Ας το δούμε κι αλλιώς. Αφού το σύστημα ορίζεται για $xyz\neq0$, υπάρχει $\lambda \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\lambda=\frac{z}{x}\Leftrightarrow z=\lambda x$, οπότε η πρώτη εξίσωσή μας δίνει $y=1-z-x=1-\lambda x-x$. Με αντικατάσταση στην 2η εξίσωση του συστήματος έχουμε: $\frac{1}{x}+\frac{1}{1-\lam...

Έστω $\omega$ η διαφορά της αριθμητικής προόδου, οπότε $ST=x-\omega, TD=x, AS=x+\omega$, άρα $AD=3x$. Από την ομοιότητα των τριγώνων $AMS, ANT$ έχω $\frac{c}{b}=\frac{AM}{AN}=\frac{AS}{AT}=\frac{x+\omega}{2x}$. Η $MN$, ως παράλληλη της $BC$, διχοτομεί την $AD$, στο $O$. Ο λόγος της αριθμητικής πρόοδ...

Από το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $AMO$ έχουμε: $\frac{OM}{\sin 96^\circ}=\frac{AM}{\sin 48^\circ}=\frac{ON}{\sin 48^\circ}\Rightarrow OM=2 ON \cos 48^\circ$ (αφού $\sin 96^\circ = 2 \sin 48^\circ \cos 48^\circ$) Επίσης στο τρίγωνο $AMO$ έχουμε: $\frac{OM}{\sin 96^\circ}=\frac{OA}{\sin 36^\circ}\...

Θεωρώ κατακόρυφο σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το $A(0,0),B(2b,0),C(0,2c),b,c>0$. Συγκρίνω εμβαδά και υπολογίζω γωνίες.png Εύκολα βρίσκω τα σημεία $L(-c,c),N(b,-b),M(b+c,b+c)$. Είναι $\left( MNL \right) = \frac{1}{2}\det\left| \overrightarrow{ML},\overrightarrow{MN} \right| = \frac{1}{2}\det\left|...

Και μια, εκτός φακέλου, λύση με μιγαδικούς. Θέτουμε $z_{A} = - i$ (θεωρώντας το σημείο A στον μοναδιαίο κύκλο) και $z_{B} = x_{B} + y_{B} i$. Είναι $\left| z_{B} \right| = 2$ και $\left| z_{C} \right| = 3$. Άρα $x_{B}^{2} + y_{B}^{2} = 4$ Αφού $AB=BC$ και $AB\perp BC$, από τον τύπο περιστροφής έχουμ...

Η προέκταση του $TS$ τέμνει τον κύκλο $(O,r)$ στο συμμετρικό του σημείου $P$ ως προς το κέντρο του κύκλου, στο σημείο $P’$. Από την δύναμη σημείου $S$ έχουμε $AS⋅SB=TS⋅SP^'=SP⋅sin \theta⋅SP'⇔\sin \theta=(AS⋅SB)/(SP'⋅SP)$ που ελαχιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το γινόμενο $SP'⋅SP$. Έχουμε από νόμο...

Ισοσκελισμένος υπολογισμός.png Ο κύκλος $(K ,3)$ έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο $(O , 4)$ . Από το ένα σημείο τομής $T$ των δύο κύκλων , διέρχεται ευθεία η οποία τους ξανατέμνει στα σημεία $C , B $ αντίστοιχα . Οι $BO , CK$ τέμνονται στο $A$ . Βρείτε την θέση του $B$ , για την οποία είναι : $AB...

Προφανώς πρέπει τα $x,y,z$ να είναι διάφορα μεταξύ τους. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $x<y<z$. Τότε $\dfrac{x-y}{y-z}>0$, $\dfrac{y-z}{z-x}<0$ ,$\dfrac{z-x}{x-y}<0$. Άρα $max=z=\dfrac{x-y}{y-z}\Leftrightarrow x-y=yz-z^2$ Τα δυο ίσα σύνολα θα έχουν το ίδιο γινόμενο στοιχείων, άρα $xyz= \dfrac...

Εύλογο είναι να θεωρήσουμε ότι ο κύκλος θα εφάπτεται σε δύο κάθετες πλευρές του ορθογωνίου ("στριμωγμένος στην μεριά του") καθώς και στο ευθύγραμμο τμήμα, ώστε να δεσμεύουμε όσο το δυνατόν περισσότερο εμβαδόν για το χωρίο του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που δεν περιέχει τον κύκλο. Λιγότερο εύλογο εί...

Έχω $\displaystyle{ x^3- \left ( \dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {c}{a} \right ) x^2 + \left ( \dfrac {a}{c} + \dfrac {b}{a} + \dfrac {c}{b} \right ) x -1 =0 }\Leftrightarrow$ $\displaystyle{ x^3- \left ( \dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {c}{a} \right ) x^2 + \left ( \dfrac {a}{b} \cdot...

ευκλείδης β λυκειου 2026.png α) Έχω $A\hat\Delta B=\hat\omega+60^o$ (ως εξωτερική στο τρίγωνο ΑΔΓ). Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε: $A\hat B\Delta+B\hat A\Delta+A\hat\Delta B=180^o\Rightarrow\hat\omega+\hat\omega+60^o+\hat\omega+60^o=180^o\Rightarrow \hat\omega=20^o$ Άρα $A\hat B\Delta=A\hat\Delt...

Οι σελίδες γεωμετρία α’ λυκείου και γεωμετρία β λυκείου περιλαμβάνουν, σε μορφή «Geogebra book», σχεδόν όλα τα θέματα της τράπεζας θεμάτων για τα αντίστοιχα μαθήματα. Τα θέματα είναι οργανωμένα ανά ενότητα, ώστε να μπορεί ο μαθητής να τα λύσει βήμα-βήμα, να δει τις κατασκευές και να ελέγξει τις απαν...

Ίσως έπρεπε να εξηγήσω καλύτερα το τελευταίο βήμα. Το σκεπτικό είναι το εξής: Ο Αντετοκούμπο είναι ψηλότερος από κάθε μαθηματικό. Οι μαθηματικοί έχουν ύψος μικρότερο από 2μ. Άρα ο Αντετοκούμπο έχει ύψος μεγαλύτερο από ή ίσο με 2μ. όπου Αντετοκούμπο-->η συνάρτηση $f(2x)$, ύψος μαθηματικού-->η συνάρτη...

Αρχικά θα δείξουμε, επαγωγικά, ότι $f(2x)> a_n x$(*) για κάθε $x>0$, όπου $a_n=\frac{a_{n-1}^2}{4}+1,n∈N,a_1=1$. 1. Έχω $f(2x)\geq x+f(f(x))>x=a_1 x$, αφού $f(x)>0$,$f(f(x))>0$ για κάθε $x>0$. 2. Έστω ότι η (*) ισχύει για $n=k$, δηλαδή ότι $f(2x)> a_k x$ για κάθε $x>0$. 3. Θα δείξω ότι η (*) ισχύει ...

Έχουμε $a_{1}=2$ και προφανώς $a_{n}>0$, ∀$n\geq1$, οπότε $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}\geq2\Rightarrow a_n\geq2$, $a_{n}^{2}\geq4$, $\frac{1}{a_{n}^2}\leq\frac{1}{4}$ ∀$n\geq1$. Έχουμε λοιπόν ότι $a_{n+1}^2=a_{n}^2+\frac{1}{a_{n}^2}+2\leq a_{n}^2+\frac{1}{4}+2=a_{n}^2+\frac{9}{4}$. 'Αρα $a_{n-1}^2+2< ...

Αφού οι αριθμοί $x+y$ και $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ είναι ακέραιοι, ακέραιος θα είναι και το γινόμενό τους, $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$. Εστω $q=\frac{x}{y}$, προφανώς $q\in\mathbb{Q}^{+}$. Τότε $q+\frac{1}{q}=n\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $q^{2}-nq+1=0$ (*)...

Έχουμε $\phi^{2\nu+1}-\phi^{-2\nu-1}=\phi^{2\nu+1}-\frac{1}{\phi^{2\nu+1} }=(\phi-1/\phi)(\phi^{2\nu}+\phi^{2\nu-2}+⋯+1+⋯+\frac{1}{\phi^{2\nu-2}} +\frac{1}{\phi^{2\nu}}=$ $L_{2\nu}+L_{2\nu-2}+⋯L_2+1$ Όπου $L_n$ οι όροι της ακολουθίας Lucas https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_number $L_{n}: = \left\{...

Έστω $r_1,r_2,r_3,r_4 \in \mathbb{C}$ οι ρίζες του πολυωνύμου. Από του τύπους Vieta έχω $r_1r_2r_3r_4=-2000\Rightarrow r_3r_4=50$ $r_1​r_2​r_3​+r_1​r_2​r_4​+r_1​r_3​r_4​+r_2​r_3​r_4​=−260 \Rightarrow -4(​r_3​+r_4​)+5(r_1​+r_2)​=−26​$ (*) $r_1+r_2+r_3+r_4=20$ που σε συνδυασμό με την (*) δίνει $r_1​+r...

Στο προηγούμενο ποστ είχα αβλεψία στο ερώτημα β που μου επισήμανε ο Mihalis_Lambrou με προσωπικό μήνυμα. Θέτω $x = w^{3} \Rightarrow dx = 3w^{2}dw$ οπότε $\int_{1/8}^{8}\frac{x^{- \frac{1}{3}}}{1 + x}dx = \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{3w}{1 + w^{3}}dw = \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{3w}{\left( w + 1 \ri...

a) Θέτω $x = w^{- 1}$, οπότε $\(dx = - w^{- 2} dw$ Έχω $I(m,n) = \int_{1/8}^{8}\frac{x^{m}}{(1 + x)^{m + n + 2}} dx = \int_{8}^{\frac{1}{8}}\frac{w^{- m}}{\left( 1 + w^{- 1} \right)^{m + n + 2}}\left( - w^{- 2} \right) dw = \int_{1/8}^{8}{\frac{w^{- m - 2}}{\left( 1 + w^{- 1} \right)^{m + n + 2}} \c...