$ f(\frac{2}{n}) = \frac{1}{n+1} ,n=2,3... $ Υπόδειξη στην 2). Γράψε το δεξί μέλος ώς συνάρτηση του $\frac{2}{n}$. Για διευκόλυνσή σου, το πρώτο βήμα είναι $ f(\frac{2}{n}) = \frac{2}{2n+2} =...$ 'Αρα θα γίνει στην μορφή $ f(\frac{2}{n}) = \frac{2}{n} \frac{1}{2+\frac{2}{n}} $ 'αρα $ f(z_n)= z_n\fr...

Καλησπέρα σας, Έχω τρεις ασκήσεις που έχω θέμα και δεν μπορώ να λύσω 1) Έστω $ f(x+iy)= u(x,y) + iv(x,y) $ ,$ f $ αναλυτική συνάρτηση σε ανοιχτό και συνεκτικό σύνολο $ U \subset C $ με $ f(0)=1$ .Υποθέτουμε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a,b,c με $ |a|+|b| \neq 0 $, τέτοιοι ώστε $ au(x,y)+bv(x,y) ...

Καλησπέρα σας, $ z^n -1 =(z-1)(1+z+z^2 +\cdots+ z^{n-1})\Rightarrow\displaystyle \frac{z^n-1}{z-1} = (1+z +z^2 +\cdots+ z^{n-1}) $ και από την εξίσωση $ z^n-1 = (z-1)(z-z_1)\cdots(z-z_{n-1}) $ καταλήγουμε ότι $\displaystyle \frac{z^n-1}{z-1} = (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_{n-1}) $ τελικά $ (z-z_1)(z-z_2...

Καλησπέρα σας. Έχω ένα θέμα με το υποερώτημα 5 της άσκησης έχω ξοδέψει αρκετή ώρα χωρίς αποτέλεσμα θα ήθελα λίγη καθοδήγηση. Η άσκηση είναι η εξής Έστω $ z_k , k=0,1,2....,n-1 $ οι νιοστές ρίζες της μονάδας $ z^{n-1}=1 $ Να αποδείξετε ότι : 1) Τα ορίσματα των $ z_k , k=0,1,2....,n-1 $ αποτελούν διαδ...

Μάλιστα ευχαριστώ πολύ

Η να θεωρήσουμε η οποία συγκλίνει επειδή η σειρά Συγκλίνει, συγκλίνει και το και εφαρμόζουμε το κριτήριο Cauchy για την και την και καταλήγουμε στο

Καλησπέρα, Έστω $c_n = n{a_n}$ , $c_{2n} = 2na_{2n}$ και $c_{2n-1} = (2n-1){a_{2n-1}$ ,επιπλέον επειδή η σειρά $\displaystyle \sum a_n$ συγκλίνει $a_n \rightarrow 0 $. Επειδή η $(a_n)$ συγκλίνει τότε κάθε υπακολουθία της μορφής $a_{kn+no}$ , $k>0$ συγκλίνει στον ίδιο αριθμό άρα $a_{n+1} \rightarrow ...

Καλησπέρα σας και Καλή χρονιά,
Συγγνώμη για την καθυστέρηση.Διάβασα τους κανονισμούς αλλά δεν βρήκα οδηγίες για γραφή σε latex.Μπορείτε να με κατατοπίσετε.

Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.

Καλησπέρα σας, Πως αποδεικνύεται ότι αν $(a_n)$ μια φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών όρων και η σειρά $\displaystyle \sum a_n$ συγκλίνει τότε το $\lim\limits_{n \to \infty} na_n \to 0$? Και δεύτερον πιο είναι το όριο της ακολουθίας $\displaystyle a_n = \frac{1^m + 2^m + \cdots + n^m}{n^m} - \frac{n}{...