να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης $S_n (P).$ iii) ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Απρ 09, 2020 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 303

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $k$ υπάρχει θετικός ακέραιος $n$ τέτοιος, ώστε ο αριθμός $n2^k − 7$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Έστω $\rm n2^k − 7=m^2\Leftrightarrow n2^k=m^2+7$ αρκεί λοιπόν να δείξω πως για κάθε $\rm k$ φυσικό υπάρχει $\rm m$ που είναι λύση της $\rm m^2\equiv...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 11:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 261

Re: Γωνίες τριγώνου

βρείτε υις γωνίες του τριγώνου.png Στο $\vartriangle ABC$, η $AM$ είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$. Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$ Αφού μπήκε εντός φακέλου βάζω μία (απαίσια βέβαια :lol: ) τριγωνομετρική. Από ν.ημιτόνων στα $\rm ABM,AMC$ έχω $\left\{\begin{matrix...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 9:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 344

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$, το έγκεντρό του $I$, το σημείο επαφής $D$ του εγγεγραμμένου κύκλου με την $BC$ και τη διχοτόμο του $AE.$ Αν $M$ το μέσο του τόξου $BC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το $A,$ και $\{F\} = DI ∩ AM,$ να αποδείξετε ότι η ευθεία $MI$ διέρχεται από το μέσο του...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 5:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 344

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 α) Βρείτε όλους τους πρώτους $p, q, r$ τέτοιους ώστε $3 \nmid p+q+r$ και οι αριθμοί $p+q+r$ και $pq+qr+rp+3$ να είναι τέλεια τετράγωνα. β) Υπάρχουν πρώτοι $p, q, r$ τέτοιοι ώστε $3 \mid p+q+r$ και οι αριθμοί $p+q+r$ και $pq+qr+rp+3$ να είναι τέλεια τετράγωνα; Ισχυρισμός: Αν $\rm p,q,r$ πρώτο...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 2:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 188

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο. β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών $(A, B)$ όπου $A, B$ υποσύνολα του συνόλου $\{1, 2, ... , 5\}$ για τα οποία δεν ισχύει ούτε $A\subseteq B$ ούτε $B\subseteq A.$...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 188

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Έστω $A B C D E F$ κυρτό εξάγωνο και σημείο $P$ στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα $PABC$ και $P D E F$ να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με $PA = BC = PD = EF$ και $AB = PC = DE = PF.$ Η ευθεία $l$ διέρχεται από το μέσο του $AF$ και το περίκεντρο του τριγώνου $PCD.$ Να δείξετε ό...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Καθέτων ...γεννητούρια!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 169

Re: Καθέτων ...γεννητούρια!

Καλησπέρα σε όλους . Προς το παρόν δεν έχω "κλειδώσει" την απόδειξη του θέματος που ακολουθεί όμως... μένουμε μέσα στο περιβάλλον του :logo: , συνεπώς :) δεν πρέπει ν' ανησυχώ! 4-4 Καθέτων ..γεννητούρια.PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$, το μέσον $O$ της $BC$ και τα σημεία $L,N$ της $BC$ ώστε να είναι ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 9:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανακλώμενη εφαπτομένη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 534

Re: Ανακλώμενη εφαπτομένη

FB833=GEOMETRIA184.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC, \hat{A}=90^o$ γράφουμε το τεταρτοκύκλιο με κέντρο $A$ και ακτίνα το ύψος $AD$. Από (κατάλληλο) σημειο $P$ της υποτείνουσας $BC$ φέρουμε εφαπτομένη στο τετατροκύκλιο που "ανακλώμενη¨σε σημείο $S$ της $AB$ επανατέμνει την $BC$ στο $Q$. Δείξτε οτι : $B...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 2:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία από ισότητες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 111

Re: Παραλληλία από ισότητες

Παραλληλία από ισότητες.png $D, E$ είναι σημεία των πλευρών $AB, AC$ αντίστοιχα, τριγώνου $ABC$ για τα οποία $AD=AE$ και η $DE$ τέμνει τη διάμεσο $AM$ στο $F.$ Ορίζω τα σημεία $K$ στην $AB$ και $L$ στην $AC$ ώστε $AK=FE$ και $AL=DF.$ Να δείξετε ότι $KL||BC.$ Μια γρήγορη λύση προκύπτει από το γενικε...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 12:57 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Δύο τα τετράγωνα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 139

Re: Δύο τα τετράγωνα

Δύο τα τετράγωνα..png Το $E$ είναι τυχαίο σημείο της διαγωνίου $BD$ τετραγώνου $ABCD$ και $K, L$ είναι τα περίκεντρα των τριγώνων $AEB, AED$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι και το $AKEL$ είναι τετράγωνο. 1) Μέχρι την αλλαγή της ώρας και για οποιοδήποτε φάκελο! 2) Αν σας φαίνεται γνωστή μην σπεύσετε με π...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 1:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 208

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

Πρόβλημα 3. Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται $6$ μήλα (όχι απαραίτητα ίδιου βάρους). Η Σοφία τοποθέτησε από $3$ σε κάθε πιατέλα ζυγού ισορροπίας και ο ζυγός ισορρόπησε. Η Αλεξάνδρα τοποθέτησε τα ίδια μήλα διαφορετικά: $2$ μήλα στη μία πιατέλα και $4$ στην άλλη και ο ζυγός πάλι ισορρόπησε. Να αποδείξετε ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 12:19 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 346

Re: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Υπάρχουν ακέραιοι $x, y$ και $z$ ώστε $z^2 = (x^2 + 1)(y^2-1) + n$ αν (α) $n = 2006$ (β) $n = 2007$; (Γενικεύστε!) Για $\rm n=2006$ υπάρχουν λύσεις $\rm x=5,y=18,z=102$. Θα δείξω πως εν γένει για $\rm n\equiv 7 \pmod8$ η εξίσωση δεν έχει λύσεις(υποθέτω αυτό εννοεί το γενικεύστε ). Τα τετραγω...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 11:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 328

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι. Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται : Να λυθεί η εξίσωση $36^k - 5^m=11.$ Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι; (δεν έχω λύση) To έβαλα κ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 5:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: 7 συντρέχουν
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 100

Re: 7 συντρέχουν

Προέκυψε σε προσπάθεια λύσης άλλης (Vietnam MO 2020 P4 day 1 για οποιον ενδιαφερεται). Έστω τρίγωνο $ABC$ και $O,H$ το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι Euler των τριγώνων: $AOH, BOH, COH, AOB, AOC, BOC, ABC$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Σημείωση: Το σημείο αυτό...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 135
Προβολές: 14243

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 33: Αν $\displaystyle{a,\,b,\,c,\,d,\,e,\, f,\, g,\, h}$ είναι αναδιάταξη των $1,\,2,\,3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7,\, 8,$ ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός που μπορεί να έχει το πολυώνυμο $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-(x-e)(x-f)(x-g)(x-h)$ ; Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 11:53 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με ψηφία...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 894

Re: Με ψηφία...

Πρόδρομε, επειδή $(6,8) \neq 1$ δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Euler-Fermat για το $6^{7^8^9} \bmod 8$. Βγαίνει βέβαια άμεσα ότι $6^{7^8^9} \equiv 0 \bmod 8$. Έχετε δίκιο κύριε Δημήτρη,ευτυχώς διορθώνεται εύκολα.Υπάρχουν και άλλα λάθη στην λύση μου,τα διορθώνω.(πάντως καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 1:17 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με ψηφία...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 894

Re: Με ψηφία...

Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η $3,4,5$. Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με $2$ σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με $2$ ή $8$, άτοπο. Πολύ όμορφα κ. Δημήτρη! Ας το συνεχίσουμε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση