Η αναζήτηση βρήκε 128 εγγραφές

από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιούλ 05, 2020 7:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 468

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Καλησπέρα! Λίγο βιαστικά... Θέτω $G$ το βαρύκεντρο του $ABC$, και $u_1,u_2,u_3$ τα ύψη των τριγώνων $BKL, GKL, GAC$. Είναι $KL\parallel AC$. Έχω τις σχέσεις: $\bullet \,\, \dfrac{(GAC)}{(KGL)}=\left (\dfrac{GA}{GK} \right )^{2}\Leftrightarrow (GAC)=16\cdot (KGL)\,\,(1)$ $\bullet \,\,\dfrac{(GKL)}{(L...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 1:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα και ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 192

Re: Καθετότητα και ισότητα

Καλό μεσημέρι, Όμορφη άσκηση :) Για το β) Απο το γενικευμένο θ.διχοτόμου, στο τρίγωνο $ABC$ έχω: $\dfrac{\sin \widehat{BAM}\cdot AB}{\sin \widehat{MAC}\cdot AC}=\dfrac{MB}{MC}\Leftrightarrow \dfrac{\sin \widehat{BAM}}{\cos BAM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \tan \widehat{BAM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \wide...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιουν 17, 2020 2:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Κλασματική ανίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 309

Re: Κλασματική ανίσωση

Καλό μεσημέρι. Αρχικά πρέπει $x^{2}\neq 1,\, x^2<1\Leftrightarrow-1< x<1\,\,(1)$. $\dfrac{1}{1-x^{2}}>\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}-1\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}}>3x\,(2)$. Η (2) ισχύει για κάθε $1<x\leq 0$. Για $0<x<1$, θέτω $1-x^{2}=a^{2}\,(3)$ Η $(2)$ τώρα γίνεται: $a+\dfr...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιουν 14, 2020 1:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη διχοτόμος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 166

Re: Μέγιστη διχοτόμος

Γεια σας κ.Γιώργο :) Για την κατασκευή του $C$: Θα είναι $\omega =\widehat{ABC}=\dfrac{\widehat{AOC}}{2}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}$. Όμως $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^{\circ}\Leftrightarrow 3\omega= 180^{\circ}\Leftrightarrow \omega =60^{\circ}$. Έτσι λοιπόν $C\equiv (O,R)\cap (B,BO)$. Απο το $O$...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Μάιος 23, 2020 7:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα επι κύκλου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 319

Re: Καθετότητα επι κύκλου

Κύριε Νίκο ευχαριστώ για την λύση σας :) Γράφω την δική μου σκέψη: Έστω $G$ και $F$ οι τομές της $SN$ με τον $(C).$ Το $N$ είναι εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των $(O)$ και $(C)$, έτσι τα $T$ και $F$ θα είναι αντιδιαμετρικά (ως εικόνες των $S'$ και $S$ αντίστοιχα) κι επομένως $\widehat{FGT}=90^{\circ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Μάιος 20, 2020 4:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα επι κύκλου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 319

Καθετότητα επι κύκλου

Με αφορμή την άσκηση του κ.Νίκου εδώ . Καθετότητα επι κύκλου.png Έστω oι κύκλοι $(O)$ και $(C)$, με διαμέτρους $AC=3k$ και $BD=2k$ αντίστοιχα. Θέτω $E$ την μία τομή των κύκλων και $S\equiv DE\cap(O)$. Απο το $S$ φέρω την εφαπτόμενη $ST$ του $(C)$. Aν $S'$ είναι το αντιδιαμετρικό του $S$ και $N\equiv...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Μάιος 20, 2020 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Διπλή Επαφή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 186

Re: Διπλή Επαφή

Καλό μεσημέρι i) Είναι $\widehat{SAC}=\widehat{CED}=\widehat{CDE}$, έτσι το τρίγωνο $SAD$ είναι ισοσκελές και η $SB$ είναι διάμεσος, άρα και ύψος, δηλαδή $SB\perp AD$. Τώρα απο τα εφαπτόμενα τμήματα $SB$ και $ST$ προκύπτει $ \widehat{CST}=\widehat{CBT}\overset{BT\parallel AS}{=\!=\!=} \widehat{CAS} ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Μάιος 01, 2020 1:34 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ο Ρενέ αμφιβάλλει..
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 307

Re: Ο Ρενέ αμφιβάλλει..

