Εξεταστές: Οικονομίδης - Λαδόπουλος 3. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$. Εαν $\displaystyle{M}$ τυχαίο σημείο του χώρου, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$, να δειχθεί οτι με πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{MA,MB,M\Gamma}$ είναι δυνα...

Θα ήθελα πλήρη λύση...
Μας παρακολουθούν παιδιά και αναμένουν να
είμαστε σαφείς στις διατυπώσεις μας.

Δίνονται τέσσερα σημεία $A,B,C,D$ στο χώρο. Να αποδειχθεί ότι $\left | \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {BC}\right |^{2}+ \left | \overrightarrow {OB} \times \overrightarrow {AC}\right |^{2}+ \left | \overrightarrow {OC} \times \overrightarrow {AB}\right |^{2}=$ $\left | \overrightarrow {...

Για μια ακόμη φορά οφείλω ευχαριστίες στους Γιώργο Βισβίκη και Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις σκέψεις τους... Ας δούμε στο πώς κατέληξα στην ανισότητα αυτή. Βρήκα ότι $\displaystyle {R^2} = \frac{1}{8}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).$ Θυμήθηκα τη γνωστή ανισότητα Weitzenböck $a^{2}+b^{2}+c^{2...

Σε ισοεδρικό τετράεδρο αποδείξτε ότι



όπου η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του τετραέδρου

και το εμβαδόν των ίσων τριγωνικών εδρών του.

Kαι οι δύο υπολογισμοί του Γιώργου είναι πολύτιμοι και χρήσιμοι, τον ευχαριστώ για αυτούς.
Να ευχαριστήσω και τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τα όσα έγραψε.
Νομίζω ότι οι παραπάνω υπολογισμοί είναι προαπαιτούμενοι για άλλα , πιο σύνθετα θέματα.

Το παρακάτω ίσως φανεί χρήσιμο σε άλλα θέματα...

Να υπολογιστούν τα μήκη των διαμέσων τετραέδρου συναρτήσει των μηκών των ακμών του.

Να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τη λύση που έδωσε, αναδεικνύοντας ταυτόχρονα το Θεώρημα του Πτολεμαίου για τα τετράεδρα. Ευχαριστώ επίσης το Γιώργο Βισβίκη για την αναφορά του θέματος στο σύγγραμμα του Πάλλα. Τελικά τη δεκαετία του 1970 υπήρχαν πολύ υψηλής στάθμης βιβλία στη Γεωμετρία σ...

Το παρακάτω θέμα τέθηκε στον τρίτο γύρο της 27ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας την περίοδο 1975-1976.
Πρόκειται για το τρίτο θέμα της πρώτης μέρας.

Αποδείξτε ότι για κάθε τετράεδρο , τα τρία γινόμενα των ζευγών των απέναντι εδρών
είναι μήκη πλευρών τριγώνου.

Γιώργο, σε ευχαριστώ για τη λύση...

Σας προτείνω το θέμα J651 από τους Mathematical Reflections τεύχος 1 του 2024. Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu. H ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να το προτείνω. Έστω $ABCD$ τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο τέτοιο ώστε $\left ( AB-BC+CD+DA \right ) \cdot \left ( BC+CD+DA-AB \ri...

Eπειδή πίσω από τους ορισμούς, τα θεωρήματα και τις ιδιότητες υπάρχουν άνθρωποι, μια μικρή αναφορά σε αυτόν που πρωτομελέτησε και δημοσίευσε για το ορθοκεντρικό τετράεδρο. Πρόκειται για τον Simon Lhuilier. Ο άνθρωπος αυτός προτίμησε να ασχοληθεί με τα μαθηματικά από νεαρή ηλικία, μολονότι κάποιος σ...

Nα ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τη λύση του. Επίσης πρέπει να τον ευχαριστήσω γιατί με προσωπικό μήνυμα μου επισήμανε την παράλειψη της λέξης '' απέναντι '' στη διατύπωση του θέματος, ήμουν απρόσεκτος... Θέλω να γράψω τις δικές μου σκέψεις για το θέμα. Αυτό το σημείο που ο Αλέξανδρος ο...

Nα ευχαριστήσω το Γιώργο Βισβίκη για τη λύση του. Το θέμα αυτό προέκυψε ψάχνοντας. Ας δούμε το πώς κατέληξα στον τύπο που βρήκε ο Γιώργος. Έστω ότι $EZ$ η κοινή κάθετος των $BC,AD$ με το $E$ να ανήκει στη $BC$ και το $Z$ στην $AD.$ H $AD$ είναι ορθογώνια στην $EZ$ και στην $BC,$ σε δυο τεμνόμενες ε...

Ανεξάρτητα από ποιον ορισμό επιλέγει κάποιος, ο Αλέξανδρος μας έδωσε αρκετό υλικό για ψάξιμο.
Εγώ τουλάχιστον το εκτιμώ αυτό.

To παρακάτω θέμα δόθηκε στην 3η Ιταλική Μαθηματική Ολυμπιάδα του 1987 που έγινε στο Viareggio της όμορφης Τοσκάνης. Σε τετράεδρο τα τρία τμήματα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι ακμών είναι ίσα και επιπλέον κάθετα μεταξύ τους ανά δύο. Αποδείξτε ότι το τετράεδρο είναι κανονικό. Καλημέρα Τηλέμαχε. Μ...

To παρακάτω θέμα δόθηκε στην 3η Ιταλική Μαθηματική Ολυμπιάδα του 1987 που έγινε στο Viareggio της όμορφης Τοσκάνης.

Σε τετράεδρο τα τρία τμήματα που συνδέουν τα μέσα των απέναντι ακμών είναι ίσα και επιπλέον κάθετα μεταξύ τους ανά δύο.
Αποδείξτε ότι το τετράεδρο είναι κανονικό.

Το θέμα που προτείνω τέθηκε στον 20ο Γερμανικό Ομοσπονδιακό Μαθηματικό Διαγωνισμό του 1989-1990 στον πρώτο γύρο. Αναδεικνύει ένα χαρακτηριστικό σημείο του τετραέδρου. Έστω ότι δύο οποιεσδήποτε απέναντι ακμές ενός τετραέδρου είναι ορθογώνιες. Δείξτε ότι τα μέσα των έξη ακμών βρίσκονται πάνω σε σφαίρα.