Η αναζήτηση βρήκε 48 εγγραφές

από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Αύγ 02, 2020 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Για την ισότητα των λόγων
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 263

Re: Για την ισότητα των λόγων

Χαίρετε ! Για την ισότητα των λόγων.png Δίνεται το τετράγωνο $ABCD$ και $P \in AB$ ώστε να είναι $\dfrac{AB}{AP}=3$. Το ημικύκλιο διαμέτρου $DP$ τέμνει την $AC$ στο $E\not\equiv A$. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{AC}{EC}$ Ας επιτεθούμε στην άσκηση ... ποικιλοτρόπως! Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Καλησπέρα! Έσ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 6:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 611

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c ώστε a,b,c \geqslant 0. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)
Αποσύρω λόγω σφάλματος... :-? :?
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 1:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διάμεσος πάντα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 653

Re: Διάμεσος πάντα

Παραθέτω πρώτα το λήμμα και ύστερα θα γραψω και την απόδειξή του.

ΛΗΜΜΑ

Έστω σκαληνό τριγωνο ABC , με AC>ABκαι ας είναι AD η διχοτόμος της γωνίας \angle{A}.
Έστω επίσης E η προβολή του B πάνω στην AD. Τότε ισχύει ότι

\frac{AE}{ED}=\frac{AC+AB}{AC-AB}
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 2:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διάμεσος πάντα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 653

Re: Διάμεσος πάντα

Πάντα διάμεσος.png Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα $BC = a$. Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο $A$ ( Τα $A,B,C$ όχι συνευθειακά ) Αν $BD$ διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην$DA$ στο $D$ τμήσει την $AB$ στο $M$, δείξετε ότι το $M$ είναι μέσο του $AB$. 24 ώρες...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 12:28 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με απλά "μέσα"
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 305

Με απλά "μέσα"

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , με $AB<AC<BC$ και έστω $(c)$ ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Φέρουμε τα ύψη $BE$ και $CZ$. Ες είναι $D$ ένα τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $AC$. Οι ευθείες $BD$ και $CZ$ τέμνονται στο $Q$, ενώ οι $BE$ και $CD$ στο $S$. Τέλος , αν $K$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $E...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Ιουν 21, 2020 12:26 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισοσκελές και γωνία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 511

Re: Ισοσκελές και γωνία

Ισοσκελές και γωνία.png Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC\left( AB=AC \right)$ με $\angle BAC={{20}^{0}}$ . Αν $E,D$ είναι σημεία των πλευρών του $AB,AC$ αντίστοιχα, ώστε: $\angle ACE={{10}^{0}}$ και $\angle ABD={{20}^{0}}$, να υπολογιστεί η γωνία $\angle CED=\omega $ Η λύση αύριο αναλ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 11:27 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα και ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 462

Re: Καθετότητα και ισότητα

Καθετότητα και ίσα τμήματα.png Το $\displaystyle M$ είναι σημείο της υποτείνουσας $BC$ ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $ABC,$ ώστε $\displaystyle BM = MC\sqrt 3. $ Αν ο κύκλος $(B, BA)$ τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $M\widehat AC$ στο $E$ να δείξετε ότι $BE\bot AM$ και $CE=CM.$ Το α) βγαίνει και...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τρί Ιουν 16, 2020 10:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Γωνία διαμέσου και πλευράς
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 842

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Γωνία διαμέσου και πλευράς.png Στο σχήμα το $M$ είναι μέσο του $BC$. Βρείτε τη γωνία $\theta $. 24 ώρες για τους μαθητές . Καλησπέρα. Έστω $(c)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABC$ και ας είναι $K$ το κέντρο του . Τότε εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι το τρίγωνο $AKC$ είναι ισόπλευρο. Επίσης...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Πέμ Ιουν 11, 2020 6:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μήκος διχοτόμου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 596

Re: Μήκος διχοτόμου

Τριγώνου $ABC$ δίδονται : $b = 12\,\,,\,\,c = 6\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{A_{}}} = 120^\circ $ . Να υπολογίσετε το μήκος $AD$ της εσωτερικής διχοτόμου . Όλες οι λύσεις δεκτές . Για 24 ώρες , μόνο για μαθητές . Φέρνουμε παράλληλη από το $B$ στη διχοτομο $AD$ της γωνιας $A$, η οποία τ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Μάιος 08, 2020 9:58 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Σταθερό σημείο κύκλου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 451

Re: Σταθερό σημείο κύκλου

Έστω $O$ το περίκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Φέρνουμε $OA,OB,OC,OM,ON$. Τα τρίγωνα $AON$ και $BOM$ είναι ίσα , γιατί $OA=OB$ , $AN=BM$ , $\angle{NAO}=\angle{CAO}=\angle{OAB}=\angle{OBA}=\angle{OBM}$ , . Άρα $\angle{BMO}=\angle{ANO}$ , οπότε $A,N,O,M$ ομοκυκλικά . Επομένως ο κύκλος διέρχεται και από τ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δευ Απρ 27, 2020 10:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εντοπισμός κορυφής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 145

