Η αναζήτηση βρήκε 81 εγγραφές

από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Οκτ 12, 2019 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλαπλασιαστής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 97

Re: Πολλαπλασιαστής

Γειά σας! Είναι $BC=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ Με Θ. Μενελάου και διχοτόμου έχουμε $\dfrac{TC}{TB}\cdot \dfrac{DB}{DA}\cdot \dfrac{x}{SA}=1\Leftrightarrow \dfrac{TB+10}{TB}\cdot \dfrac{10}{6}\cdot \dfrac{x}{6-x}=1\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow TB=\dfrac{25x}{9-4x}$ με $x> \dfrac{9}{4}$ Τώρα είν...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Σεπ 25, 2019 7:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κριτήριο χαρταετού
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 322

Re: Κριτήριο χαρταετού

Καλησπέρα! Έστω $K,L$ οι τομές των $BC,BA$ με τις απο το $D$ παράλληλες στις $AB,BC$ αντίστοιχα. Απο τις παραλληλίες έχουμε $\widehat{KDC}=\widehat{CDB}=\widehat{ABD}/2$ και $\widehat{LDA}=\widehat{ADB}=\widehat{DBC}/2$. Με θ.διχοτόμου στα $\overset{\Delta }{DBK}$ και $\overset{\Delta }{DBL}$ έχω αν...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Σεπ 15, 2019 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 207

Re: Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης

Γειά σας κ.Νίκο! Φέρω το τμήμα $CD$. Επειδή $\widehat{ADC}=90^{\circ}$ και $AD=DF$, το τρίγωνο $AFC$ είναι ισοσκελές. Είναι $BD=AD=\dfrac{AF}{2}\Rightarrow FB\perp AC$. Έστω $H\equiv CD\cap FB$. Επειδή $CD$ μεσοκέθετος του $AF$ και διχοτόμος της $\widehat{C}$, θα είναι $HF=HA,HG=HB\,\,\,\kappa \alph...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Σεπ 15, 2019 12:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σχετιζόμενα τμήματα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 199

Re: Σχετιζόμενα τμήματα

Καλημέρα! Φέρω την διαγώνιο $AC$ του τετραγώνου που τέμνει την $DB$ στο $O$. Με θ.Μενελάου στο τρίγωνο $DCB$ διατέμνουσας $TMP$, έχω: $\dfrac{PD}{PB}\cdot \dfrac{TC}{TD}=1\Leftrightarrow \dfrac{TC}{TD}=\dfrac{PB}{PD}\Leftrightarrow \dfrac{x}{a+x}=\dfrac{PS}{PC}\,\,\,(1)$ Με θ.Μενελάου στο τρίγωνο $A...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Σεπ 07, 2019 4:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 368

Re: Παραλληλία

Χαίρετε! Έστω $L\equiv PC\cap BD$ Με Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $AOB$ διατέμνουσας $CNP$ έχω : $\dfrac{NA}{NB}\cdot \dfrac{LB}{LO} \cdot \dfrac{CO}{CA}=1\Leftrightarrow \dfrac{NA}{NB}\cdot \dfrac{OB}{LO}=2\Leftrightarrow \dfrac{NA}{NB}=2\cdot \dfrac{LO}{LB}$(1) Με Θ.διχοτόμου στο τρίγωνο $APC$ έχω: $\d...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Αύγ 22, 2019 10:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τρίγωνο-122.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 433

Re: Τρίγωνο-122.

Καλησπέρα! Απο την πρόταση $KARKAR$ ;) (βλέπε εδώ ), έχουμε : $AC^{2}=AB^{2}+AB\cdot BC=100+220=320\Leftrightarrow AC=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$ Απο Ήρωνα τώρα έχουμε $\left ( ABC \right ) = \left (\left ( 16+4\sqrt{5}\left \right )\left ( 6+4\sqrt{5} \right )\left ( 4\sqrt{5}-6 \right )\left ( 16-4\sqrt...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Αύγ 22, 2019 10:01 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία και πλευρά
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 331

Re: Γωνία και πλευρά

Χαιρετώ! Παρόμοια με του κυρίου Γιώργου. Φέρω το ύψος $AD$ του τριγώνου $ABC$. Το τρίγωνο $ABD$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε $AB=\sqrt{2}\cdot \dfrac{a+2}{2}$. Με Θ.Stewart στο τρίγωνο $ABC$ έχω: $x^{2}+a+4a+4 =3a^{2}+6\Leftrightarrow x^{2}=2a^{2}-4a+2$ Στο τρίγωνο $ASD$ είναι $\dfrac{\dfrac...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιούλ 27, 2019 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα σε τετράγωνο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 246

Re: Καθετότητα σε τετράγωνο

Καλησπέρα! Έστω $L$ και $N$ οι ορθές προβολές του $P$ στις $BC$ και $AB$ αντίστοιχα και θέτω $LB=x$ και $NB=y$. Με πυθαγόρειο στα τρίγωνα $PBL, PCL , APN$ και $PLB$, αντίστοιχα έχω: $\bullet \,\,\,\,x^{2}=9-y^{2}\,\,\,\,\,(1)$ $\bullet \,\,\,\,\,y^{2}=49-(a-x)^{2}\,\,\,\,(2)$ $\bullet \,\,\,\,x^{2}=...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιούλ 26, 2019 10:27 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αναμενόμενα αποτελέσματα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 245

Re: Αναμενόμενα αποτελέσματα

Καλημέρα! Θέτω $AD=x$, οπότε $BD=x+1$. Με θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC$ έχουμε $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{AB}{AC}\Leftrightarrow AB=AC\left ( x+1 \right )$ Είναι $\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC(x+1)}{x+2}$. Ακόμη $\cos\widehat{B}=sin\widehat{C}=\dfrac{\sqrt{2}x}{2}$, οπότε πέρνουμε $\dfr...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Ιούλ 25, 2019 12:20 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ζητείται λόγος-3.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 230

Re: Ζητείται λόγος-3.

Μία τριγωνομετρική. Με γενικευμένο θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC$ έχουμε: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3a\cdot \sin 3\vartheta }{a\cdot \sin} =\dfrac{3\cdot \sin( 3\vartheta ) }{\sin\vartheta }=\dfrac{3(3\sin\vartheta - 4\sin^{3}\vartheta ) }{\sin\vartheta} =9-12\sin^{2} \,\,\,(1)$ Με νόμο ημιτόνων τ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιούλ 19, 2019 10:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Στην ίδια γραμμή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 242

Re: Στην ίδια γραμμή

Καλησπέρα! Το τετράπλευρο $ADHE$ είναι εγγράψιμο, οπότε έχουμε $\widehat{BHC}=180-60=120^{\circ}$. Ακόμη $\widehat{BOC}=120^{\circ}$, οπότε το τετράπλευρο $BHOC$ είναι εγγράψιμο. Είναι $\widehat{BKC}=180-\dfrac{\widehat{B}}{2}-\dfrac{\widehat{C}}{2}=180-\left ( \dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2} \ri...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Ιούλ 18, 2019 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ζητούνται δύο λόγοι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 521

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

Σας ευχαριστούμε απο καρδιάς για τις ευχές και τα καλά σας λόγια. Ευχαριστούμε ακόμη εσάς, και όλο το :logo:, για την ουσιαστική βοήθεια που μας προσφέρετε όλον αυτόν τον καιρό, μέσα από τις ασκήσεις και τις παρατηρήσεις σας. Ευχόμαστε να είστε υγιείς και να συνεχίσετε :). Με εκτίμηση, Θεοδόσιος και...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Ιούλ 16, 2019 12:15 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία εφαπτομένη ( Β ΛΥΚΕΙΟΥ )
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 301

Re: Μία εφαπτομένη ( Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

Μία εφαπτομένη.pngΠροεκτείνοντας το σκέλος $AC$ , ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κατά τμήμα $CS=\dfrac{AC}{2}$ , προκύπτει το ορθογώνιο τρίγωνο $ABS$ . Υπολογίστε την : $\tan\hat{C}$ , μέχρι και τις $ 17/7 $ . Καλημέρα! Φέρω το ύψος στην $BC$ του ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ που τέμνει την ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιούλ 15, 2019 9:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Οι δύο γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 505

Re: Οι δύο γωνίες τριγώνου

Καλησπέρα! Απο το $B$ φέρω $BL\perp AH \,\,\, \kappa \alpha \iota \,\,\,BK\perp AC$ που τέμνονται στο $H$, ενώ $P\equiv BL\cap AC$. Τώρα έχουμε τις γωνίες $\widehat{KBA}=45^{\circ}\,\,,\,\widehat{LBK}=30^{\circ}\,\,\left ( ABLK\,\, \epsilon \gamma \gamma\rho \alpha \right\psi \iota \mu o )\,\,\,\kap...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιούλ 13, 2019 12:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 483

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

Χαίρετε. Αλέξανδρε,Θεοδόση,Στάθη,Μιχάλη,Γιώργο και Γιάννη σας ευχαριστώ για τις ωραίες και ποικίλες λύσεις σας! Ας δούμε και μια γενίκευση του θέματος. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με $\widehat{A}=90^{0}$ είναι $tanB=x$ , η $BM$ διάμεσος και $P \in BC$ ώστε $PC=yBP$. Να εκφραστεί το $y$ , ως συνάρτη...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιούλ 12, 2019 11:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 380

Re: Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων.

Χαίρετε! Το τετράπλευρο $OKEB$ είναι εγγράψιμο, οπότε $\widehat{OKE}=\widehat{OBK}=\widehat{A\Delta B}=\widehat{OA\Delta }$. Στο ισοσκελές τρίγωνο $OE\Gamma$ έχουμε $\widehat{KEO}=\widehat{K\Gamma O}\Leftrightarrow \widehat{KE\Gamma }=\widehat{K\Gamma E}\Leftrightarrow KE=K\Gamma$.Το τετράπλευρο $AM...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιούλ 12, 2019 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 483

Re: Η μια καθετότητα φέρνει την άλλη

Γειά σας ! Θέτω $AB=x$ , οπότε $AM=MC=2x$ και έστω $T$ η τομή των $AP$ και $MB$. Με θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $BMC$ με διατέμνουσα την $\overline{ATP}$ , έχω $\dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{AC}{AM}\cdot \dfrac{TM}{TB}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}\cdot 2\cdot \dfrac{TM}{TB}=1\Leftrightarrow \dfrac{TM...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιούλ 10, 2019 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ζητούνται δύο λόγοι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 521

Re: Ζητούνται δύο λόγοι

Καλησπέρα! α) Έστω $L$ και $P$ τα σημεία τομής της $DB$ με τις $EA$ και $CN$ αντίστοιχα. Έχουμε $ED=BN=a$ και $EC=AN=b$, με $\dfrac{a}{b}=\phi$ Φέρω το τμήμα $EB\parallel DF$ και την διαγώνιο $BD$, οπότε έχουμε $\left ( EDB \right )=\left ( EFB \right )\Leftrightarrow \left ( EDL \right )=\left ( LF...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιούλ 06, 2019 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γλυκιά καθετότητα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 835

Re: Γλυκιά καθετότητα

Και μία ακόμα!
Έστω K και L τα μέσα των AD και AB, θα έχω KL=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{AC}{2}=LM. Ακόμη AK=AM, οπότε στο ισοσκελές τρίγωνο KLM θα είναι LA διάμεσος, άρα και ύψος.

Γλυκιά καθετότητα 2.PNG
Γλυκιά καθετότητα 2.PNG (21.67 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιούλ 06, 2019 8:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γλυκιά καθετότητα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 835

Re: Γλυκιά καθετότητα

Καλησπέρα!
Στο τρίγωνο BDC έχουμε BM διάμεσος και AD=2AM, άρα A βαρύκεντρο. Φέρω την διάμεσο CN και έχω AN=2AC=BD, δηλαδή το τρίγωνο ABD είναι ορθογώνιο με την \widehat{A} ορθή, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Γλυκιά καθετότητα.PNG
Γλυκιά καθετότητα.PNG (18.39 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση