mathematica.gr

Ισχύει γενικά το ισχυρότερο: Το διαιρεί το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων. Υπόδειξη:

Ασκηση 50: Αν ένα μονικό πολυώνυμο $P(x)$ έχει $5$ πραγματικές ρίζες τότε αν $a,b,c,d,e$ οι ρίζες του ισχύει $P(x)= (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)$, άρα για τη παράγωγο του ισχύει: $P'(x)=[(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)]' = (x-b)(x-c)(x-d)(x-e) + (x-a)(x-c)(x-d)(x-e) + (x-a)(x-b)(x-d)(x-e) + (x-a)(x-b)(x-c)(x...

Θα δείξουμε τις συνεπαγωγές $a \Rightarrow b$ , $b \Rightarrow c$ , $c \Rightarrow a$ $a \Rightarrow b$: Για τυχόν $ z\in \mathbb{R}$ έχουμε $a^{\log _{a}z}=z , b^{\log _{b}z}=z$. Αν $ \nexists x\in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $f(x) = z$ τότε $\log _{a}z$ άρρητος και $\log _{b}z$ ρητός, άρα $\log _{a}z ...

Ξέχασα να αναφέρω την πηγή. Είναι ερώτηση από το STEP exam στην Αγγλία και θέματα από την εξέταση αυτή υπάρχουν εδώ άμα θέλει να τα κοιτάξει κανείς: https://stepdatabase.maths.org/database/index.html Η συγκεκριμένη ερώτηση είναι η 15-S1-Q8 και μέσα απο κάποια υποερωτήματα που δίνει πρώτα βγαίνει η τ...

Άσκηση 3.
Δείξτε ότι υπάρχουν άρρητοι αριθμοί: τέτοιοι ώστε ο αριθμός να είναι ρητός.

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα: $1 + 2 + \cdots + n$ διαρεί το άθροισμα: $ 1^k + 2^k + \cdots + n^k$ για κάθε περιττό $k$. Θα γράψω μετά την πηγή της άσκησης αν και εκεί έδινε αρκετές βοήθειες για τη λύση μέσω άλλων υποερωτημάτων. Ελπίζω να κάνει για το φάκελο αυτό χωρίς τις βοήθειες αυτές, πάντως εί...

Έστω: $f(x) = 2x^4+ax^3+bx^2+cx+d$. Είναι: $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$, $\displaystyle{f(0) = d < 0}$, $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$ και εφόσον η $f(x)$ είναι συνεχής στους πραγματικούς ως πολυωνυμική θα έχει από Bolzano τουλάχιστον $2$ πραγματικές ρίζ...

Άσκηση 106 Δική μου άσκηση, κάπως σαν ανέκδοτο αν βαριέται κανείς: Να υπολογισθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα: $\int \frac{e^{8x} + 18e^{4x} + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} +2e^{4x} \sin x +2e^{4x} \cos x + 2\frac{\sin x}{x} + 2\frac{\cos x}{x} + 2\sin x \cos x +2\frac{e^{4x}}{x} + 6\cos x - 2\sin x + 1}{...

Κι εγώ εκεί έχω φτάσει αλλά οι λύσεις είναι αρκετά "περίεργες" και η μόνη άλλη ιδέα που είχα ήταν να βρω τη παράσταση μέσω των δύο αυτών σχέσεων, όμως δε το κατάφερα.

Από τα δεδομένα έχουμε: $p(2) = 11 \Leftrightarrow 2( \pm 2^4 \pm 2^3 \pm 2^2 \pm 2 \pm1) = 12,10 \Leftrightarrow \pm 2^4 \pm 2^3 \pm 2^2 \pm 2 \pm1 = 6,5$, όμως αριστερά έχουμε περιττό, άρα αναγκαστικά και δεξιά, άρα κρατάμε το 5 (άρα πάνω έχουμε το 10), άρα το πρόσημο του $1$ είναι $+$. Συνεχίζοντ...

Στο 1 πρόβλημα των μικρών 8 είναι η απάντηση όπως και στους μεγάλους ? Ναι. Δείτε μια παραλλαγή εδώ . AAAAAA Ωραία και εγώ τόσο βρήκα αλλά δεν ήξερα αν ηταν σωστο γιατί με μπέρδεψε καθώς χ+1/χ>=2 και ετσι οταν το έλυσα ξανά νόμιζα οτι η απάντηση ειναι το 4. Μπορεί κάποις να μου το εξηγήσει αφου το ...

Έχω μία λύση με χαρακτηριστικές εξισώσεις και τα γνωστά που κάνουμε όταν έχουμε τέτοιου είδους σχέσεις, βέβαια είναι κάπως "άσχημη". Αν υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος, αν είναι δυνατόν να μου στείλει κάποιος Π.Μ. μήπως βρω τίποτα άλλο αλλιώς θα την ανεβάσω αργότερα σήμερα ή αύριο.

Πολύ ωραίες οι αποδείξεις σας. Συνειδητοποίησα ότι ουσιαστικά η λύση μου χρησιμοποιεί και αυτή το τύπο αθροίσματος γωνιών για την εφαπτομένη... Ουσιαστικά χρησιμοποίησα το γεγονός ότι αν για τις γωνίες $A,B,C$ ισχύει: $A^{\circ} + B^{\circ} + C^{\circ} = 180^{\circ}$, τότε έχουμε: $\tan(A) \tan(B) \...

Δεν είχα αυτό στο μυαλό μου αν και όντως είναι άμεσο με τη χρήση του. Θα γράψω αργότερα σήμερα έναν άλλο τρόπο αν δε το γράψει κάποιος άλλος, όχι πως είναι κάτι σπουδαίο, αλλά μου φάνηκε ωραίο.

Να βρείτε την τιμή της .
(Καταλάθος ανέβασα τη λύση εδώ οπότε έπρεπε να το διορθώσω.)

Ονομάζουμε το ζητούμενο όριο $y$ και έχουμε $y = \lim_{x \to 0} \sqrt{x + y} \leftrightarrow y = \sqrt{y} $ , άρα $y = 0$ ή $y =1$. Αν όμως $y = 1$ τότε έχουμε $ 1 = \sqrt{1 + \sqrt{a}}$ με $a$ ένας "μεγάλος αριθμός", το οποίο είναι άτοπο, άρα το όριο μας είναι ίσο με $0$. Δεν είμαι σίγουρος για την...

Ας δείξουμε πρώτα το ευκολότερο: Υπάρχουν άπειροι $n$ ώστε ο $n^2+1$ να έχει πρώτο διαιρέτη μεγαλύτερο από $2n+\sqrt{2n}$. Να αποδείξετε ότι για κάθε $c>0$ υπάρχουν άπειροι αριθμοί $n$ ώστε ο μεγαλύτερος πρώτος διαιρέτης του $n^2 + 1$ να είναι μεγαλύτερος του $cn$. Υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί ...

Αν τότε , τελικά:

Καλησπέρα. Μήπως μπορεί να μου εξηγήσει κάποιος τις διαφορές μεταξύ του μαθηματικού τμήματος κρήτης και το αντίστοιχου τμήματος εφαρμοσμένων μαθηματικών;

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 21, 2021 12:58 pm

Άλλη μια παρατήρηση είναι ότι καμία εκ των γνώσεων που αποκτήθηκαν στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Β’ Λυκείου δεν χρειάστηκε σε αυτή την εξέταση.

Αφού όλοι ξέρουμε ότι δεν αποκτήθηκαν γνώσεις στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Β' Λυκείου. Τι θα εξέταζαν, αυτά που ουσιαστικά δε δίδαξαν καν;