Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$ με $AC>AB$, ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του $I$. Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$, αντίστοιχα. Έστω $X$ και $Y$ δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\widep...

Καλησπέρα και από μένα. Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες και καλά αποτελέσματα!! Ας δούμε λοιπόν τα θέματα (με μεγαλη επιφύλαξη γιατί δεν πρόλαβα να αφιερώσω την απαιτούμενη προσοχή και χρόνο, θα τα ξαναελεγξω καποια στιγμη, οπου θα επανελθω και με λυση γεωμετριας). Πρόβλημα 1: Το τριωνυμο γ...

Χρόνια Πολλά! Χριστός Ανέστη! Πρόβλημα 1. Έστω $n\geqslant 3$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,\ldots ,a_n$. Για κάθε $1\leqslant i\leqslant n$ θέτουμε $\displaystyle{b_i =\frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} }$(εδώ ορίζουμε το $a_0$ να είναι το $a_n$ και το $a_{n+1}$ να είναι το $a_1$). Υποθέτουμε ότ...

thepigod762 έγραψε: ↑

Τετ Απρ 12, 2023 9:33 pm

Οι μιγαδικοί δεν θα είχαν πολλές πράξεις;

Σίγουρα έχουν αρκετές. Αλλά μόνο πράξεις είναι για να βρεις τις τομές (που μπορείς να βρεις τη μία και μετά κυκλικά έχεις και τις άλλες). Γι' αυτό και δεν πρόλαβα να βάλω λύση. Ίσως κάποια στιγμή παραθέσω μία

Οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο.png Το $ABC$ είναι οξυγώνιο και σκαληνό με ορθόκεντρο το $H$. Ο κύκλος με κέντρο το $A$ και ακτίνα $AH$ τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου $BHC$ στο ${{I}_{a}}\cancel{\equiv }\,H$. Ομοίως βρίσκουμε τα ${{I}_{b}}$ και ${{I}_{c}}$. Δείξτε ότι το $H$ ανήκει στον κύκλο $\lef...

ΘΕΜΑ 3 Έστω τρίγωνο $ABC$, $AB\ne AC$, και $I$ το έκκεντρό του. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς $BC$ στο σημείο $D$. Αν $M$ το μέσο της $BC$, να αποδείξετε ότι η ευθεία $IM$ περνάει από το μέσο του τμήματος $AD$. Για πάμε και μία με μιγαδικούς. Ας είναι το έγκεντρο η αρχή ...

Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ? Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ? Καλημέρα! Δεν ξέρω πως γράψανε τα παιδιά διότι δεν έχω επαφές. Γενικά κατά τη γνώμη μου τα θέματα είναι καλά. Πιο συγκεκριμένα για τη δυσκολια των θεμάτων, κατά την ταπεινή μου άποψη, τα θέματ...

Καλησπέρα και από μένα! Αρχικά συγχαρητήρια σε όλους τους διαγωνιζόμενους για τη συμμετοχή τους και καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!! Για πάμε να δούμε τα θέματα ένα ένα. ΘΕΜΑ 1 Από ιδιότητες αναλογιών $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} = t \Rightarrow \frac{a-c}{b-d}=t, b \neq d$ (είναι πολύ εύκολο να απο...

Πετρούπολη 22.png$2.$ Στην πλευρά $AC$ του τριγώνου $ABC$ δίνονται δυο σημεία$ D$ και $E$ τέτοια, ώστε $AD=CE$. Στο τμήμα $BC$ δίνεται σημείο $X $και στο τμήμα $ BD$ σημείο $Y$ , ώστε : $CX=EX$ και $AY=DY$. Οι ημιευθείες $YA $ και $XE$ , τέμνονται στο σημείο $Z$. Να αποδείξετε, ότι το μέσο $M$ του ...

Επισυνάπτω και τα θέματα του διαγωνισμού. Αλέξανδρος Αρχικά πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν και καλά αποτελέσματα σε όλους! Ας ανεβάσω και τις δικές μου λύσεις για τα πρώτα 3 των μεγάλων. Πιθανότατα να είναι πολύ όμοιες με τις άλλες, αλλά ενδεχομένως να υπάρχει κάποιο σημείο που...

Μίλτο, για να δείξεις ότι αντιστρέφεται πρέπει να δείξεις και το 1-1 και το επί. Δες επίσης το σκεπτικό σου σε αυτό το παράδειγμα: Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:(0,\infty) \to (0,\infty)$ ώστε $f(x+y) = f(x)+y$ για κάθε $x,y \in (0,\infty)$. Εσύ ξεκίνησες και έδειξες ότι είναι 1-1 και μετά βάζο...

Πρόβλημα 2 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ που είναι τέτοιες, ώστε να ισχύει $\displaystyle f(x+f(x)+f(y)) = 2f(x) + y$ για κάθε $x,y \in (0,+\infty)$. ... Θέτοντας $x \mapsto f^{-1}(x) \Rightarrow f(x+f^{-1}(x)+f(y))=2x+y$, οπότε $f$ επί. ... Καλημέρα! Θέτοντας όπου $x$...

Demetres έγραψε: ↑

Παρ Σεπ 10, 2021 11:02 am

Πρόβλημα 2

Βρείτε όλες τις συναρτήσεις που είναι τέτοιες, ώστε να ισχύει



για κάθε .

Διαγραφή εσφαλμένης λύσης.

Καλησπέρα, από την παρακάτω πηγή: https://eclass.uoa.gr/modules/announcements/index.php?course=MATH206&an_id=320722 βγάζω το συμπέρασμα πραγματοποίησης εξ αποστάσεως διαγωνισμού (προκριματικού) , αλλά δεν έχω παραπάνω πληροφορίες. Μπορεί κάποιος να με ενημερώσει παιρετέρω; Ευχαριστώ εκ των προτέ...

Ξέρουμε αν η άσκηση έχει κάποια στοιχειώδης λύση; Καλησπέρα. Για να αποφύγουμε εικασία Catalan: Προσπάθησε αυτό: Αν $b=1$, άπειρες λύσεις. Αλλιώς: $a^b+1=c^2\Leftrightarrow a^b=(c-1)(c+1)$ Τώρα αν $c$ άρτιος τότε (βρες το γιατι) $c-1=x_1^b, c+1=x_2^b$ Άρα $x_2^b-x_1^b=2$. Άρα $x_1>x_2\Rightarrow x_...

Βρείτε την μικρότερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός $|11^m-5^n|$, όπου $m,n $ θετικοί φυσικοί αριθμοί. Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας. Την προορίζω για μαθητές Γυμνασίου ή Λυκείου. Λύνεται με την μέθοδο ... αχά. Δεν χρειάζεται πολύ φασαρία για την λύση της (δυο-τρεις γραμμ...

Σήμερα, διεξήχθη διαδικτυακά η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για το 2020. Παραθέτω τα θέματα μιας και έχουν ήδη αναρτηθεί στο AOPS. Καλή επιτυχία στις ομάδες μας. Πρόβλημα 2. Συμβολίζουμε με $\mathbb Z_{>0}=\{1,2,3,\ldots\}$ το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb...

Τα αποτελέσματα έχουν δημοσιευτεί. Δεν τα βάζω γιατί μου κολλάει και δεν μπορώ να τα δω αναλυτικά. Πάρα πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και των δύο ομάδων μας που σε μία πάρα πολύ δύσκολη χρονιά τα κατάφεραν άψογα!! Επίσης, δεν μπορώ να μην συγχαρώ τους συνοδούς αλλά και όσους δούλεψαν ώστε να π...

Μια άλλη προσέγγιση στο πρόβλημα 2 είναι η εξής: $1=(a+b+c+d)^3>(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq a^ab^bc^cd^d(a+2b+3c+4d)$ Η δεύτερη στη σειρά ανισότητα προκύπτει από την βαρών και η πρώτη προκύπτει με πράξεις. Η σκέψη βέβαια είναι ανάποδη. Πρώτα κάνω βαρών και μετά (από αρκετό ψάξιμο), ομογενοποίη...

Νομίζω έχει ξεφύγει λίγο η συζήτηση από το θέμα.
Τώρα επί της συζήτησης αν δώσω το παράδειγμα μιγαδικής γεωμετρίας (που αναφέρεται από τον κ.Βισβίκη πιο πάνω) όπου το πρόβλημα είναι οι πράξεις, νομίζω ότι ένας υπολογιστής έχει μεγάλο προβάδισμα.