Έχουμε $2$ κουτιά. Το ένα έχει $10$ μπάλες, $8$ άσπρες και $2$ μαύρες. Το άλλο έχει επίσης $10$ μπάλες, $4$ άσπρες και $6$ μαύρες. Χωρίς να βλέπουμε διαλέγουμε ένα κουτί και παίρνουμε $3$ μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα η $4$η μπάλα να είναι μαύρη, αν οι $3$ πρώτες δεν είναι όλες άσπρες;

Η σκέψη ...

Σκέφτηκα το εξής:
Η παράγωγος του πολυωνύμου $f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots a_{1}x+a_{0} $ είναι $f'(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots a_{1} .$
$f' = 0$ αν και μόνο αν $ka_{k}=0$ για $1\leq k\leq n.$
Αν το $k$ είναι πολλαπλάσιο του $p$ τότε ο όρος γίνεται $0$ ανεξάρτητα από την τιμή του $a_{k}$.
Αν, όμως, το $k$ δεν ...

Γεια σας! Καλώς σας βρήκα!
Θα ήθελα μια υπόδειξη (ή λύση) σε ένα ερώτημα.

Αν $\mathbb{F}_{q}$ πεπερασμένο σώμα χαρακτηριστικής $p$, δείξτε ότι για κάποιο $f\in \mathbb{F}_{q}[X]$, ισχύει ότι $f'=0$ αν και μόνο αν το $f$ είναι $p$-στή δύναμη κάποιου πολυωνύμου του $\mathbb{F}_{q}[X]$.

Ευχαριστώ εκ ...