Το πρώτο επιχείρημα αποτελεί βασικό θεώρημα στα διαχωριστικά. Αν έχουμε δύο σύνολα κυρτά, μη κενά με κενή τόμη τέτοια ώστε Α συμπαγές και Β κλειστό, τότε έχουμε ότι τα Α,Β διαχωρίζονται αυστηρά.
Σε ευχαριστώ και πάλι για την υπόδειξη, καθοριστική η συμβολή σου.

Αφού $x \notin K$ θα υπάρχουν $c\in \mathbb{R}, r>0, u \in \mathbb{R}^d$ με $\left \| u \right \|=1$ τέτοια ώστε $<x,u> \geq c+r$ και $<y,u> \leq c-r$
για κάθε $y$ στο Κ. Έστω $M>0:$ $\left \| x \right \|,\left \| y \right \| \leq M$ το οποίο υπάρχει διότι Κ φραγμένο.
Τότε για κάθε $R>0$ αρκετά ...

https://math.stackexchange.com/question ... kttjekwEig

Δεν τα κατάφερα ούτε στο επίπεδο. Βρήκα μια πιθανή λύση εδώ. Καταλαβαίνετε μήπως πως επιλέγει το k?

Έστω μη-κενό, κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του . Δείξτε ότι υπάρχει οικογένεια από κλειστές μπάλες τέτοια ώστε .

Έχει κανένας καμία ιδέα για αυτό?
Σας ευχαριστώ.

Λοιπόν κοίταξα το γενικό διαχωριστικό θεώρημα που μου είπατε και έβγαλα την άσκηση με μία σημαντική διαφορά.
Η να είναι κοίλη και η να είναι κυρτή. Οπότε αυτό με έβαλε σε σκέψεις μήπως υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση της αρχικής άσκησης.

Έστω $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ κυρτή και $g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ κοίλη και έστω ότι $f(x) \leq g(x)$ για κάθε $x\in \mathbb{R}^n$. Τότε υπάρχει αφφινική συνάρτηση $h : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ για κάθε $x\in \mathbb{R}^n ...

Για το θέμα βρήκα λύση στο βιβλίο Convex Analysis του Rockafellar σελίδα 49.

$ri(K)=\{x\in K: \exists r>0$ τέτοιο ώστε $aff(K) \cap U(x,r) \subset K\}$ όπου με $U(x,r)$ συμβολίζουμε την ανοιχτή μπάλα της ευκλείδειας νόρμας και $aff(K)$ την αφφινική θήκη του Κ.
Δεν ξέρω τι παίζει με αυτό το μάθημα και τους συμβολισμούς του. Από ότι φαίνεται δεν είναι τόσο global όσο νόμιζα ...

Έστω μη-κενά, κυρτά υποσύνολα του .
Τότε .

Καλησπέρα σε όλους. Έχει κανείς καμία ιδέα για την απόδειξη αυτή; Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Έχετε δίκιο. Ήταν απλό το θέμα, ειδικά μετά την υπόδειξη του κυρίου Λάμπρου.
Σας ευχαριστώ πολύ όλους.

Υπάρχει υποσύνολο του κλειστό έτσι ώστε να μην είναι κλειστό;