Nα αποδειχθεί ότι η ισότητα είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

Aς δούμε την άσκηση 2... Μία προφανής τιμή για το $a$ είναι το $0.$ Αυτό συμβαίνει όταν $x=-y.$ H παρακάτω διαπραγμάτευση γίνεται με τη συνθήκη ότι $a\neq 0.$ $ x+y=a\Rightarrow \left( x+y \right)^{3}=a^{3}\Rightarrow x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=a^{3}\Rightarrow $ $x^{3}+y^{3}+3xy\left( x+y \right)...

Ας δούμε το πρώτο θέμα... Η πρώτη τιμή του $a$ που μπορεί εύκολα να δει κάποιος είναι το $0.$ Αυτό συμβαίνει όταν $x=y=0.$ H παρακάτω διαπραγμάτευση γίνεται με την συνθήκη ότι $a\neq 0.$ $x^{3}+y^{3}=a\Rightarrow \left( x+y \right)\left( x^{2}-xy+y^{2} \right)=a\Rightarrow a\left( x^{2}-xy+y^{2} \r...

Aς δούμε λίγες σκέψεις πάνω στην άσκηση 67. Τα όσα ακολουθούν λαμβάνουν υπόψιν ότι οι $b,d$ είναι διάφοροι του μηδενός. Ισχύει ότι $c+d=3a, cd=2b$ και $a+b=3c, ab=2d.$ Συνεπώς $cd\cdot ab=2b\cdot 2d\Rightarrow ac=4$ Φυσικά ισχύει ότι $\left( a+b \right)\left( c+d \right)=9ac$ και έτσι $\left( a+b \r...

Aξιοπρόσεκτο είναι το γεγονός ότι εδώ και πολλά χρόνια δεν διδάσκεται στην Γ' Γυμνασίου η αναγκαία ύλη για να λύσει κάποιος το πρώτο θέμα για το Γενικό Λύκειο και τα θέματα 3 και 4 για το Τεχνικό-Επαγγελματικό. Η ύλη είναι τυπωμένη στο τρέχον σχολικό βιβλίο, δεν διδάσκεται όμως...

Τα θέματα είναι απλά. Δεν ήταν δύσκολες εξετάσεις.
Οι εισαγωγικές αυτές εξετάσεις περιλάμβαναν και άλλα μαθήματα.
Δεν είχαν στόχο να κόψουν παιδιά από το Λύκειο.
Οι εξετάσεις αυτές έγιναν για τελευταία φορά το 1981.
Έκτοτε οποίος έχει απολυτήριο Γυμνασίου μπορεί να γραφτεί στο Λύκειο.

Η δημοσίευση αυτή γίνεται κατόπιν κάποιας έρευνας στην οποία βοήθησαν οι Κώστας Δόρτσιος και Νίκος Μαυρογιάννης. Το 1980 και το 1981 οι εισαγωγικές εξετάσεις για τους δύο τύπους λυκείων έγιναν σε μορφή πανελληνίων εξετάσεων. Βρήκα τα θέματα του 1980 στο Δελτίο του Πάλλα εκείνης της χρονιάς. Αυτό ήτ...

$ \displaystyle EM=BM-BE=\frac{a}{2}-\frac{ac}{b+c}=\frac{a}{2}-\frac{ac}{2a}=\frac{a}{2}-\frac{c}{2}=\frac{a-c}{2}=\frac{2}{2}=1$ Για το δεύτερο σκέλος θυμάμαι ότι $\displaystyle AE^{2}=bc\left[ 1-\frac{a^{2}}{\left( b+c \right)^{2}} \right]$ Συνεπώς $ \displaystyle AE^{2}=bc\left[ 1-\frac{a^{2}}{\...

Εδώ δεν έχουμε κάποια πρωτότυπη παραλλαγή. Επίσης δεν είδα ο κύριος Κυριαζής να δημοσιεύει κάποια πρωτότυπη απόδειξη της πρότασης που πρότεινε. Δεν έχω να γράψω κάτι άλλο...

