Πρόβλημα 4. Τα σημεία $A$,$B$, $C$, $D$ και $E$ βρίσκονται κατά τη φορά του ρολογιού πάνω σε κύκλο $\tau$ , ώστε η $AB$ να είναι παράλληλη στη $CE$ και $\measuredangle ABC > 90^{\circ}$. Έστω $k$ κύκλος εφαπτόμενος στις $AD$, $CE$ και τον $\tau$ ώστε το σημείο επαφής των $k$ και $\tau$ να βρίσκεται...

Αναρτώ τα θέματα του διαγωνισμού τώρα που ολοκληρώθηκε για όλες τις χώρες. Καλά αποτελέσματα στους διαγωνιζόμενους! Πρόβλημα 1. 'Εστω $n\geq3$ θετικός ακέραιος. Η Αλίκη και ο Βασίλης παίζουν ένα παιχνίδι χρωματισμού των κορυφών ενός κανονικού $n$-γωνου. Οι $2$ παίκτες παίζουν εναλλάξ με την Αλίκη να...

Εγώ σας ευχαριστώ και χαίρομαι που τη βρήκατε ενδιαφέρουσα! Είμαι μαθητής και η γνώμη σας με τιμά! Να είστε καλά.

Μία εναλλακτική απόδειξη ότι η $EM$ εφάπτεται σε σταθερό κύκλο που βασίζεται στις 2 προηγούμενες. Θεωρούμε έλλειψη με εστίες τα $A$, $E$ που διέρχεται από το $C$. Έστω $A'\equiv EM\cap AB$ . Ισχύει $\angle ACE = 90^{\circ}$ και $\angle ACB = 45^{\circ}$ άρα από ανακλαστική ιδιότητα η $OC$ εφάπτεται ...

Έστω $A' \equiv IE\cap (ABC)$ και $R$ η τομή της $AH$ με την εκ του $I$ παράλληλη στη $BC$ . Ισχύει $\angle IA'A = \angle EA'A = \angle AHC =\angle ARI = 90 ^{\circ}$. Άρα τα σημεία $A$, $A'$, $R$, $I$ είναι ομοκυκλικά. Αν η $AI$ τέμνει τον $(ABC)$ στο $M$, τότε $\angle EAM = \angle EA'M = \angle IA...

Καλησπέρα σας! Έστω $C'$ το συμμετρικό του $C$ ως προς το $M$. Τότε το $C'ACB$ παραλληλόγραμμο. Άρα $\angle EBA = \angle ECB = \angle EC'A$. Άρα $AECB'$ εγγράψιμο. Ισχύει $\angle C'BA = \angle BAC = 90^{\circ}$. Άρα $AC$' διάμετρος του $(ABE)$ και $\angle C'AD = \angle ADC = 90^{\circ}$, άρα η $AD$ ...

Μερικές ιδέες για εναλλακτική απόδειξη Αν ορίσουμε το $E$ ως την τομή της εκ του $A'$ παράλληλη στην $AC$ με την $AB$ και αντίστοιχα το $Z$ και έστω $S$ η τομή της $EZ$ με την $BC$ το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με το να αποδείξουμε ότι η $A'S$ εφάπτεται του $(ABC)$ Έστω ότι οι ευθείες $AB$ και $AC$ ...

Από δύναμη του $G$ ως προς τους περίκυκλους ισχύει: $GP'=\frac{GM\cdot GP}{GA} GN'=\frac{GN\cdot GP}{GA} GM'=\frac{GN\cdot GM}{GA} $ Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι: $ GM\cdot GP = GN\cdot GP + GN\cdot GM \Rightarrow GM\cdot GP = GN(GP+GM) \Rightarrow GN = \frac{GM\cdot GP}{GP + GM} \Rightarrow \frac{1}...

Καλησπέρα σας. Μία λύση Από θεώρημα νότιου πόλου το $K$ ανήκει στον $(ABD)$ Άρα $\angle AKD = 180^{\circ} - \angle B$. Έτσι $\angle LKD = 90^{\circ} - \frac{\angle B}{2} = \angle LKC'$ με $C'\equiv CI \cap DK$ . Όμως $\angle C'IA = \angle CIA = 90^{\circ} + \frac{\angle B}{2}$ , άρα $M$, $K$, $I$, $...

Στο παρακάτω σχήμα αναπαρίστατο ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ με $\mathrm{AB} = \mathrm{A} \Gamma$ και $\hat{\mathrm{A}} = 20^\circ$. Στη πλευρά $\mathrm{A} \Gamma$ παίρνουμε τμήμα $\mathrm{A} \Delta = \mathrm{B} \Gamma$. Να δειχθεί ότι $\widehat{\mathrm{AB} \Delta} = 10^\circ$. Στρέφουμε ...

Καλησπέρα σας! Για το 1ο ερώτημα: Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΔΕΓΗ είναι εγγράψιμο αφού $\angle HDC = \angle HEC$ Παρόμοια το ΔΘΒΖ εγγράψιμο Ισχύει $\angle ECA = \angle EAC = \angle HBC$ Άρα το $H$ ανήκει στον περίκυκλο του ΑΒΓ, παρόμοια και το $\Theta$. Άρα $\angle DEH = \angle \theta CE = \a...

Καλησπέρα σας και συγγνώμη για την καθυστέρηση, δεν είχα πρόσβαση στον υπολογιστή μου τις προηγούμενες μέρες. Στην πραγματικότητα θα αποδείξουμε το λήμμα του giannimani δηλαδή: Έστω ότι οι ηµιευθείες $BE$ και $BF$ είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της γωνίας $\angle KBL$. Οι ευθείες $KF$ και $EL$ ...

Καλησπέρα σας! Μία προσέγγιση Έστω $M$ το μέσο της $EF$. Ισχύει $AF = AE$ (ως εφαπτόμενα τμήματα) άρα το τρίγωνο $AFE$ είναι ισοσκελές. Άρα η διάμεσος $AM$ είναι και ύψος. Άρα $\angle AMP = 90 ^{\circ}$ Έτσι αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο $AGMP$ είναι εγγράψιμο. Το τετράπλευρο $GFDE$ είναι ...

Καλησπέρα σας! Μία ακόμη προσέγγιση: Αρχικά παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο $PITB$ είναι ρόμβος εφόσον $PI \parallel AB$, $PB \parallel IT$ και η BI διχοτομεί την γωνία $\angle B = 60^{\circ}$. Επομένως ισχύει $AP_{1} = BP = BT = T_{1}C = PI = IT$. Άρα τα τετράπλευρα $P_{1}AIT$ και $PIT_{1}C$ είναι π...

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ φέρουμε τα ύψη $AH_{1}$,$ BH_{2}$ και $CH_{3}$. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABC$ εφάπτεται στις πλευρές $BC$, $AC$ και $AB$ στα σημεία $T_{1}$, $T_{2}$ και $T_{3}$ αντίστοιχα. Έστω $l_{1}$, $l_{2}$, $l_{3}$ οι συμμετρικές των $H_{2}H_{3}$, $H_{3}H_{1}$, $H_{1}H_{2}...

Καλησπέρα και χρόνια πολλά! Μία αντιμετώπιση: Κατασκευάζουμε τετράγωνα με πλευρά όσο τα ύψη που άγονται από τα ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα $ABC$ και $BDE$ Τα τρίγωνα $BIQ$ και $BRJ$ είναι ίσα (ΠΓΠ) εφόσον έχουν $\angle IBQ = \angle RBJ = 90^{\circ} + \angle RBQ$ , $BR = BI $ και $BJ = BQ$ Το τετράπλε...

Έστω τρίγωνο , το βαρύκεντρό του και ένα σημείο του επιπέδου . Να βρεθεί η θέση του έτσι ώστε το άθροισμα να γίνεται ελάχιστο και να εκφραστεί η ελάχιστη τιμή του ως προς τις πλευρές του τριγώνου.

Έστω $ABCD$ παραλληλόγραμμο και ένα σημείο $T$ στο εσωτερικό του ώστε $TA+TC=TB+TD$. Έστω ένα ακόμη σημείο $S$ στο εσωτερικό του ώστε $<SAT=<ATD/2$ και $<SBT=<BTC/2$. Να αποδειχθεί ότι το $S$ βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της $<ATB$. Μία προσέγγιση με την υπόδειξη που δόθηκε: Θεωρούμε στο ημιεπίπεδο ...

Καλησπέρα σας! Μία προσέγγιση Από το θεώρημα $Desargues$ για τα τρίγωνα $ABC$ και $A_{1}B_{1}C_{1}$ εφόσον οι ευθείες $AA_{1}$, $BB_{1}$ και $CC_{1}$ συντρέχουν λαμβάνουμε ότι τα σημεία $A_{2}$, $B_{2}$ και $C_{2}$ είναι συνευθειακά. Τα σημεία $A'$, $B'$ και $C'$ είναι τα μέσα των διαγωνίων του πλήρ...