Καλό μήνα σε όλους! Έστω $A$ το σύνολο των ανθρώπων της πόλης και $B,C$ τα σύνολα αυτών που έχουν και δεν έχουν ανοσία αντίστοιχα. Έχουμε: $N(B)=\dfrac{2}{100}\cdot N(A)$, $N(C)=\dfrac{98}{100}\cdot N(a)$ Το τεστ έδειξε πως ο Ρενέ έχει ανοσία, οπότε θα ανήκει είτε στο $90$% αυτών που αληθώς έχουν αν...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Απρ 09, 2020 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Βρείτε την υποτείνουσα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 251

Re: Βρείτε την υποτείνουσα

Καλό μεσημέρι! Έστω $L$ το μέσο του $AC$ και $D\equiv AC\cap NE$. i) Στο ισοσκελές τρίγωνο $ABL$ έχουμε $AD$ διχοτόμος, άρα και ύψος και διάμεσος, απο όπου προκύπτει ότι το τετράπλευρο $ABNL$ είναι χαρταετός και η $\widehat{BNL}$ διχοτομείται απο την $AN$. Άμεσα έπεται ότι $AB=AE$. ii) Το τετράπλευρ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Απρ 08, 2020 6:08 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ρίζες σε γινόμενα.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 406

Re: Ρίζες σε γινόμενα.

Γεια σας,
Μάλλον μπερδεύει το γεγονός ότι δεν υπάρχει παρένθεση, κι έτσι θα μπορούσε κάποιος να πει εσφαλμένα \displaystyle 9\sqrt 3  \div 3\sqrt 3=\dfrac{\displaystyle 9\sqrt 3}{ 3\sqrt 3}=3.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Απρ 07, 2020 2:45 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Κι εδώ γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 237

Re: Κι εδώ γωνίες τριγώνου

Έστω $T$ το συμμετρικό του $B$ ως προς το $A$ και $O,D$ οι τομές της κάθετης απο το $M$ προς την $BC$, με τις $AC$, $TC$ αντίστοιχα. Θα δείξω ότι το $O$ είναι περίκεντρο του τριγώνου $TBC$. Αρχικά, έχουμε ότι $AM\parallel TC$, έτσι $\widehat{DBC}=\widehat{DCB}=\widehat{AMB}=45^{\circ}\Leftrightarrow...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 427

Re: Γωνίες τριγώνου

Αποσύρω την λύση μου γιατί έχει λάθος. Όταν βρώ χρόνο θα ερευνήσω για το εαν σώζεται.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Πέμ Απρ 02, 2020 10:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αριθμητικός γεωμετρικός μέσος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 163

Re: Αριθμητικός γεωμετρικός μέσος

Καλησπέρα. Έστω $A'\equiv AT\cap (O),TA=TA'$ και $L\equiv BS\equiv (O)$ και $D\equiv OS\cap (O)$ . Είναι $\widehat{BLC}=\dfrac{\widehat{BOC}}{2}=\dfrac{\widehat{BSC}}{2}\Leftrightarrow \widehat{BLC} =\widehat{LCS}=\varphi$, οπότε προκύπτει $BS+SC=BL$ και $OS\perp CL$ Άρα τώρα, στο ισοσκελές τραπέζιο...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Μαρ 28, 2020 11:30 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Έγκεντρο και βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 354

