Η αναζήτηση βρήκε 115 εγγραφές

από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Μαρ 28, 2020 11:30 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Έγκεντρο και βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 209

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Καλημέρα σε όλους. Μπράβο Θεοδόση , ωραία αντιμετώπιση! Μόνο στο τέλος είναι $c=2(6+1,5)=15$ οπότε η περίμετρος του τριγώνου είναι $36$. Μπορούμε, πριν θέσουμε τιμές, να βρούμε ότι $2a=b+c$ και κατά συνέπεια η περίμετρος είναι $3a$.. Φιλικά, Γιώργος. Ευχαριστώ κύριε Γιώργο, το διόρθωσα. Ισχύει και ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Μαρ 27, 2020 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Έγκεντρο και βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 209

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Γεια σας κ.Γιώργο :) i) Είναι, $GI\parallel BC\Leftrightarrow \dfrac{IA}{ID}=2\Leftrightarrow \dfrac{CA}{CD}=2\Leftrightarrow \dfrac{2\cdot CN}{CD}=2\Leftrightarrow CN=CD$. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκω $BD=BM$. Στα ισοσκελή τρίγωνα $CDN$ και $BMD$, οι $CP$ και $BE$ είναι διχοτόμοι, άρα και ύψη, δηλαδή $...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Μαρ 25, 2020 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μέσο ανάλογο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 184

Re: Μέσο ανάλογο

:coolspeak: Υπολογιστικά πήγα με θ.Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ABEC και κατέληξα, ύστερα απο πράξεις στην δευτεροβάθμια:2aBD^2-BD(2a^2+c^2-b^2)+c^2a=0. Εντάξει, όχι και τόσο όμορφη αλλά δευτεροβάθμια.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Μαρ 25, 2020 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μέσο ανάλογο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 184

Re: Μέσο ανάλογο

Καλημέρα Κατασκευή: Έστω $O$ το κέτρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$και $H$ η προβολή του στην $AB$. Φέρνω τον περίκυκλο του τριγώνου $AHO$ και θεωρώ $D_{1}$ και $D_2$ τα σημεία που τέμνει την $BC$. Αν $E_{1},E_{2}\equiv AD_{1},AD_{2}\cap (O,OA)$, τότε απο τα εγγράψιμα $ABE_1C$ και $A...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τρί Μαρ 24, 2020 12:56 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τρίγωνο και ...πανσέληνος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 181

Re: Τρίγωνο και ...πανσέληνος

Γεια σας κι απο εμένα! Φέρω την διχοτόμο της $\widehat{C_{\epsilon \xi }}$ η οποία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο $D$.Θέτω $CD=x$. Στο ισοσκελές τραπέζιο $ABCD$ που δημιουργείται με θ.Πτολεμαίου έχω:$AD\cdot BC+AB\cdot DC=AC\cdot DB\Leftrightarrow 2\cdot (1+\sqrt{3})+x^{2}=\left (1+\sqrt{3} \ri...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Μαρ 23, 2020 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 404

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι

Καλό μεσημέρι! Για το 3. Απο γνωστή πρόταση για τους ποδικούς κύκλους, αρκεί, για να ανήκει το $H$ στον $(A_1,B_1,C_1)$, τα σημεία $P$ και $O$ να είναι ισογώνια συζυγή, το οποίο όμως ισχύει αφού $\angle C_1AO=\angle C_1B_1O=\angle PAC $ και ομοίως $\angle CBO= A_1C_1O= \angle ABP$. Η απόδειξη τώρα ο...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Μαρ 20, 2020 3:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τετραπλάσια υποτείνουσα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 145

Re: Τετραπλάσια υποτείνουσα

Χαιρετώ! Φέρω την διχοτόμο $AK$ της γωνίας $\widehat{BAM}$ και με θ.διχοτόμου έχω: $\dfrac{KB}{KM}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow KM=2KB=2(2c-KM)=4c-2KM\Leftrightarrow KM=\dfrac{4}{3}\cdot c=\dfrac{2}{3}\cdot MC$. Όμως είναι και $AS=\dfrac{2}{3}\cdot SC$, άρα είναι $AK\parallel SM\Leftrightarrow \varth...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Φεβ 29, 2020 2:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τεθλασμένη και κλειστή
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 204

Re: Τεθλασμένη και κλειστή

Με Π.θ στο τρίγωνο $LKM$ είναι $LM=5$. Θέτω $\widehat{KML}=\varphi$. Είναι $\cos \widehat{BML}=\cos(\varphi +\dfrac{\pi }{2})=\cos\varphi \cdot \cos\dfrac{\pi }{2}-\sin\varphi \cdot \sin\dfrac{\pi }{2}=-\dfrac{3}{5}$ Τώρα απο τον ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο $BML$ έχω: $BL^{2}=50-2\cdot 25\cdot \left (...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Παρ Ιαν 31, 2020 3:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σχετικό και απόλυτο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 274

Re: Σχετικό και απόλυτο

Χαιρετώ! α) Έστω $C''$ το συμμετρικό του $C'$, ως προς το $M$. Είναι $\widehat{C''BB'}=180^{\circ}-\widehat{C''BA}=\widehat{A}$. Τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο $C''BB'$ με νόμο συνημιτόνων έχω: $4m^{2}=2b^{2}-2d^{2}\cdot \left ( -\dfrac{3}{5} \right )\Leftrightarrow 20m^{2}=10d^{2}+16d^{2}\Leftrightarro...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιαν 29, 2020 12:35 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 31
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 154

Re: Μεγάλες κατασκευές 31

Καλό βράδυ σε όλους. Ενδεχομένως βγαίνει και συντομότερα... Με θεώρημα Μενελάου: $\bullet$ Στο τρίγωνο $ACT$ διατέμνουσας $\overline{BPO}$ έχω: $\dfrac{OA}{OC}\cdot \dfrac{BC}{BT}\cdot \dfrac{PT}{PA}=1\Leftrightarrow \dfrac{PT}{PA}\cdot \dfrac{BT}{BC}\Leftrightarrow \dfrac{PT}{TS}=\dfrac{BT}{BC}\,\,...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιαν 26, 2020 3:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 261

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Καλησπέρα! Έστω $H'$ το συμμετρικό του $H$ ως προς την $AB$, που ως γνωστόν ανήκει στον περίκυκλο του $ABC$. Είναι $\widehat{H'XA}=\widehat{AXY}=\widehat{AYX}$, δηλαδή η $H'X$ είναι εφαπτόμενη του $\left ( A,X,Y \right )$ στο $X$, άρα τα $Z,X,H'$ είναι συνευθειακά. Τώρα είναι $\widehat{H'ZA}=90^{\ci...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιαν 25, 2020 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μία γωνία
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 208

Re: Μία γωνία

Καλησπέρα! Θέτω $MC=x$ και $BL=y$, όπου $L$ η προβολή του $A$ στην $BC$. Στο ορθογώνιο $ALM$ είναι $\widehat{AML}=60^{\circ}$ , οπότε $\dfrac{LA}{LM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{3x-y}{2x-y}=\sqrt{3}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=\dfrac{y\left ( \sqrt{3}-1 \right )}{2\sqrt{3}-3}=\dfrac{\left...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Ιαν 25, 2020 12:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ισογώνιες ευθείες
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 233

Re: Ισογώνιες ευθείες

Καλημέρα! Απο Steiner στο $ABC$ έχω : $\dfrac{KB}{KC}\cdot \dfrac{LB}{LC}=\left ( \dfrac{AB}{AC} \right )^{2}\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KC}\cdot\dfrac{L'C}{L'B}=\left ( \dfrac{AB}{AC} \right )^{2}$(1) Απο γνωστό λήμμα $\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{AB}{AC}\cdot \dfrac{EB}{EC}\Leftrightarrow \dfrac{AB}{AC}=\...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δευ Ιαν 20, 2020 7:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 7450

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Αν και κάπως αργοπορημένα, εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους όσους έδωσαν! Η λύση μου (κάπως πιο βελτιωμένη βέβαια) στο 4o προόβλημα της Β Λυκείου. Έστω $E'$ το αντιδιαμμετρικό του $B$ στον $c(O,R)$. Αρκεί να δείξω ότι $E'\equiv E$, δηλαδή ότι $\Delta E'=D\Gamma$. Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγων...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:03 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 30
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 99

Re: Μεγάλες κατασκευές 30

Καλησπέρα! Κατασκευάζω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $KMC$. Το ζητούμενο σημείο $A$ θα ανήκει στον περίκυκλο του $KMC$. Ο κύκλος με διάμετρο $BC$ τέμνει τον $(K,M,C)$ στο $K$, έτσι για να ισχύει $AM<a/2$ πρέπει το $A$ να κινείται στο εσωτερικο του $(M,MC)$, δηλαδή στο τόξο $\overset{\frown }{KC}$ ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Ιαν 05, 2020 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Συντομία , όχι ταχύτητα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 381

Re: Συντομία , όχι ταχύτητα

Με πρόλαβε ο κ.Στάθης! το αφήνω για τον κόπο... Φέρω το ύψος $AD$. Θα είναι $(ABC)=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=126\Leftrightarrow BC=\dfrac{252}{AD}(1)$ Απο 2ο θεώρημα διαμέσων έχω $AC^{2}-AB^{2}=2\cdot BC\cdot DM\Leftrightarrow 400-169=2\cdot BC\cdot DM\overset{(1)}{\Leftrightarrow} 231=2\cdot \dfrac{252...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιαν 01, 2020 12:04 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Έγκεντρο και βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 166

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Καλή σας χρονιά κ.Γιώργο! Φέρω την διχοτόμο $AD$. Με θ.διχοτόμου στο τρίγωνο $ABD$ έχω $BD=\dfrac{ac}{b+c}=\dfrac{ac}{2a}=\dfrac{c}{2}=\dfrac{BH}{2}$, δηλαδή η $AD$ είναι διάμεσος στο τρίγωνο $ABH$ Επειδή τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο $ABH$ η $BI$ είναι και διάμεσος ,το $I$ θα είναι βαρύκεντρο στο τρίγ...
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 233

Ίσα τμήματα

198.PNG
198.PNG (23.18 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο ABC με b+c=2a. Αν I το έκκεντρο του ABC και M το μέσο του τόξου \overset{\frown }{BC} που δεν περιέχει το A να δείξετε ότι AI=BM.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Κυρ Δεκ 29, 2019 3:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Νέο ισόπλευρο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 112

Re: Νέο ισόπλευρο

Γεια σας και καλές γιορτές! Είναι $\widehat{ADH}=\widehat{ABH}=\widehat{ACE}$. Τώρα είναι $\widehat{HDC}=\widehat{HDA}+\widehat{ADC}=\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=90^{\circ}\Rightarrow EC\parallel HD\Rightarrow \widehat{BHD}=\widehat{BEC}=\widehat{BAC}=60^{\circ}$ οπότε το τρίγωνο $BHD$ είναι ισόπλευρο.
από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Σάβ Δεκ 14, 2019 5:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλικός παρα-λογισμός
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 162

Re: Κυκλικός παρα-λογισμός

Γεία σας! Δουλεύω στο σχήμα του κ.Γιώργου. Έστω $\widehat{PAS}=\widehat{\omega }$ Είναι $\widehat{PAT}=\widehat{ABT}\overset{\overset{\Delta }{APS}=\overset{\Delta }{BPS}}{=}\widehat{QBS}=\widehat{SAQ}=\widehat{\omega }$ Τώρα είναι $\widehat{APQ}=2\cdot \widehat{\omega }=\widehat{PAQ}$, δηλαδή το τρ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση