Αυτό το αποτέλεσμα οφείλετε στούς Cayley - Hamilton -Frobenius
Για έναν $n \times n$ αντιστρέψιμο A, με μη μηδενική ορίζουσα:
$ p(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots c_1A+(-1)^nI_ndetA=0 $

Είναι γνωστό ότι $det(A)=(-1)^n c_0$
Ας υπολογίσουμε το $c_0$
$p(l)=det(lI_n-A)=det(\exp(\ln(lI_n-A)))=\exp(tr(\ln(lI ...

Μια άλλη ιδέα
$a_{n+1}=f(a_n)$ Tότε $f(x)=\frac{5x-6}{x-2}$
Tότε $f'(x)=\frac{-4}{(x-2)^2}$
$|f'(x)|=\frac{4}{(x-2)^2}$ Τώρα ισοδύναμα σε αλήθεια $ \frac{4}{(x-2)^2} < 1 \iff x(x-4) >0$
Με επαγωγή απο την σχέση $a_{n+1}= 5+ \frac{4}{a_n -2 }$ βλέπουμε οτι $a_n >5 $
άρα απο θεώρημα σταθερού ...

$2(tr(ABAB)-tr(A^2B^2))=2tr(ABAB)-2tr(A^2B^2)=tr(ABAB)+tr(ABAB)-tr(A^2B^2)-tr(A^2B^2)=tr(ABAB)+tr(BABA)-tr(A^2B^2)-tr(AABB)=tr(ABAB)+tr(BABA)-tr(BA^2B)-tr(AB^2A)=tr(AB(AB-BA))-tr((BA-AB)BA)=tr(AB(AB-BA))+tr(BA(BA-AB)=tr(AB-BA)^2$
Από το $\text{rank}(AB-BA+I) = 1.$ έχουμε $dimker(AB-BA+I)=n-1$ Αφού ...

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ n & 1 & 2 & \cdots & n - 1\\ n - 1 & n & 1 & \cdots & n - 2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\2 & 3 & 4 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$


Δείξτε ότι
$\displaystyle{\epsilon^ndet\left(I_n-A^{2n}\right)+\epsilon^{n-1}det\left(\epsilon I_n-A^{2n ...

Πρόβλημα 2: Έστω ${x_{n}}$ ακολουθία τέτοια ώστε $x_0=1$ και $x_n=\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}^{2}+x_{n-1}+1}, n\geq 1$. Αποδείξτε ότι η ακολουθία ${nx_{n}}$ συγκλίνει και βρείτε το όριο της
Έστω $f(x_{n-1})=x_{n}$ με $f(x)=\frac{x}{x^2+x+1}$ τότε $f'(x)= \frac{x^2+x+1-x(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$ αρα $|f΄(x ...

1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες $A \in \mathbb{R}_{n\times m}$ και $B \in \mathbb{R}_{m\times n}$ με $ n > m$ ώστε $AB=I_n$
$\newline$
2)Αποδείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $Q$ με $Q^{-1}AQ=B$
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots &\cdots & 0 \\
1 & 1 & 0 & \cdots & \vdots\\
1 & 2 & 1 ...

stamas1 έγραψε: Τρί Μαρ 10, 2020 9:42 pm

ChrP έγραψε: Τρί Μαρ 10, 2020 8:08 pm

stamas1 έγραψε: Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?

Οι ενδιαφερόμενοι για τον διαγωνισμό αυτόν , απο όλη την αθήνα , γράψανε σε αυτά τα θέματα .

ακομα και οι πρωτοετεις?

Ναι !

stamas1 έγραψε: Τρί Μαρ 10, 2020 7:29 pm Αυτα τα προβληματα δοθηκαν σε ολους τους φοιτητες του μαθηματικων στο εκπα?

Οι ενδιαφερόμενοι για τον διαγωνισμό αυτόν , απο όλη την αθήνα , γράψανε σε αυτά τα θέματα .

1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες $A \in \mathbb{R}_{n\times m}$ και $B \in \mathbb{R}_{m\times n}$ με $ n > m$ ώστε $AB=I_n$


3 ιδέες
1)(η επίσημη λύση )
Δεν υπάρχουν τέτοιες απεικονίσεις γιατί η επαγώμενη γραμμική συνάρτηση $f_B: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $δεν είναι 1-1 και
η $f_A ...

1) Εξετάστε αν υπάρχουν πίνακες $A \in \mathbb{R}_{n\times m}$ και $B \in \mathbb{R}_{m\times n}$ με $ n > m$ ώστε $AB=I_n$
$\newline$
2)Αποδείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $Q$ με $Q^{-1}AQ=B$
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots &\cdots & 0 \\
1 & 1 & 0 & \cdots & \vdots\\
1 & 2 & 1 ...

Να υπολογιστεί το όριο

Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}$


$\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}=\frac{1}{n}(\frac{1}{\sqrt{4-(\frac{1}{n ...

Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα $A$ το οποίο προκύπτει από ανάπτυγμα Laplace και είναι το $ x_A(x)=x-x^3$
Από Θεώρημα C-H $ x_A(A)=0 \Rightarrow A^3=A$
Τώρα κάνοντας διαδοχικές διαιρέσεις με το 3
$A^{593}=A^{197}A^2=A^{65}A^2A^2=A^{21}A^2A^2A^2=A^7A^6=A^{13}=A^12A=A^2A=A^3=A$
$A ...

$L_A,L_B: \mathbb{F} n\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1$ με $ L_A(x)=AX ,L_B(X)=BX $


Για ξαναδές το παραπάνω.



Διαλέγω τυχαία αντιστρέψιμη γραμμική απεικόνιση $ T: \mathbb{F} n\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1 :
T(L_A(X))=L_B(X)$ $\forall x \in \{v_{k+1},\cdots v_n ...

Αν και καθυστεριμένα : (και με μια διόρθωση για τους πίνακες $A,B$)
$L_A,L_B: \mathbb{F} n\times 1 \rightarrow \mathbb{F} m\times 1$ με $ L_A(x)=AX ,L_B(X)=BX $
$Ker(L_A)=Ker(L_B)$ παίρνοντας μια βάση του των Ker έστω $ \{v_1,\cdots ,v_k\}$ και την επεκτείνουμε σε μια του $\mathbb{F} n\times 1 ...

Καλημέρα! Μάλλον υπάρχει κάποιο κενό στην θεωρία μου... Θα κάνω μια αναζήτηση στη θεωρία και θα επανέλθω!

Καλησπέρα στο mathematica ! $A,B $ ειναι $m\times n$
α) Αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $P \in \mathbb{F}^{m\times m}$ τέτοιος ώστε$ B=PA$ δείξε ότι για $x \in \mathbb{F}^{n\times1}$ ισχύει $Ax=0 \iff Bx=0$
b) Αν για $x \in \mathbb{F}^{n\times 1}$ ισχύει η ισοδυναμία $Ax=0 \iff Bx=0$ δείξε οτι ...

Όχι δεν είμαι κάποιος απο αυτους τους λογαριασμούς..εγώ είμαι Χρήστος! είχαν μιπως ανεβάσει την ίδια άσκηση? Η κάποια παρόμοια λύση?

Βεβαίως και εχετε δίκαιο!! Αλλά είμαι καινούργιος και τώρα ξεκινάω να μαθαίνω την γλώσσα latex προς αυτού και τα πολλά λάθη..
Την άσκηση την έχω λύσει απλος θα ήθελα να δω και κάποια αλλη λυση καθώς η δική μου δεν συμβάδιζε με την προτεινόμενη υπόδειξη (την οποία δεν ειχα καταλάβει)
Η λύση μου ...

$f(t)$=$\det \left[\begin{matrix}
c_{1}-t & a-t & a-t &\cdots & a-t \\
b-t & c_{2} -t &a-t & \cdots & a-t \\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
b-t & b-t & b-t& \cdots & c_{n}-t \\
\end{matrix}\right]$


$g(t)=\displaystyle{(c_{1}-t)}(c_{2}-t)\cdots(c_{n}-t)$
Δείξε ότι :

$a)$ $f(a)$=$g(a ...