Καλημέρα.
Ένα συμπέρασμα της συζήτησης είναι ότι η πρόταση που πρότεινε ο κύριος Κυριαζής δεν είναι πρωτοεμφανιζόμενη.
Αξιόλογη ναι, πρωτοεμφανιζόμενη όχι.

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑

Τρί Νοέμ 04, 2025 5:46 pm

Δική μας απόδειξη θα δοθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Kύριε Κυριαζή
Περιμένουμε τη δική σας λύση στην πρόταση που προτείνατε.
Μέχρι τότε υπάρχει η απόδειξη του κυρίου Λάμπρου.

Ένα δημοσίευμα του BBC για το πώς η γεωμετρία βοηθά στην πιο αποτελεσματική χρήση καμερών ασφαλείας https://www.bbc.com/future/article/20251030-louvre-robbery-the-50-year-old-maths-problem-that-can-boost-museum-security https://www.naftemporiki.gr/kosmos/2027184/tha-mporoyse-ena-mathimatiko-provlima...

Δύο κύκλοι $\left( K,R \right)$ και $\left( L,r \right)$ εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $O.$ Aν $PS$ είναι η κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους, να βρεθεί το εμβαδόν του μεικτογράμμου τριγώνου $OPS$ συναρτήσει των $R,r.$ Kαθώς επεξεργαζόμουν ένα άλλο πρόβλημα, προέκυψε το παραπάνω... Θέλω το εμβαδόν ν...

Νομίζω ότι πρόκειται για το πρώτο θέμα της παρακάτω δημοσίευσης
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 34&t=41454
Υπάρχει και η λύση.

Αν ζητηθεί η απόδειξη της ισότητας $\displaystyle sin^{2}\frac{A}{2}+sin^{2}\frac{B}{2}+sin^{2}\frac{C}{2}+2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=1$ , είμαι πρόθυμος να τη γράψω. Aν και δεν μου ζητήθηκε η απόδειξη της ισότητας, θα τη γράψω για λόγους πληρότητας της λύσης μου. Σε τρίγωνο $ABC$ ...

Kώστα, σε ευχαριστώ πολύ για ό,τι έκανες για να αναδειχθεί αυτό το θέμα. Σε ευχαριστώ όχι μόνο για τον κόπο και το χρόνο που διέθεσες, αλλά για τη συνολική σου στάση απέναντι στα θέματα Στερεομετρίας που προτείνω ή λύνω. Όταν είδα τη λύση στο Δελτίο του Πάλλα 1976, διαπίστωσα ότι το σχήμα που υπάρχε...

Θα δώσω τη λύση που ήρθε στο μυαλό μου μόλις είδα το θέμα. Στην παρακάτω δημοσίευση αποδείχθηκε ότι $\displaystyle R_{1}=2Rsin\frac{A}{2}, R_{2}=2Rsin\frac{B}{2} ,R_{3}=2Rsin\frac{C}{2}$ https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=112&t=39230 Aυτό απλοποιεί πολύ την κατάσταση... Αν αντικαταστήσουμ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Δευ Οκτ 13, 2025 11:10 pm

Τηλέμαχε,

το θέμα του Ε.Μ.Π που αναφέρεσαι δεν είναι το ίδιο με το ερώτημα του Σταύρου, αλλά είναι παραλλαγή του. Η διαφορά είναι ότι το ένα θέτει ενώ το άλλο .

Eδώ πρέπει να απολογηθώ για τη βιασύνη με την οποία είδα το θέμα.

Πρόκειται για πολύ όμορφο θέμα.
Εξετάστηκε στο mathematica ως προέκταση του τρίτου θέματος των εισαγωγικών εξετάσεων Άλγεβρας των Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π. του 1959.
Η δημοσίευση στον παρακάτω σύνδεσμο
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 34&t=41527

Καλό είναι να υπάρχουν...