Πρόβλημα 2(Μεγάλων) $A=\binom{4n}{2n}\frac{(2n)!}{n!}$ , όπου $\frac{(2n)!}{n!}=(n+1)*(n+2)....*2n$ Εύκολα προκύπτει λοιπόν ότι ο αριθμός $A$ είναι ακέραιος Ισχύει ότι: $\frac{(2n)!}{n!}=2(2n-1)\frac{[2(n-1)]!}{(n-1)!}$ Όμοια $\frac{[2(n-1)]!}{(n-1)!}=2(2n-3)\frac{[2(n-2)!]}{(n-2)!}$ Έτσι προκύπτει ...

Πρόβλημα 1(Μεγάλων) Έστω $degP(x)=n\geq 1$ και $degQ(x)=m\geq 1$ Θέτω $S(x)=P(Q^{3}(x))$ και $R(x)=xP(x)Q^{3}(x)$ Αφού $S(x)=R(x)$ τότε και οι βαθμοί:$3mn$ και $n+1+3m$ των πολυώνυμων $S$ και $R$ αντίστοιχα είναι ίσοι $3mn=n+1+3m \Rightarrow 3m=\frac{n+1}{n-1}$ με $n\neq 1$ Αν $n$ περιττός τότε $n+1...

Θέματα μεγάλων 3)Θέτοντας στην αρχική σχέση (1)$x=y=0$ προκύπτει ότι $g(0)=f(-3f(0))$ Αν $x=0$ τότε $f(-3f(y))=-yf(0)+g(0)$(2) Αν $y=0$ τότε $f(x-3f(0))=xf(0)+g(x)$ Έστω $k=3f(0)$ Οποτε $f(x-k)=xf(0)+g(x)$(3) Θέτω στην αρχική $x=y$: $f(x-3f(x))=g(x)$(4) Έστω $h(x)=f(-3f(x))=-xf(0)+g(0)$ για κάθε πρ...

Πολλά,παρά πολλά,συγχαρητήρια στην ελληνική αποστολή!Παρά τις ιδιαιτερότητες της φετινής χρονιάς και της μεγάλης δυσκολίας των θεμάτων(πολλή συνδυαστική έπεσε,έλεος),τα πήγατε περίφημα.Μπράβο παιδιά,και εις ανώτερα!

2)I)Θέτω $y=x^{n}$ και $I=\int_{0}^{1}\(\frac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1})^{n}dx$ $dy=(\sqrt[n]{x}){}'dx$ ή $dx=\frac{ndy }{y^{1-n}}$ $x=1\rightarrow y=1 /x=0\rightarrow y=0$ Οποτε $I=\int_{0}^{1}(\frac{k}{y+k-1})^{n}\frac{ndy}{y^{1-n}}dy$ ή $I=nk^{n}\int_{0}^{1}(\frac{y}{y+k-1})^{n-1}\frac{dy}{y+k-1}$ Θέτω...

Καλησπέρα, διαβάζω ότι πρέπει να γράψω σε Latex, δεν έχω μάθει ακόμα τι είναι αλλά θα το προσπαθήσω. Μπορεί να βοηθήσει κάποιος στην παρακάτω ερώτηση για το Γ4 στα νέα θέματα; Ποιο είναι το λάθος αν θεωρήσω το $M(a,y)$ και $B(x_b , 0)$ άρα $M(a(t),y(t))$ επομένως $y(t)=\frac{1}{1-a(t)}=>y^\prime(t)...

Ωραία τα φετινά θέματα και κλιμακούμενης δυσκολίας Το θέμα Α απλό(θεωρία) Θέμα Β βατό απλά είχε πολλές πράξεις και εύκολα μπορούσε κάποιος να μπερδευτεί Ήταν όντως ίδιο με το θέμα Β του 2017(με εξαίρεση το Β4) Το Θέμα Γ είχε κι αυτό πολλές πράξεις αλλά μέχρι το Γ3 τα υπο ερωτήματα έβγαιναν εύκολα Γ4...

Έστω $P(x)=a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$ ,$degP(x)=n$ Τοτε $P(P(x))=a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}$ Έστω ακόμη πολυωνυμο $Q$ με $degQ(x)=m$ τέτοιο ώστε: $P(P(x))=(b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0})^{2}\Rightarrow a_{n}P^{n}(x)+a_{...

