Ακριβώς την ίδια λύση με τον κ. Λάμπρου.

Καλησπέρα.

Δεν γνωρίζω αν οι μαθητές έχουν δεί αυτό το πρόβλημα γιατί είναι δικιάς μου κατασκευής. Είναι πιθανό και ο φάκελος να μην είναι ο κατάλληλος (με κριτήριο τo επίπεδο δυσκολίας).

Μέσα στον κύκλο παίρνουμε ευθύγραμμα τμήματα έτσι ώστε τα άκρα τους να είναι σημεία του κύκλου και επίσης ...

Καλησπέρα,

Η παρακάτω είναι μία απορία σχετικά με την φύση και την ορθότητα της χρήσης u-substitution για την εύρεση ενός ολοκληρώματος.

Πιο συγκεκριμένα, είναι γνωστό το ότι ο συμβολισμός $\frac{d}{dx}$ δεν πρέπει να θεωρείται ως κλάσμα.

Παρ'όλα αυτά, κατά την εύρεση ενός ολοκληρώματος της ...

solutionsenior4.PNG Πρώτη φορά που είδα τα θέματα. Ας δούμε μία λύση για το 4ο πρόβλημα του διαγωνισμού.

Σύμφωνα με το συνημμένο σχήμα:

Έστω $O_1, O_2$ τα περίκεντρα των $NTM, SLM$ αντίστοιχα.

Εύκολα βλέπουμε(λόγω παραλληλίας) ότι τα τετράπλευρα $NTMD, SLCM$ είναι ίσα μεταξύ τους και όμοια προς ...

Έστω ένας περιττός πρώτος.


Έστω, επίσης, , με το κλάσμα ανάγωγο.


Να δείξετε ότι .

Άσκηση 112

Αν $p$ πρώτος και $0<k<p$ να αποδειχθεί ότι ο $p$ διαιρεί τον $\binom{p}{k}$


Είναι $\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!} = \frac{p(p-1)(p-2)(p-3)...(p-k+1)}{k!}$. Αφού $(p, k!) = 1$ ως αποτέλεσμα της $0 < k < p $, θα είναι $ k!|(p-1)(p-2)(p-3)...(p-k+1)$. Δηλαδή, $p | \frac{p(p-1)(p ...

Άλλη μία λύση για την 109:

Αρχικά, παρατηρούμε πως $2012^{2011}\equiv 2^{2011}\equiv 2 (mod 3).$
Στη συνέχεια, έστω $m, n \in \mathbb{N} | mn = 2012^{2011}$.
Αφού $ mn \equiv 2 (mod 3) $, παίρνοντας περιπτώσεις $m, n (mod 3)$ βλέπουμε πως ακριβώς ένας απο αυτούς θα έχει υπόλοιπο 1 και ο άλλος 2 ...

Μεσοκάθετος.png
$\bigstar$ Οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O.$ Ο κύκλος $(\omega)$ που διέρχεται από τα σημεία

$A, B, O$ τέμνει τις $AC, BC$ στα $P, Q$ αντίστοιχα. Αν η $CO$ επανατέμνει τον $(\omega)$ στο $D,$ να δείξετε ότι η $PQ$

είναι μεσοκάθετος του $CD ...

Θα δείξουμε πως $ DP = PC $ και $ DQ = QC $.

Για το δεύτερο, είναι $\angle QPO = \angle DQO = \angle BQO = \angle OCQ.$ Άρα $ DQ = QC .$

Για το πρώτο είναι, $ \angle DQB = \angle QDC + \angle QCD = 2x = \angle DPB.$

Όμως, είναι $ \angle BQP = \angle DQB + \angle DQP = \angle BOD + \angle DOP ...

Όμορφα.

Άλλη μία παρόμοια είναι η:

Έστω ότι αρχικά μας δίνεται το τριώνυμο $ax^2 + bx + c.$

Παρατηρούμε πως για τον μετασχηματισμό (Α) αν βάλω $ x = 1 $, η τιμή του τριωνύμου δεν αλλάζει και ισούται με $a+b+c$.
Παρατηρούμε όμως και στον μετασχηματισμό (Β) πως αν βάλω στο τριώνυμο μετα τον ...

Το θέμα είναι απο το βιβλίο του γερμανού μαθηματικού Engels, Problem-Solving strategies.

Για το τριώνυμο $ax^{2} + bx + c$ μπορούμε να κάνουμε μία απο τις δύο παρακάτω κινήσεις τη φορά:

(Α) Να αλλάξουμε τις θέσεις των $a, c$. Π.χ. $x^2 + 3x + 2 \rightarrow 2x^2 + 3x + 1$.
(Β) Όπου $x ...

Ας το δούμε και αλλιώς.
Θα μπορούσε κάποιος να προσεγγίσει το θέμα και ως εξής:

Απο C.S είναι $(a^3+b^3+c^3)(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})\geq (a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})^2$. Ισότητα όταν $\sqrt{\frac{a^3}{\frac{b+c}{a}}} = \sqrt{\frac{b^3}{\frac{c+a}{b}}} = \sqrt{\frac{c^3 ...

Βάζω και εγώ την μία από τις δύο λύσεις μου, για να αφήσω και άλλους να βρουν την άλλη. Παρατηρούμε πως
$\sqrt{\frac{a^{3}bc(b+c)}{2}}\leq\frac{2a^{3}+bc(b+c)}{4} \leq \frac{2a^{3}+b^{3}+c^{3}}{4}$, με ισότητα και στα τρία μέλη αν και μόνο αν $ a=b=c$.
Εφαρμόζοντας κυκλικά το ίδιο και αθροίζοντας ...

Έχουμε ότι $a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+c^3\geq 2c\sqrt{abc(a+b)}$

Κάνοντας το ίδιο στα άλλα μέλη προκυπτει $2b\sqrt{abc(a+c)}$ και $2c\sqrt{abc(c+a)}$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι $2a\sqrt{abc(b+c)}\geq \frac{a\sqrt{abc(a+b)}}{2}\Leftrightarrow 8> 1$

Όμοια δουλεύουμε και στα υπόλοιπα μέλη και ...

Ισοδύναμα γράφεται και ως: . Αφού έχει μοναδική λύση, θα γράφεται ως . Οπότε πρέπει . 'Αρα για έχουμε πως

Καλησπέρα, το παρακάτω αποτελεί την πρώτη μου δημοσίευση στο mathematica.
Είναι ένα θέμα εμπνευσμένο από μια άσκηση του βιβλίου "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 1" Χαράλαμπου Στεργίου και Σιλουανού Μπραζιτίκου.
Έχω βρεί μια λύση εγώ αλλα θα ήθελα και άλλες ιδέες.

Έστω $a,b,c $ θετικοί πραγματικοί αριθμοί ...