Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{1} \left \{ \frac{1}{x} \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \right \}\, \mathrm{d}x }$ όπου $\{ \cdot \}$ είναι το κλασματικό μέρος και $\left \lfloor \cdot \right \rfloor$ το ακέραιο μέρος. Επαναφορά, το προσπαθώ καιρό αυτό ...

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\sum_{\gcd(m,n)=1} \frac{1}{m^2 n^2} = \frac{5}{2}}$. Είναι $\displaystyle \sum_{(m,n)=1} \dfrac{1}{m^2n^2}=\sum_{n\geq 1} \dfrac{a_n}{n^2}$ όπου $a_n$ το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών $(a,b)$ με $gcd(a,b)=1$ και $ab=n$. Αν $\displaystyle n=\prod_{i=1}^k p_i^{c_i}$ τ...

Καμία ιδέα για κλειστή μορφή για το παρακάτω άθροισμα; $\sum_{p=1}^{m}(\lambda-2^p)^{\frac{3}{2}}$, όπου $m=[\frac{\log (\lambda -1)}{\log 2}]$ και $[.]$ το ακέραιο μέρος. edit: Αυτό που με ενδιαφέρει πιο πολύ είναι η τάξη μεγέθους του(ως προς $\lambda$ εννοείται). Για μεγάλα $\lambda$ το άθροισμα ...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα .

Πρόκληση: Αποφύγετε μιγαδική ανάλυση

Μπορεί κανείς να βοηθήσει στο παρακάτω; $ \int_{1}^{\lambda-2} t [ \frac{\log(\lambda - t)}{\log 2}] dt$, όπου $\lambda \geq 3$. Εδώ τα $[ .. ]$ συμβολίζουν το ακέραιο μέρος(integer part). Το χρειάζομαι στην έρευνά μου. Ευχαριστώ. Μια απόπειρα... Για ευκολία στην πληκτρολόγηση γράφω $l$ αντί $\lamb...

Η απάντηση είναι 4, Εφόσον ο Βασίλης δεν γνωρίζει αν ο αριθμός του είναι διπλάσιος της Άννας μετά το πρώτο Δε ξέρω του Βασίλη και οι δύο γνωρίζουν ότι ο Βασίλης έχει αριθμό άρτιο. Στη συνέχει η Άννα δε γνωρίζει εαν ο αριθμός της είναι διπλάσιος αυτού του Βασίλη, άρα ο Βασίλης καταλαβαίνει ότι και τη...

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι με την ακόλουθη ιδιότητα:
Υπάρχει θετικός ακέραιος και μετάθεση του συνόλου τέτοια ώστε
.

Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία τέτοια $\displaystyle{ a_0 > 0 \, , \, a_1 > 0 \, , \, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_{n-1}} \quad, \quad n \geq 1}$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}} = 1}$. Σαφώς η $(a_n)$ είναι γνησίως αύξουσα. Αθροίζοντας τις σχέσ...

Αν υπάρχει μόνο ένα μέλος να κυνηγάει τον Κόκη απλά ο Κόκης σε κάθε κίνηση του επιλέγει να βρίσκεται σε διαφορετική στήλη από αυτό το μέλος. Άρα ποτέ δεν θα καταφέρει αυτό το μέλος να πιάσει τον Κόκη. Αυτό το σημείο νομίζω χρειάζεται λίγη προσοχή, αν για παράδειγμα ο Κόκης εφαρμόσει μια στρατηγική ...

Θεωρούμε θετικό ακέραιο . Να βρεθούν όλα τα υποσύνολα των θετικών ακεραίω με την εξής ιδιότητα:
Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής
με τα να είναι ακέραιοι.

Επαναφορά, δεν είναι δύσκολη

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ \displaystyle ABC$ με $AB<AC$ και περίκεντρο $O$, ύψος $AD$ και $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Οι $AO$ και $BC$ τέμνονται στο σημείο $E$ και ο περίκυκλος του τριγώνου $ABE$ επανατέμενει την $AC$ στο σημείο $S$ και την ευθεία $SM$ στο σημείο $K$. Να δείξετε ότι $DK\perp KM$ Υ....

DreamingMaths έγραψε: ↑

Τρί Ιούλ 11, 2023 4:04 pm

Ένας γρίφος που εμπνεύστηκα χθες.
Ποιο γεωμετρικό όργανο δεν αξίζει να εμπιστεύεσαι;

Το μοιρογνωμονιο, τάχα λέει τις μοίρες

Είναι άμεσο: Τα τρίγωνα $BDF, DEC$ είναι ίσα γιατί έχουν $ZD=DC$ ως χορδές στον ίδιο κύκλο που τις βλέπουν ίσες γωνίες (εδώ $A/2$), όμοια $BD=DE$ και οι περιεχόμενες γωνίες είναι και οι δύο ίσες με $A$ (από τα εγγράψιμμα τετράπλευρα $AZDC, \, AEDB$ αντίστοιχα). Άρα $BZ=CE$. όπως θέλαμε. . Υπόψη: Στ...

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f$ $:$ $R^+$ $->$ $R^+$ ώστε: $f(xf(y))=xy-xf(x)+f(x)^2$ για κάθε $x,y>0$ Η δυσκολότερη εκδοχή της παραπάνω είναι η εξής: Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f$ $:$ $R^+$ $->$ $R^+$ ώστε: $f(xf(y+f(x)))=xy+f(x)^2$ για κάθε $x,y>0$ Ξεκινώ με την πρώτη: $P(x,y)$ η δοσμένη ...

Για το 1) Έστω $a,b$ με $a<b$ και $f(a)=f(b)$, υπάρχουν τέτοιοι αφού η $f$ δεν είναι $1-1$. Παίρνω έναν τυχαίο άρρητο $t$ από το $(a,b)$. Αν $f(t)=f(a)=f(b)$ τον αγνοώ αυτόν και παίρνω άλλο, υπάρχει το πολύ ένας $t$ με αυτή την ιδιότητα. Έστω τώρα $f(t)\neq f(a),f(b)$, θεωρώ τη συνεχή συνάρτηση $g(x...

Έστω οι ακέραιοι τέτοιοι ώστε να ισχύει η ισότητα



Να δειχθεί ότι

Επαναφορά για αυτή

Έστω τρίγωνο $ABC$ με περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$. Να βρεθούν όλα τα σημεία $X\neq A$ του επιπέδου με την ακόλουθη ιδιότητα: Για κάθε ευθεία $l$ που διέρχεται από το $X$, οι κύκλοι $(AYZ)$ όπου $Y,Z$ τα συμμετρικά σημείου $K$ που διατρέχει την $l$ ως προς τις $AB,AC$ αντίστοιχα, είναι ομοαξονικοί ...

Έστω τρίγωνο $ABC$, ο έγκυκλος κέντρου $I$ εφάπτεται των $AB,AC$ στα $X,Y$ αντίστοιχα και $K,L$ οι τομές της παράλληλης από το $I$ στην $BC$ με τις $AB,AC$ αντίστοιχα. Έστω ότι περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\Delta AKL$ εφάπτεται του εγγεγραμμένου του $ABC$. Αν ακόμη η κάθετη από το $A$ στην $...