Αφού γράψεις το $P(x)$ ως $a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$,όπου τα $k_{i}$ δηλώνουν τις πολλαπλότητες των (μιγαδικών) ριζών,η εξίσωση γίνεται $a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}=Q(x)^2$. Υπόθεσε προς άτοπο πως υπάρχει $k_{j}$ με $k_{j} \equiv 1...

Μπορεί κάποιος να δώσει μια υπόδειξη για αυτήν την άσκηση;Την προσπαθώ μερες...

Από ανισότητα $Holder$: $S\leq (ab+bc+ca)^{\frac{1}{3}}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{\frac{2}{3}}$ ή $S\leq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}+\sqrt{b+a})^{2}}$(1) Έστω $A=(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+a}+\sqrt{a+b})^{2}$ τοτε $A=2(a+b+c)+2\sqrt{(a+c)(b+a)}+2\sqrt{(a+c)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}$ ...

Από ανισότητα :

ή

(1)

Έστω

τοτε

Από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:

Έστω $A=abc(a^{3}-b^{3})(b^{3}-c^{3})(c^{3}-a^{3})$ Αν κάποιος από τους a,b,c διαιρείται με το $7$ τοτε προφανώς $7|A$ Αν όμως ισχύει ότι $(a,7)=1$ και $(b,7)=1$ και $(c,7)=1$ τοτε από μικρό θεώρημα του $Fermat$ προκύπτει ότι $a^{6}\equiv 1(mod7)\Rightarrow a^{3}\equiv \pm 1(mod7)$ $b^{6}\equiv 1(mo...

Έστω δυο πολυωνυμα $P,Q\in \mathbb{C}$ Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι μονικά τέτοια ώστε $P*Q|P^{2}+Q^{2}+1$ τοτε $degP=degQ$(1) Απόδειξη: Εστω ότι υπάρχουν ζεύγη πολυωνυμων $(P_{i },Q_{i })$ με $degP_{i }\neq degQ_{i }$(2) Υποθέτουμε ότι υπάρχει ζεύγος τέτοιων πολυωνυμων $(P,Q)$ με $degP+degQ<degP_{i }...

$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$ Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει: $D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1) Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=...

$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$ Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει: $D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1) Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=\...

Θα δείξουμε ότι οι μοναδικές τιμές που μπορεί να πάρει το $m$ είναι $m=0$ ή $m=1$ ή $m=2$ $(2^{2m+1})^{2}+1=(2^{2m+1}+2^{m+1}+1)(2^{2m+1}-2^{m+1}+1)$ Οι δυο αυτοί παράγοντες είναι περιττοί και η διαφορά τους είναι $2^{m+2}$ Οποτε είναι μεταξύ τους πρώτοι Ισχύει ακόμη ότι $(2^{2m+1})^{2}=4^{2m+1}\equ...

Αν $x=0$ από την συναρτησιακη είναι: $f(f(0))=3f(0)$(1) Αν $y=0$ τοτε $f(2x)+2f(0)=f(f(x))$(2) Αν $x=0$ $f(0)=f(f(y))-2f(y)$ Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται $f(0)=f(f(x))-2f(x)$(3) Θέτοντας στην σχεση (3) όπου $f(x)=z$ προκύπτει ότι $f(0)=f(z)-2z$ Οποτε $f(x)=2x+f(0)$,για κάθε ακέραιο ...

petrosqw, σκέψου και αυτό, τα παιδιά που τερμάτισαν με μισό πόντο διαφορά και δεν μπήκαν αν έμπαιναν δεν θα έμπαιναν με την αξία τους; ή και τα άλλα που είναι μερικούς πόντους πιο χαμηλά; ή ακόμα και εκείνα που κουράστηκαν ή μπλοκάρισαν ενώ είχαν τα φόντα ας πούμε; Είναι μεγάλη συζήτηση αυτή… Στη σ...

Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα “christinat” - Χριστίνα (;). Η άσκηση είναι σχεδόν το Δ θέμα από τις φετινές προαγωγικές του σχολείου μου - δεν ζητούσαμε την εύρεση της ευθείας που χωρίζει το τετράγωνο σε ισοδύναμα σχήματα. Το πιο δύσκολο ερώτημα ήταν ο προσδιορισμός των δύο άλλων κορυφών του τετραγώνου....