Re: Εντοπισμός κορυφής

Εντοπισμός σημείου.pngΤρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O,R)$ . Η $AO$ τέμνει την $BC$ στο σημείο $S$ , από το οποίο φέρουμε : $SP \perp AB , ST \perp AC$ . Φυσικά είναι : $PT \parallel BC$ ( γιατί ; ) . Αν $R=3$ και η χορδή $BC$ έχει απόστημα $d=1$ , εντοπίστε τη θέση της κορυφής $A$ , ώ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 1:13 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 682

Re: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Υπάρχουν ακέραιοι $x, y$ και $z$ ώστε $z^2 = (x^2 + 1)(y^2-1) + n$ αν (α) $n = 2006$ (β) $n = 2007$; (Γενικεύστε!) Για το Β) Έστω $p$ένας πρώτος διαιρέτης διαιρέτης του $x^{2}+1$.Τότε $x^{2}+1\equiv 0(modp)\Leftrightarrow x^{2}\equiv -1(modp)$.Οπότε από άμεση συνέπεια του κριτηρίου του $Eule...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Απρ 03, 2020 8:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 546

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι. Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται : Να λυθεί η εξίσωση $36^k - 5^m=11.$ Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι; (δεν έχω λύση) To έβαλα κ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Απρ 03, 2020 1:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μία απλή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 816

Re: Μία απλή!

Αν $x,y,z$ θετικοί και $xyz=x+y+z+2$ , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $K=x^2+y^2+z^2$ Από την ανισότητα $Cauchy(AM-GM)$ έχουμε $(x+y+z)^{3}\geqslant 27xyz=27(x+y+z+2)$ Θέτουμε $x+y+z=S$.Τοτε η ανισότητα γίνεται: $S^{3}\geqslant 27(S+2)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow S\geqslant 6\Left...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Πέμ Απρ 02, 2020 4:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερό γινόμενο και τόπος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 456

Re: Σταθερό γινόμενο και τόπος

Σταθερό γινόμενο και τόπος.png Στη διάμετρο $AB$ ενός κύκλου $(O, r)$ θεωρούμε ένα σταθερό σημείο $S$ ώστε $AS=d$ και έστω $DE$ μία μεταβλητή χορδή που διέρχεται από το $S.$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο $A$ τέμνει τις $BD, BE$ στα $M, N$ αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο $MDEN$ είναι εγγρ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τετ Απρ 01, 2020 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εκθετική
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1254

Re: Εκθετική

Πολύ ωραία Ορέστη!!! Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem που οδηγεί σε μια γρήγορη λύση. Καλησπέρα . Μια λύση με τη χρήση του θεωρήματος Zsigmondy. Αν $z=1$, τότε $(x,y,z)=(1,1,1)$ Αν $z=2$ , τότε $(x,y,z)=(4,1,2)$ Για $z>2$ από θεώρημα $Zsigmondy$ ...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Παρ Μαρ 27, 2020 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Συστηματική εργασία 2
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 361

Re: Συστηματική εργασία 2

$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\begin{matrix} x^2+y^2+xy & =7\\ x+y-xy&=5 \end{matrix}$ Θέμα αυξημένης δυσκολίας αλλά για μαθητές ... Η πρώτη εξίσωση γίνεται $(x+y)^{2}-xy=7$.Θέτουμε $x+y=S$ και $xy=P$.Αντικαθιστωντας τη δεύτερη σχέση στην πρώτη έχουμε: $S^{2}-P=7\Leftightarrow (P+5)^{2}-P=7\Lef...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δευ Μαρ 23, 2020 9:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Με βασικά θεωρήματα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 675

Re: Με βασικά θεωρήματα

Βασικά Θεωρήματα.png$\bigstar$ Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , η $AM$ είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα και η $AD$ , η διχοτόμος της $\widehat{BAM}$ . Η διχοτόμος $CH$ , τέμνει την $AM$ στο $E$ και την $AD$ στο $S$ . α) Δείξτε ότι τα σημεία $E,S,D,M$ είναι ομοκυκλικά ... β) Δεί...
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Κυρ Μαρ 22, 2020 8:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διοφαντική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 516

Διοφαντική

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση:

4^{x}+3^{y}=7^{z}

,όπου x,y,z θετικοί ακέραιοι.
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Τετ Μαρ 18, 2020 4:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 455

Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Έστω $ABC$ οξυγώνιο τρίγωνο με $\angle BAC = 45^{\circ}$ και σημείο $D$ πάνω στην πλευρά $AB$ τέτοιο ώστε $CD\perp AB.$ To σημείο $P$ είναι εσωτερικό του τμήματος $CD.$ Να δείξετε ότι $AP\perp BC$ αν και μόνο αν $AP = BC.$ 270.PNG Αν $AL$ ύψος και $P\equiv AL\cap BC$,θα δείξω πως $AP=BC$. Απ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση