Η αναζήτηση βρήκε 37 εγγραφές

από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 1:13 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 324

Re: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Υπάρχουν ακέραιοι $x, y$ και $z$ ώστε $z^2 = (x^2 + 1)(y^2-1) + n$ αν (α) $n = 2006$ (β) $n = 2007$; (Γενικεύστε!) Για το Β) Έστω $p$ένας πρώτος διαιρέτης διαιρέτης του $x^{2}+1$.Τότε $x^{2}+1\equiv 0(modp)\Leftrightarrow x^{2}\equiv -1(modp)$.Οπότε από άμεση συνέπεια του κριτηρίου του $Eule...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Απρ 03, 2020 8:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 322

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι. Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται : Να λυθεί η εξίσωση $36^k - 5^m=11.$ Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι; (δεν έχω λύση) To έβαλα κ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Απρ 03, 2020 1:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μία απλή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 355

Re: Μία απλή!

Αν $x,y,z$ θετικοί και $xyz=x+y+z+2$ , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $K=x^2+y^2+z^2$ Από την ανισότητα $Cauchy(AM-GM)$ έχουμε $(x+y+z)^{3}\geqslant 27xyz=27(x+y+z+2)$ Θέτουμε $x+y+z=S$.Τοτε η ανισότητα γίνεται: $S^{3}\geqslant 27(S+2)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow S\geqslant 6\Left...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Πέμ Απρ 02, 2020 4:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερό γινόμενο και τόπος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 123

Re: Σταθερό γινόμενο και τόπος

Σταθερό γινόμενο και τόπος.png Στη διάμετρο $AB$ ενός κύκλου $(O, r)$ θεωρούμε ένα σταθερό σημείο $S$ ώστε $AS=d$ και έστω $DE$ μία μεταβλητή χορδή που διέρχεται από το $S.$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο $A$ τέμνει τις $BD, BE$ στα $M, N$ αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο $MDEN$ είναι εγγρ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τετ Απρ 01, 2020 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 888

Re: Εκθετική

Πολύ ωραία Ορέστη!!! Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem που οδηγεί σε μια γρήγορη λύση. Καλησπέρα . Μια λύση με τη χρήση του θεωρήματος Zsigmondy. Αν $z=1$, τότε $(x,y,z)=(1,1,1)$ Αν $z=2$ , τότε $(x,y,z)=(4,1,2)$ Για $z>2$ από θεώρημα $Zsigmondy$ ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Μαρ 27, 2020 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Συστηματική εργασία 2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 119

Re: Συστηματική εργασία 2

$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\begin{matrix} x^2+y^2+xy & =7\\ x+y-xy&=5 \end{matrix}$ Θέμα αυξημένης δυσκολίας αλλά για μαθητές ... Η πρώτη εξίσωση γίνεται $(x+y)^{2}-xy=7$.Θέτουμε $x+y=S$ και $xy=P$.Αντικαθιστωντας τη δεύτερη σχέση στην πρώτη έχουμε: $S^{2}-P=7\Leftightarrow (P+5)^{2}-P=7\Lef...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δευ Μαρ 23, 2020 9:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Με βασικά θεωρήματα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 244

Re: Με βασικά θεωρήματα

Βασικά Θεωρήματα.png$\bigstar$ Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , η $AM$ είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα και η $AD$ , η διχοτόμος της $\widehat{BAM}$ . Η διχοτόμος $CH$ , τέμνει την $AM$ στο $E$ και την $AD$ στο $S$ . α) Δείξτε ότι τα σημεία $E,S,D,M$ είναι ομοκυκλικά ... β) Δεί...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Μαρ 22, 2020 8:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διοφαντική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 152

Διοφαντική

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση:

4^{x}+3^{y}=7^{z}

,όπου x,y,z θετικοί ακέραιοι.
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τετ Μαρ 18, 2020 4:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 323

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Έστω $ABC$ οξυγώνιο τρίγωνο με $\angle BAC = 45^{\circ}$ και σημείο $D$ πάνω στην πλευρά $AB$ τέτοιο ώστε $CD\perp AB.$ To σημείο $P$ είναι εσωτερικό του τμήματος $CD.$ Να δείξετε ότι $AP\perp BC$ αν και μόνο αν $AP = BC.$ 270.PNG Αν $AL$ ύψος και $P\equiv AL\cap BC$,θα δείξω πως $AP=BC$. Απ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τετ Μαρ 18, 2020 3:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 323

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Έστω $ABC$ οξυγώνιο τρίγωνο με $\angle BAC = 45^{\circ}$ και σημείο $D$ πάνω στην πλευρά $AB$ τέτοιο ώστε $CD\perp AB.$ To σημείο $P$ είναι εσωτερικό του τμήματος $CD.$ Να δείξετε ότι $AP\perp BC$ αν και μόνο αν $AP = BC.$ 270.PNG Αν $AL$ ύψος και $P\equiv AL\cap BC$,θα δείξω πως $AP=BC$. Απ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τετ Μαρ 18, 2020 1:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ομοκυκλικότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 167

Re: Ομοκυκλικότητα

Ένα οξυγώνιο σκαληνο τρίγωνο $ABC$ με $BC<AB<AC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $C1$.Επίσης το οξυγωνιο τρίγωνο $ACD$ ,με $AD<DC<AC$είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $C2$.Τα ευθύγραμμα τμήματα $AB,BC$ τέμνουν τον κύκλο $C2$ στα σημεία $R$ και $S$ αντίστοιχα και τα $AD,DC$ τέμνουν τον $C1$ στα σημεία $Q$ και...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τετ Μαρ 18, 2020 11:51 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ομοκυκλικότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 167

Ομοκυκλικότητα

Ένα οξυγώνιο σκαληνο τρίγωνο $ABC$ με $BC<AB<AC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $C1$.Επίσης το οξυγωνιο τρίγωνο $ACD$ ,με $AD<DC<AC$είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $C2$.Τα ευθύγραμμα τμήματα $AB,BC$ τέμνουν τον κύκλο $C2$ στα σημεία $R$ και $S$ αντίστοιχα και τα $AD,DC$ τέμνουν τον $C1$ στα σημεία $Q$ και ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Μαρ 15, 2020 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (20), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 355

Re: Τεστ Εξάσκησης (20), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Αν $a,b,c \geq 0$ τέτοιοι ώστε $a+b+c=1$, να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης $P=\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}.$ Για τη μέγιστη τιμή της παράστασης $P$ ,υψώνοντας στο τετράγωνο, έχουμε : $P^{2}=({\sqrt{1+a}}+{\sqrt{1+b}}+{\sqrt{1+c}})^{2}\leqslant 3[({\sqrt{1+a}})^{2...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Μαρ 15, 2020 12:42 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (20), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 355

Re: Τεστ Εξάσκησης (20), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Αν $a,b,c \geq 0$ τέτοιοι ώστε $a+b+c=1$, να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης $P=\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}.$ Για τη μέγιστη τιμή της παράστασης $P$ ,υψώνοντας στο τετράγωνο, έχουμε : $P^{2}=({\sqrt{1+a}}+{\sqrt{1+b}}+{\sqrt{1+c}})^{2}\leqslant 3[({\sqrt{1+a}})^{2...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Σάβ Μαρ 14, 2020 11:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (20), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 355

Re: Τεστ Εξάσκησης (20), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Αν $a,b,c \geq 0$ τέτοιοι ώστε $a+b+c=1$, να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης $P=\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}.$ Για τη μέγιστη τιμή της παράστασης $P$ ,υψώνοντας στο τετράγωνο, έχουμε : $P^{2}=({\sqrt{1+a}}+{\sqrt{1+b}}+{\sqrt{1+c}})^{2}\leqslant 3[({\sqrt{1+a}})^{2...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Σάβ Μαρ 14, 2020 9:32 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 504

Re: Τεστ Εξάσκησης (21), Μικροί

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 09, 2020 2:04 am
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο n με την ιδιότητα:
Αν βάψουμε μαύρα ακριβώς n κελιά ενός πίνακα  7 \times  7 τότε υπάρχει οπωσδήποτε ένα 2 \times  2 τετράγωνο με τουλάχιστον τρία μαύρα κελιά.
Ίσως δεν καταλαβαίνω κάτι καλά (;)Μήπως η σωστή απάντηση είναι n=28+9=37
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Μαρ 13, 2020 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 323

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Σε ένα τουρνουά σκακιού, κάθε παίκτης έπαιξε ακριβώς ένα παιχνίδι εναντίον καθενός από τους άλλους παίκτες. Σε κάθε παιχνίδι ο νικητής κέρδιζε $1$ πόντο, ο ηττημένος $0$ πόντους και σε περίπτωση ισοπαλίας, ο καθένας από τους δύο παίκτες κέρδιζε μισό πόντο. Μετά την ολοκλήρωση του τουρνουά, δ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Πέμ Μαρ 12, 2020 4:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 552

Re: Τεστ Εξάσκησης (4), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Οι κύκλοι $K_1$ και $K_2$ τέμνονται στα σημεία $A$ και $M.$ Η εφαπτομένη του $K_1$ στο $A$ τέμνει τον $K_2$ στο $B$ και η εφαπτομένη του $K_2$ στο $A$ τέμνει τον $K_1$ στο $D.$ Έστω $C$ σημείο τέτοιο ώστε το $M$ να είναι το μέσο του $AC.$ Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψι...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Σάβ Μαρ 07, 2020 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (6), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 473

Re: Τεστ Εξάσκησης (6), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Χρωματίζουμε τα κελιά ενός πίνακα $4\times 4$ χρησιμοποιώντας δύο χρώματα, μαύρο και κόκκινο. Σε πόσους από αυτούς τους χρωματισμούς ισχύει ότι κάθε γραμμή και κάθε στήλη περιέχει ακριβώς δύο μαύρα και δύο κόκκινα κελιά; Μας ζητείται στην ουσία να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούμε να βάψουμε...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Πέμ Μαρ 05, 2020 4:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 396

Re: Τεστ Εξάσκησης (11), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της παράστασης $x+y +z$ αν $x, y, z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $16xyz = (x + y)^2(x + z)^2.$ Από την ανισότητα $(a+b)^{2}\geqslant4ab$ έχουμε ότι : •$(x+y)^{2}\geqslant4xy$ •$(x+z)^{2}\geqslant4xz$ Άρα $16xyz=(x+y)^{2}(x+z)^{2}\geqslant4xy$•$4xz=16x^{2}y...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση