Η αναζήτηση βρήκε 113 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Απρ 13, 2024 6:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: EGMO2024
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 655
Re: EGMO2024
Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$ με $AC>AB$, ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του $I$. Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$, αντίστοιχα. Έστω $X$ και $Y$ δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\widep...
- Κυρ Φεβ 25, 2024 12:46 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 17693
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Καλησπέρα και από μένα. Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες και καλά αποτελέσματα!! Ας δούμε λοιπόν τα θέματα (με μεγαλη επιφύλαξη γιατί δεν πρόλαβα να αφιερώσω την απαιτούμενη προσοχή και χρόνο, θα τα ξαναελεγξω καποια στιγμη, οπου θα επανελθω και με λυση γεωμετριας). Πρόβλημα 1: Το τριωνυμο γ...
- Τετ Απρ 19, 2023 8:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: EGMO 2023
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1471
Re: EGMO 2023
Χρόνια Πολλά! Χριστός Ανέστη! Πρόβλημα 1. Έστω $n\geqslant 3$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,\ldots ,a_n$. Για κάθε $1\leqslant i\leqslant n$ θέτουμε $\displaystyle{b_i =\frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} }$(εδώ ορίζουμε το $a_0$ να είναι το $a_n$ και το $a_{n+1}$ να είναι το $a_1$). Υποθέτουμε ότ...
- Πέμ Απρ 13, 2023 12:32 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1316
Re: Οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο
Σίγουρα έχουν αρκετές. Αλλά μόνο πράξεις είναι για να βρεις τις τομές (που μπορείς να βρεις τη μία και μετά κυκλικά έχεις και τις άλλες). Γι' αυτό και δεν πρόλαβα να βάλω λύση. Ίσως κάποια στιγμή παραθέσω μία
- Τρί Απρ 11, 2023 5:25 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1316
Re: Οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο
Οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο.png Το $ABC$ είναι οξυγώνιο και σκαληνό με ορθόκεντρο το $H$. Ο κύκλος με κέντρο το $A$ και ακτίνα $AH$ τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου $BHC$ στο ${{I}_{a}}\cancel{\equiv }\,H$. Ομοίως βρίσκουμε τα ${{I}_{b}}$ και ${{I}_{c}}$. Δείξτε ότι το $H$ ανήκει στον κύκλο $\lef...
- Τετ Μαρ 29, 2023 11:56 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 839
Re: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι
ΘΕΜΑ 3 Έστω τρίγωνο $ABC$, $AB\ne AC$, και $I$ το έκκεντρό του. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς $BC$ στο σημείο $D$. Αν $M$ το μέσο της $BC$, να αποδείξετε ότι η ευθεία $IM$ περνάει από το μέσο του τμήματος $AD$. Για πάμε και μία με μιγαδικούς. Ας είναι το έγκεντρο η αρχή ...
- Κυρ Φεβ 19, 2023 10:59 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023
- Απαντήσεις: 85
- Προβολές: 17050
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023
Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ? Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ? Καλημέρα! Δεν ξέρω πως γράψανε τα παιδιά διότι δεν έχω επαφές. Γενικά κατά τη γνώμη μου τα θέματα είναι καλά. Πιο συγκεκριμένα για τη δυσκολια των θεμάτων, κατά την ταπεινή μου άποψη, τα θέματ...
- Σάβ Φεβ 18, 2023 10:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023
- Απαντήσεις: 85
- Προβολές: 17050
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023
Καλησπέρα και από μένα! Αρχικά συγχαρητήρια σε όλους τους διαγωνιζόμενους για τη συμμετοχή τους και καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!! Για πάμε να δούμε τα θέματα ένα ένα. ΘΕΜΑ 1 Από ιδιότητες αναλογιών $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} = t \Rightarrow \frac{a-c}{b-d}=t, b \neq d$ (είναι πολύ εύκολο να απο...
- Δευ Σεπ 26, 2022 5:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Πετρούπολη 2022
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 512
Re: Πετρούπολη 2022
Πετρούπολη 22.png$2.$ Στην πλευρά $AC$ του τριγώνου $ABC$ δίνονται δυο σημεία$ D$ και $E$ τέτοια, ώστε $AD=CE$. Στο τμήμα $BC$ δίνεται σημείο $X $και στο τμήμα $ BD$ σημείο $Y$ , ώστε : $CX=EX$ και $AY=DY$. Οι ημιευθείες $YA $ και $XE$ , τέμνονται στο σημείο $Z$. Να αποδείξετε, ότι το μέσο $M$ του ...
- Κυρ Φεβ 27, 2022 3:05 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021-2022
- Απαντήσεις: 27
- Προβολές: 10091
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2021-2022
Επισυνάπτω και τα θέματα του διαγωνισμού. Αλέξανδρος Αρχικά πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν και καλά αποτελέσματα σε όλους! Ας ανεβάσω και τις δικές μου λύσεις για τα πρώτα 3 των μεγάλων. Πιθανότατα να είναι πολύ όμοιες με τις άλλες, αλλά ενδεχομένως να υπάρχει κάποιο σημείο που...
- Σάβ Σεπ 11, 2021 12:32 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: BMO 2021 - Θέματα
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1821
Re: BMO 2021 - Θέματα
Μίλτο, για να δείξεις ότι αντιστρέφεται πρέπει να δείξεις και το 1-1 και το επί. Δες επίσης το σκεπτικό σου σε αυτό το παράδειγμα: Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:(0,\infty) \to (0,\infty)$ ώστε $f(x+y) = f(x)+y$ για κάθε $x,y \in (0,\infty)$. Εσύ ξεκίνησες και έδειξες ότι είναι 1-1 και μετά βάζο...
- Σάβ Σεπ 11, 2021 11:56 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: BMO 2021 - Θέματα
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1821
Re: BMO 2021 - Θέματα
Πρόβλημα 2 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ που είναι τέτοιες, ώστε να ισχύει $\displaystyle f(x+f(x)+f(y)) = 2f(x) + y$ για κάθε $x,y \in (0,+\infty)$. ... Θέτοντας $x \mapsto f^{-1}(x) \Rightarrow f(x+f^{-1}(x)+f(y))=2x+y$, οπότε $f$ επί. ... Καλημέρα! Θέτοντας όπου $x$...
- Σάβ Σεπ 11, 2021 11:19 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: BMO 2021 - Θέματα
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1821
- Πέμ Μαρ 18, 2021 7:19 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Ερώτηση για SEEMOUS 2021
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1029
Ερώτηση για SEEMOUS 2021
Καλησπέρα, από την παρακάτω πηγή: https://eclass.uoa.gr/modules/announcements/index.php?course=MATH206&an_id=320722 βγάζω το συμπέρασμα πραγματοποίησης εξ αποστάσεως διαγωνισμού (προκριματικού) , αλλά δεν έχω παραπάνω πληροφορίες. Μπορεί κάποιος να με ενημερώσει παιρετέρω; Ευχαριστώ εκ των προτέ...
- Πέμ Δεκ 10, 2020 9:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Διοφαντική Εξίσωση
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 1845
Re: Διοφαντική Εξίσωση
Ξέρουμε αν η άσκηση έχει κάποια στοιχειώδης λύση; Καλησπέρα. Για να αποφύγουμε εικασία Catalan: Προσπάθησε αυτό: Αν $b=1$, άπειρες λύσεις. Αλλιώς: $a^b+1=c^2\Leftrightarrow a^b=(c-1)(c+1)$ Τώρα αν $c$ άρτιος τότε (βρες το γιατι) $c-1=x_1^b, c+1=x_2^b$ Άρα $x_2^b-x_1^b=2$. Άρα $x_1>x_2\Rightarrow x_...
- Τρί Νοέμ 17, 2020 1:28 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
- Θέμα: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 1255
Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
Βρείτε την μικρότερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός $|11^m-5^n|$, όπου $m,n $ θετικοί φυσικοί αριθμοί. Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας. Την προορίζω για μαθητές Γυμνασίου ή Λυκείου. Λύνεται με την μέθοδο ... αχά. Δεν χρειάζεται πολύ φασαρία για την λύση της (δυο-τρεις γραμμ...
- Κυρ Νοέμ 01, 2020 10:22 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: BMO 2020
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 2419
Re: BMO 2020
Σήμερα, διεξήχθη διαδικτυακά η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για το 2020. Παραθέτω τα θέματα μιας και έχουν ήδη αναρτηθεί στο AOPS. Καλή επιτυχία στις ομάδες μας. Πρόβλημα 2. Συμβολίζουμε με $\mathbb Z_{>0}=\{1,2,3,\ldots\}$ το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb...
- Κυρ Σεπ 27, 2020 4:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΙΜΟ 2020
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3956
Re: ΙΜΟ 2020
Τα αποτελέσματα έχουν δημοσιευτεί. Δεν τα βάζω γιατί μου κολλάει και δεν μπορώ να τα δω αναλυτικά. Πάρα πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και των δύο ομάδων μας που σε μία πάρα πολύ δύσκολη χρονιά τα κατάφεραν άψογα!! Επίσης, δεν μπορώ να μην συγχαρώ τους συνοδούς αλλά και όσους δούλεψαν ώστε να π...
- Παρ Σεπ 25, 2020 8:08 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΙΜΟ 2020
- Απαντήσεις: 20
- Προβολές: 3956
Re: ΙΜΟ 2020
Μια άλλη προσέγγιση στο πρόβλημα 2 είναι η εξής: $1=(a+b+c+d)^3>(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq a^ab^bc^cd^d(a+2b+3c+4d)$ Η δεύτερη στη σειρά ανισότητα προκύπτει από την βαρών και η πρώτη προκύπτει με πράξεις. Η σκέψη βέβαια είναι ανάποδη. Πρώτα κάνω βαρών και μετά (από αρκετό ψάξιμο), ομογενοποίη...
- Παρ Σεπ 25, 2020 3:04 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
- Θέμα: Απόδειξη θεωρημάτων/προβλημάτων από μηχανή
- Απαντήσεις: 15
- Προβολές: 1345
Re: ΙΜΟ 2020
Νομίζω έχει ξεφύγει λίγο η συζήτηση από το θέμα.
Τώρα επί της συζήτησης αν δώσω το παράδειγμα μιγαδικής γεωμετρίας (που αναφέρεται από τον κ.Βισβίκη πιο πάνω) όπου το πρόβλημα είναι οι πράξεις, νομίζω ότι ένας υπολογιστής έχει μεγάλο προβάδισμα.
Τώρα επί της συζήτησης αν δώσω το παράδειγμα μιγαδικής γεωμετρίας (που αναφέρεται από τον κ.Βισβίκη πιο πάνω) όπου το πρόβλημα είναι οι πράξεις, νομίζω ότι ένας υπολογιστής έχει μεγάλο προβάδισμα.