Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το πρόβλημα!
Μέσα στις επόμενες μέρες θα παραθέσω και τη δική μου λύση , η οποία πάντως δεν απέχει αρκετά από την ανεβασμένη .

Μέσο εν μέσω καύσωνα_ok.png

Έστω κύκλος $\left( {O,r} \right)$ και διάμετρός του $AB$.

Με κέντρο το $B$ και ακτίνα $R\,\,\left( {r < R < 2r} \right)$, γράφω νέο κύκλο που τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$.

Προεκτείνω την ακτίνα $OB$ προς το $B$ και τέμνει ...

Μετά από καιρό...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$. Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο $I_{A}$που αντιστοιχεί στην κορυφή $A$, ο οποίος εφάπτεται των πλευρών $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$ αντίστοιχα. Ο κύκλος $(AEF)$ τέμνει τη $BC$ στα σημεία $P$ και $Q$ . Έστω ακόμη $M$ το μέσο της $AD$.Αποδείξτε ότι ο ...

Διέρχεται από το κέντρο.β.png
$CD$ είναι μια τυχούσα χορδή ενός ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ και $P$ είναι το σημείο τομής των $AC, BD.$ Γράφω τον

περίκυκλο του $PCD$ και έστω $M$ τυχόν σημείο του κύκλου. Αν οι $CM, DP$ τέμνονται στο $S$ και οι $CP, DM$ στο

$T,$ να δείξετε ότι η ευθεία $ST ...

Καθετότητα με συνέχεια.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και κέντρου $O$.

Κύκλος διέρχεται από το $O$ και δύο διακεκριμένα σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την $AB$ στο $E$.

Αν οι $AD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο $S$, να ...

Καθετότητα με συνέχεια.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και κέντρου $O$.

Κύκλος διέρχεται από το $O$ και δύο διακεκριμένα σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την $AB$ στο $E$.

Αν οι $AD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ τέμνονται στο $S$, να ...

col1.pngΣε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ τα σημεία $D$, $E$ και $F$ είναι τα ίχνη των υψών στις πλευρές $BC$, $AB$ και $AC$
αντίστοιχα, και $H$ το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν $K$, $L$ οι προβολές των $H$, $D$ στην $EF$
αντίστοιχα, και $N$ το μέσο του $DL$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $K$ και ...

Γωνία που εξισώνει.png
Σε τρίγωνο $ABC$ προεκτείνουμε την $CB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BE=2BC$ και την $AC$ προς το $C$

κατά τμήμα $CD=AC.$ α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $D, E$ ισαπέχουν από την $AB.$

β) Να βρείτε τη γωνία $A\widehat BC$ ώστε να είναι $AE=BD.$


48 ώρες μόνο για μαθητές. Το ...

Από σταθερό σημείο.pngΗ $AB$ είναι σταθερή χορδή κύκλου $(O)$ , ενώ το σημείο $S$ κινείται εκτός του κύκλου

αλλά έτσι ώστε οι $SA , SB$ να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία $D , C$ αντίστοιχα .

Ονομάζουμε $T$ την τομή των $AC , BD$ και $P$ την τομή των $ST , AB$ .

Δείξτε ότι ο κύκλος $( C , D , P ...

Ένα επιπλέον ερώτημα(αν και νομίζω ότι έχει ξανασυζητηθεί στο )

Στις προεκτάσεις των πλευρών και προς το μέρος του παίρνουμε σημεία , ώστε . Να αποδείξετε ότι .

Καλημέρα,μια ιδιοκατασκευή:

Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$.Ο εγγεγραμμένος κύκλος του $ABC$ εφάπτεται στις $BC,AC,AB$ στα $A',B',C'$ αντίστοιχα.Έστω $A_1$ το μέσο του τόξου $BC$ του $(O)$ που δεν περιέχει το $A$.Έστω επίσης $A_1A'\cap (O)\equiv A_2$ και $B'C'\cap AA_2\equiv A_3 ...

Θέτουμε
Από την ανισότητα του είναι

Άρα είναι

(Η ισότητα ισχύει όταν )

GEOMETRIA234=FB3352.jpg
Σε τρίγωνο $ABC$, έστω $D, E, F$ τα σημεία επαφής του έγκυκλου $(I)$ με της πλευρές του $BC, AC, AB$ αντίστοιχα.

Για $P$ τυχαίο σημείο της $BC$, οι κύκλοι $BPF, CPE$ επανατέμνονται στο $Q$.

Αν $S\equiv DI\cap PQ$, δείξτε οτι $AS\parallel BC$


Καλημέρα σας!

Φέρω τα ...

Εγγεγραμμένο πεντάγωνο.png
Το πεντάγωνο $ABCDE$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ και ισχύουν $\widehat A=90^\circ$ και $AB=CD$. Το σημείο $F$

κινείται στη χορδή $AE$ και η $BF$ επανατέμνει τον κύκλο στο $J.$ Αν οι $JD, EC$ τέμνονται στο $K$ και οι $FK, BD$

στο $L,$ να δείξετε ότι το ...

ΘΕΜΑ 1
Να λυθεί στους πρώτους αριθμούς η εξίσωση $\displaystyle{\displaystyle{xyz+1=2^{y^2+1}.}}$



Με επιφυλάξεις...
Προφανώς $x,y,z>2$
Έστω ότι $x,y,z\not\equiv\ 0(mod3)$
Τότε $xyz+1\equiv\ 0,2(mod3)$ ,όμως $2^{y^{2}+1}\equiv\ 4\equiv\ 1(mod3)$
Άρα έχουμε αντίφαση και θα πρέπει τουλάχιστόν 1 ...

ΘΕΜΑ 2
Έστω $ABCD$ εγγράψιμο τετράπλευρο με $AB = BC$ και $AD =CD.$ Το σημείο $M$ βρίσκεται στο έλασσον τόξο $CD$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου. Οι ευθείες $BM$ και $CD$ τέμνονται στο $P,$ ενώ οι ευθείες $AM$ και $BD$ στο $Q.$ Να αποδείξετε ότι $PQ \parallel AC.$


Καλησπέρα ...

Ζητούνται ακέραιες πλευρές.png
Σε τρίγωνο $ABC$ με ακέραια μήκη πλευρών, μία ευθεία που διέρχεται από το έγκεντρο $I$ και είναι παράλληλη στην $AB$ τέμνει

τις $BC, AC$ στα $D, E$ αντίστοιχα. Αν $AB=4, DE=3,$ να βρείτε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών του τριγώνου.



Ένα 24ωρο μόνο για μαθητές ...

Χαίρετε !
Για την ισότητα των λόγων.png
Δίνεται το τετράγωνο $ABCD$ και $P \in AB$ ώστε να είναι $\dfrac{AB}{AP}=3$.

Το ημικύκλιο διαμέτρου $DP$ τέμνει την $AC$ στο $E\not\equiv A$. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{AC}{EC}$

Ας επιτεθούμε στην άσκηση ... ποικιλοτρόπως! Σας ευχαριστώ, Γιώργος ...

Demetres έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm Δίνονται πραγματικοί αριθμοί ώστε . Να δειχθεί ότι

Αποσύρω λόγω σφάλματος...

Παραθέτω πρώτα το λήμμα και ύστερα θα γραψω και την απόδειξή του.

ΛΗΜΜΑ

Έστω σκαληνό τριγωνο , με και ας είναι η διχοτόμος της γωνίας .
Έστω επίσης η προβολή του πάνω στην . Τότε ισχύει ότι