Με την απαγωγή σε άτοπο. Ας είναι $\alpha >x$ Τότε απέναντι από μεγαλύτερη πλευρά σε τρίγωνο βρίσκεται μεγαλύτερη γωνία και αντίστροφα και εφαρμόζοντάς το στο τρίγωνο $ADC$ θα έχουμε: $\alpha>x \Leftrightarrow AD>DC$. Από την άλλη $\hat{B} = 180^{\circ}-\alpha - (90^{\circe}-\alpha +x})=90^{\circe}-...

Καλή άσκηση γιατί η τριγωνομετρία οδεύει προς εξαφάνιση. Από το διωνυμικό ανάπτυγμα είναι: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4 a b^3+b^4 \Leftrightarrow a^4+b^4=(a+b)^4-4ab(a^2+b^2)-6a^2b^2$ Θέτοντας $a=\sin^2x,\,\, b=\cos^2x$ έχουμε: $\sin^8x+\cos^8x=(\sin^2x+\cos^2x)^4-4\sin^2x\cos^2x(\sin^4x+\cos^4x)-6\...

Άσκηση 48. Σκοπεύω να χρησιμοποιήσω αντιστροφή , γιαυτό θεωρώ το εξής (βοηθητικό, αντίστροφο) πρόβλημα. Αν δοθεί σταθερή οξεία γωνία $x\hat{O}y$ και μεταβλητό σημείο $A'$ στην πλευρά της $Ox$ και θεωρήσουμε την κάθετο στην $Ox$ στο $A'$ που τέμνει την $Oy$ στο $N$, και $M_1$ το σημείο επαφής του εγ...

Μιά απόδειξη με διαφορικό λογισμό Γ Λυκείου Έστω: $f(x_1)=x_1+x_2+\cdots+x_n-n\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n)}$ με $x_1, x_2, \cdots, x_n >0$ και $n \in N*$τότε : $f'(x_1) = 1-(x_1)^{\frac{1-n}{n}} (x_2x_3\cdots x_n)^{\frac{1}{n}$και έτσι: $f'(x_1)\geq 0 \Leftrightarrow x_1 \geq (x_2x_3\cdots x_n)^{1/(n-...

Απορία
Ηλία γιατί δεν λές να λυθεί η εξίσωση;
Είτε με την παραγοντοποίηση που φάνηκε στη λύση είτε ως αντίστροφη πολυωνυμική (το λέω καλά;;), μπορεί να λυθεί.

Η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\alpha(x^2+1)^2=-\beta x(x^2+1)$ αν υποθέσουμε ότι έχει ρίζα πραγματική $x_0$, τότε θα είναι $x_0^2+1 \neq 0 ,\,\,\, x_o\neq 0$ άρα θα έχουμε: $x_0+\frac{1}{x_0}=-\frac{\beta}{\alpha}$, δηλαδή το $-\frac{\beta}{\alpha}$ ανήκει στο σύνολο τιμών της πραγματικής συνάρτησης ...

Για το πρώτο. Έστω σύστημα συντεταγμένων με αρχή το $A$, τον ημιάξονα $Oy$ στην $Ax$ και (με επιλογή κατάλληλης μονάδας) $AB=2$ Τότε $A(0,0), \,B(2,0),\, E(1,0)$ και έστω $\Gamma(0,\gamma)$ με $\gamma$ θετικό, οπότε$\Delta(0, 2\gamma/3)$. Εύκολα οι συντελεστές διέυθυνσης των $\Gamma E$και $B\Delta$θ...

Αν μιλάμε για μετά την εξαγωγή σε html στο παράθυρο της εξαγωγής έχει μιά καρτέλα "σύμβουλος", όπου μπορείς να ρυθμίσεις κάποια πράγματα που κάνουν οι χρήστες. Κοιταξέ το και τα ξαναλέμε.

Από το μενου προβολή τσεκάρεις ότι θέλεις να (μην) φαίνεται και κάνεις εξαγωγή.

trig.png Ονομάσαμε ΑΔ τη διχοτόμο και ΑΜ την $M_{\alpha}$ της εκφώνισης. Τότε από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΜΓ προκύπτει ότι: $\frac{m_{\alpha}}{\beta}=\frac{\gamma}{M_{\alpha}} \Leftrightarrow m_{\alpha}M_{\alpha}=\beta \gamma\Leftrightarrow m_{\alpha}=\frac{\beta \gamma}{M_{\alpha}}$ Επ...

Έστω και καθυστεριμένα ευχαριστώ για τη διόρθωση.

Από νόμο ημιτόνων για το τρίγωνο ΑΙΓ και τον ίδιο νόμο στο ΑΒΓ θα έχουμε: $\frac{AI}{\sin(\frac{\Gamma}{2})}=\frac{\beta}{sin(90+\frac{B}{2})} \Leftarow \cdots AI=4R \sin(\frac{\Gamma}{2}) \sin(\frac{B}{2})$ Επίσης είναι $\sin(\frac{A}{2})=\frac{r}{AI}$ Από τη δύναμη του σημείου Ι ως προς τον κύκλο ...

Δεν ξέρω αν απευθύνετε σε μαθητές γιαυτό κρύβω την απαντησή μου. Οι ΟΚ και ΟΛ είναι κάθετες στις αντίστοιχες διαμέτρους, άρα αν λ η ακτίνα του κύκλου κέντου Ο ισχύει: $OK^2= \lambda^2-\rho^2,\,\,\, O\Lambda^2=\lambda^2-R^2\Rightarrow OK^2-O\Lambda^2=R^2-\rho^2.$ Και αφού το τμήμα ΚΛ είναι σταθερό ο ...

Στο βιβλίο της κατεύθυνσης Γ λυκείου λέει (σελ 259) ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $x_0 \in A$, όταν υπάρχει δ θετικός ώστε: $f(x)\leq f(x_0) \forall x \in A\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)$ Με αυτό τον ορισμό σε ένα κλειστό άκρο α του πεδίου ορισμού θα παρουσιάζει...

Aν Ο το σημείο τομής των διαγωνίων από τα προηγούμενα (ΑΒΓΔ εγγράψιμο) $\hat{\phi}=A\hat{O}B =120$. Το εμβαδό οποιουδήποτε τετραπλέυρου δίνεται από τον τύπο $E=1/2A\Gamma\cdot B\Delta\cdot \sin(\phi)$. Άρα $1/2A\Gamma\cdot B\Delta\cdot \sin(120)=1$. Όποτε $A\Gamma\cdot B\Delta=4\sqrt{3}/3$ Κάνω κάπο...

Αν υψώσουμε και τις δύο στο τεράγωνο και προσθέσουμε δεν φθάνουμε στην 2συν(χ-ψ)=-1;

Σωστό, ευχαριστώ

Είναι για x=1 $f^3(1)+f(1)+1=1\Rightarrow f(1)(f^2(1)+1)=0\Rightarrow f(1)=0$. ΄Ομοια f(-1)=0, άρα δεν αντιστρέφεται. Επίσης $f(x)(f^2(x)+1)=x^2-1\Rightarrow |f(x)||f^2(x)+1|=|x^2-1|\Rightarrow |f(x)|\leq|x^2-1| afoy (f^2(x)+1 \geq 1)$. Άρα $|1-x^2|\leq f(x)|\leq |x^2-1| \cdots (kritirio parebolis) ...

Το τριγ. AXB είναι ισοσκ. με XB=CB=AB και $X\hat{B}A =30 \degree$. Άρα :$X\hat{A}B=75 \degree \Rightarrow X\hat{A}D=15 \degree$ . Και όμοια: $Y\hat{A}B =15\degree \Rightarrow Q\hat{A}P=60\degree$. To QPA όμως είναι ισοσκελές αφου τα τρίγωνα ΑΡΒ και ADQ είναι ίσα , άρα το QPA ισόπλευρο. Το ορθογώνιο ...

Είναι τουλάχιστον λυπερό το ότι δημοσιεύθηκε τέτοιο κείμενο. Το παιδί μου θα συμμετάσχει στον διαγωνισμό και φυσικά θα ήμουν πολύ χαρούμενος αν καταφέρι κάτι. Όσο για τον Κ. Λάμπρου, τον έχω παρακουλουθήσει (λίγο) και θα είχαμε πολλά να μάθουμε από αυτόν και για τα μαθηματικά, αλλά και για την διαδκ...