Πως θα σας φαινόταν η ιδέα να καταργηθεί εντελώς αυτός ο "διαγωνισμός" και να ανοίξουν όλα τα Πανεπιστήμια για όλους; Οποιος έχει τις ικανότητες θα τελειωνει τις σπουδές του στην σχολή που επιθυμεί ή θα μπορεί ακόμη και να την παρατάει αν διαπιστώνει ότι τελικά δεν του άρεσε και να πηγαίνει κάπου α...

Δίνεται η αλγεβρική σχέση (1): $ x^{2}+x+1=0$. Τότε έχουμε την παρακάτω ακολουθία συνεπαγωγών. $x^{2}+x+1=0 \Rightarrow x^{2}+x = -1 \Rightarrow \left ( x^{2}+x \right )^{2}= 1 \Rightarrow x^{4}+2x^{3}+x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}\left ( x^{2}+1 \right ) =1-2x^{3}$ Η τελευταία ισότητα λόγω της (1) γρά...

Έχοντας συμμετάσχει σε πολλές ομάδες ΙΜΟ και ΒΜΟ η άποψή μου είναι ότι η θέση κάποιας χώρας δεν συνεπάγεται αντίστοιχη υψηλή ή χαμηλή μαθηματική παιδεία. Οι διαγωνισμοί γίνονται για την κοινωνικοποίηση/δικτύωση των μαθητών και την ισχυροποίηση των βιογραφικών τους και όχι για επίδειξη κάποιας εθνική...

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 21, 2021 11:09 am

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει τα θέματα ή να αναφέρει ποια από την sortlist ήταν; Έχει περάσει η προθεσμία. Καλά αποτελέσματα στις ελληνικές εθνικές ομάδες.

Α3 G3 C2 N5

Η εξέταση ήταν λιγότερο από 3 ώρες? Αν όχι για ποιον λόγο έχουν ανέβει λύσεις στο άλλο thread με τα θέματα?

Η συνθήκη περιοδικότητας είναι ισοδύναμη με το να υπάρχει $n$ θετ. ακερ. και πραγματικός $x$ τέτοιος ώστε $f^n(x)=x$ $(1)$($n-στη$ σύνθεση). Παρατηρούμε όμως ότι $f(x)=x^2(x-1)^2+x \ge x$ με ισότητα ανν $x=0$ ή $x=1$. Άρα $f^n(x) \ge x$ (επαγωγικά) και συνεπώς πρέπει $x=0$ ή $x=1$. Και τα δύο ικανοπ...

Νομίζω ο φετινός Αρχιμήδης θα είναι η μόνη εξέταση επιλογής για την ΙΜΟ οπότε πρέπει να είναι πιο δύσκολος από ότι συνήθως. (μάλλον στο επίπεδο του Προκριματικού). Όσον αφορά στην πρόταση θεμάτων, νομίζω ότι υπάρχει ήδη η δυνατότητα πρότασης θεμάτων από (φερέγγυα) άτομα εκτός της επιτροπής. Τέλος, δ...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:
για όλα τα

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τα οποία ισχύει:

Δίνεται η φθίνουσα (όχι απαραίτητα γνησίως) ακολουθία θετικών πραγματικών που είναι τέτοια ώστε να ισχύει:
για όλα τα . Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι τέτοιοι ώστε .

Η Άννα σκέφτεται μια μετάθεση $p$ του $(1,2,..,n)$ όπου $n$ δεδομένος θετικός ακέραιος τον οποίο και γνωρίζετε. Θέλετε να την μαντέψετε. Έτσι, κάνετε ερωτήσεις όπου της δίνετε $2$ διαφορετικούς δείκτες $i,j$ και σας λέει το $p_i \mod p_j$. Μπορείτε να μαντέψετε την μετάθεση κάνοντας το πολύ $2 \cdot...

Ο Φρίξος έχει ένα $n\cdot m$ πίνακα με $n,m \in \mathbb{Z^{+}}$. Ξεκινά από το κελί $(1,1)$ (η αρίθμηση των στηλών και των γραμμών ξεκινά από το $1$) και θέλει να φτάσει στο κελί $(n,m)$ κινούμενος είτε προς τα πάνω είτε προς τα δεξιά ως εξής: Αν την στιγμή που εξετάζουμε βρίσκεται στο $(x,y)$ μπορε...

Γαλανόπουλος Σπύρος (24) :winner_third_h4h: Εμμανουήλ Δημήτρης (23) :winner_third_h4h: Αδαμόπουλος Διονύσης (22) :winner_third_h4h: Μαργαρίτης Μίνος (22) :winner_third_h4h: Ντόκας Ευθύμης (22) :winner_third_h4h: Δημουλιός Γιάννης (14) HM :clap2: Τα cutoffs: 20 - 25 - 32 Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά...

Καλούμε έναν θετικό ακέραιο των οποίων όλα τα ψηφία είναι διαφορετικά "bronze", αν ο είτε είναι μονοψήφιος είτε υπάρχει διαιρέτης του που προκύπτει σβήνοντας ένα ψηφίο του και είναι "bronze". Να βρεθεί ο μεγαλύτερος "bronze" θετικός ακέραιος. (υποθέτουμε ότι αριθμοί δεν ξεκινούν με )

Έστω $k$ ένας θετικός ακέραιος. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n$, ώστε γίνεται να επιλεχθούν $n$ διαφορετικά σημεία στις πλευρές ενός τριγώνου (διαφόρων των κορυφών του) και να συνδέσουμε μερικά από αυτά με μια ευθεία, ώστε να ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: $ \cdot $ Υπάρχει τουλάχιστον $1$ επ...

Μια ακολουθία θετικών πραγματικών $a_1,a_2,...$ ικανοποιεί την σχέση: $a_n = a_{n-1}+a_{n-2}$ για κάθε $n \ge 3$. Μια ακολουθία $b_1,b_2...$ ορίζεται από τις εξισώσεις $b_1=a_1$ και $b_n = a_n + (b_1+b_3+...+b_{n-1})$ για κάθε άρτιο $n>1$ και $b_n =a_n +(b_2+b_4+...+b_{n-1})$ για κάθε περιττό $n>1$....

Ας αφήσουν τους ανθρώπους να διαγωνίζονται με ανθρώπους και τους υπολογιστές με υπολογιστές . Αλήθεια, πώς μπορεί ένας υπολογιστής να αντιμετωπίσει ένα γεωμετρικό πρόβλημα; Μήπως θα χρησιμοποιεί μιγαδικούς για να αποδείξει μία απλή σχέση ισότητας; Δεν νομίζω ότι έχουμε κάτι να φοβηθούμε. Ίσα ίσα, ν...

Ωραία. Τώρα μένει να μάθουμε Γαλλικά.

Mmmm. Μια λύση εμπνευσμένη από τα χιντ του κυρίου νικου. Προφανώς στο $0$ μηδενίζεται και ειναι περιτηΓια $x$ όχι $0$ και οχαiο $-1$. Είναι: $f(\dfrac{1}{x(x+1)})+f(\dfrac{1}{x+1})= f(\dfrac{1}{x})$. Από την τρίτη προκύπτει με πράξεις που τελικά ισχύει και γενικά λόγω της περιττοτητας: $f(x^2)=2xf(x...

Έστω θετικός ακέραιος $n$. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) $w$ οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες: (1) Η $w$ αποτελείται από $n$ γράμματα, όλα από το αλφάβητο $\{a,b,c,d\}$. (2) Η $w$ έχει άρτιο πλήθος από $a$. (3) Η $w$ έχει άρτιο πλήθος από $b$....