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Καλημέρα σε όλους. Μπράβο Θεοδόση , ωραία αντιμετώπιση! Μόνο στο τέλος είναι $c=2(6+1,5)=15$ οπότε η περίμετρος του τριγώνου είναι $36$. Μπορούμε, πριν θέσουμε τιμές, να βρούμε ότι $2a=b+c$ και κατά συνέπεια η περίμετρος είναι $3a$.. Φιλικά, Γιώργος. Ευχαριστώ κύριε Γιώργο, το διόρθωσα. Ισχύει και ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Μαρ 27, 2020 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Έγκεντρο και βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 354

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Γεια σας κ.Γιώργο :) i) Είναι, $GI\parallel BC\Leftrightarrow \dfrac{IA}{ID}=2\Leftrightarrow \dfrac{CA}{CD}=2\Leftrightarrow \dfrac{2\cdot CN}{CD}=2\Leftrightarrow CN=CD$. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκω $BD=BM$. Στα ισοσκελή τρίγωνα $CDN$ και $BMD$, οι $CP$ και $BE$ είναι διχοτόμοι, άρα και ύψη, δηλαδή $...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Μαρ 25, 2020 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μέσο ανάλογο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 234

Re: Μέσο ανάλογο

:coolspeak: Υπολογιστικά πήγα με θ.Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ABEC και κατέληξα, ύστερα απο πράξεις στην δευτεροβάθμια:2aBD^2-BD(2a^2+c^2-b^2)+c^2a=0. Εντάξει, όχι και τόσο όμορφη αλλά δευτεροβάθμια.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Μαρ 25, 2020 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μέσο ανάλογο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 234

Re: Μέσο ανάλογο

Καλημέρα Κατασκευή: Έστω $O$ το κέτρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$και $H$ η προβολή του στην $AB$. Φέρνω τον περίκυκλο του τριγώνου $AHO$ και θεωρώ $D_{1}$ και $D_2$ τα σημεία που τέμνει την $BC$. Αν $E_{1},E_{2}\equiv AD_{1},AD_{2}\cap (O,OA)$, τότε απο τα εγγράψιμα $ABE_1C$ και $A...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Μαρ 24, 2020 12:56 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τρίγωνο και ...πανσέληνος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 429

Re: Τρίγωνο και ...πανσέληνος

Γεια σας κι απο εμένα! Φέρω την διχοτόμο της $\widehat{C_{\epsilon \xi }}$ η οποία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο $D$.Θέτω $CD=x$. Στο ισοσκελές τραπέζιο $ABCD$ που δημιουργείται με θ.Πτολεμαίου έχω:$AD\cdot BC+AB\cdot DC=AC\cdot DB\Leftrightarrow 2\cdot (1+\sqrt{3})+x^{2}=\left (1+\sqrt{3} \ri...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Μαρ 23, 2020 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 601

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι

Καλό μεσημέρι! Για το 3. Απο γνωστή πρόταση για τους ποδικούς κύκλους, αρκεί, για να ανήκει το $H$ στον $(A_1,B_1,C_1)$, τα σημεία $P$ και $O$ να είναι ισογώνια συζυγή, το οποίο όμως ισχύει αφού $\angle C_1AO=\angle C_1B_1O=\angle PAC $ και ομοίως $\angle CBO= A_1C_1O= \angle ABP$. Η απόδειξη τώρα ο...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Μαρ 20, 2020 3:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετραπλάσια υποτείνουσα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 196

Re: Τετραπλάσια υποτείνουσα

Χαιρετώ! Φέρω την διχοτόμο $AK$ της γωνίας $\widehat{BAM}$ και με θ.διχοτόμου έχω: $\dfrac{KB}{KM}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow KM=2KB=2(2c-KM)=4c-2KM\Leftrightarrow KM=\dfrac{4}{3}\cdot c=\dfrac{2}{3}\cdot MC$. Όμως είναι και $AS=\dfrac{2}{3}\cdot SC$, άρα είναι $AK\parallel SM\Leftrightarrow \varth...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση