Καλημέρα σας NickMath, ευχαριστώ για τον χρόνο σας.


Μερικές παρατηρήσεις. Διαγωνισμός που παίρνει 15-20 συμμετέχοντες από μια μόνο χώρα μάλλον εκ φύσεως δεν μπορεί να γεννά απαιτήσεις στους διαγωνιζόμενους. Θα σας πρότεινα απλά να χαίρεστε την εμπειρία, εφόσον υπήρξε χρηματοδότηση.

Όσο για ...

Υπάρχουν κάπου οι λύσεις για αυτήν την χρονιά γιατί προσπαθώ να την λύσω και δεν μπορώ και ούτε μπορώ να βρω τις λύσεις για να μάθω. Αν μπορεί κάποιος να αναρτήσει τις λύσεις για τα 1,3,4 σας ευχαριστώ

Έχει εδώ κάποιες λύσεις. Τα 1 και 4 ήταν από shortlist IMO και BMO του 2021 αντίστοιχα.
https ...

(Το κείμενο που ακολουθεί είναι αρκετά μεγάλο σε έκταση, ζητώ συγγνώμη εκ των προτέρων για τον πονοκέφαλο που θα σας προκαλέσω, ελπίζω όμως να μπορεί να δικαιολογηθεί)

Φέτος από 4 μέχρι και 9 Μαρτίου στην Κορυτσά της Αλβανίας, διεξήχθη για άλλη μία φορά ο διαγωνισμός SEEMOUS. Απογοητευτήκαμε οικτρά ...

Μία λύση για το 1.
Ο $A^2$ έχει θετικές εγγραφές (άμεσο με απλό πολλαπλασιασμό πινάκων), έστω $A^2=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}.$
Είναι $A^2u=A(Au)=Av=u$ και όμοια $A^2v=v.$
Άρα $A^2(u-tv)=u-tv\ (1)$ για κάθε $t\in \mathbb R$.
Επιλέγουμε $t=\min\{ \dfrac{u_i}{v_i}, \ i \in \{1,2,...,n\}\},$ όπου $ u_i ...

Να σημειωθεί ότι το ΕΜΠ κατέκτησε 8 μετάλλια με 9 συμμετοχές:

Ιωάννης Μαυρίκος: Χρυσό Μετάλλιο (Perfect score 40/40)
Γεώργιος Βάος: Αργυρό Μετάλλιο (26/40)
Παναγιώτης Κωνσταντόπουλος: Αργυρό Μετάλλιο (19/40)
Κωνσταντίνος Κολοκυθάς: Χάλκινο Μετάλλιο (15/40)
Χαράλαμπος Ρεπούσης: Χάλκινο Μετάλλιο (13 ...

Έκτορας έγραψε: Παρ Απρ 12, 2024 12:25 am Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά.

Γνωρίζεται αν θα αναρτηθούν τα θέματα;

Όχι ακόμα καθώς τα περισσότερα ήταν από shortlist.

Από την ανισότητα (η οποία πράγματι ισχύει και για μη θετικούς), για και έχουμε:

Επιλέγουμε $2023$ πρώτους μεγαλύτρους του $3$ με $2p_i<p_{i+1}$ και $a_i=2^{2024-i}p_i$, για κάθε $i=1,2,...2021$,$a_{2022}=3\cdot 2^2 \cdot p_{2022},a_{2023}=3^2\cdot p_{2023}$
Τότε, πράγματι $a_i<a_{i+1}\Leftrightarrow 2^{2024-i}p_i<2^{2023-i}p_{i+1}\Leftrightarrow 2p_i<p_{i+1},$ και με τον ίδιο ...

Το εμβαδόν $E$ τριγώνου $ABC$ με διαμέσους $m_a, m_b, m_c$ δίνεται από τον τύπο

$E=\dfrac{\sqrt{m_a^4+m_b^4+m_c^4}}{3}.$ Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Η αντικατάσταση $m_a=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ κυκλικά θα δώσει μετά από πράξεις στην παραπάνω σχέση
$E=\dfrac{\sqrt{a^4+b^4+c^4 ...

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:


$\displaystyle{\frac{16}{27} \left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right )^3 + \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \geq \frac{5}{2}}$


Κατ' αρχάς από την ανισότητα ...

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένα δυο αθροίσματα

$1+22+333+4444+55555+666666+7777777+88888888+999999999$

$9+98+987+9876+98765+987654+9876543+98765432+987654321$

Προσδιορίστε ποιο από τα δυο είναι μεγαλύτερο (ή αν είναι ίσα); ( [4 μόρια] Γκ. Α. Γκαλπερίν)

Έχουμε $A=1+22+333+4444+55555 ...

Πρόβλημα 1: Δίνεται μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $m, n$, τέτοιοι ώστε
$\displaystyle f(m) = f(6m-1) $ και $\displaystyle f(n) = f(3-15n ...

Πρόβλημα 2 - Γ' Λυκείου
Θέτουμε $\dfrac{1}{x}=a,-\dfrac{3}{y}=b,-\dfrac{1}{z}=c$
Άρα οι δύο σχέσεις γράφονται:
$a+b+c=1$
$-ab-bc-ca=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{1}{3}$
Όμως $(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=1^2-3\cdot \dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-3(ab+bc+ca)=0 ...

Πρόβλημα 1 - Α' Λυκείου
1ος τρόπος
Η αρχική γράφεται:
$(5x^2-10x+5)+(3y^2-12y+12)+(20x^2-20xy+5y^2)=0$
$\Leftrightarrow 5(x^2-2x+1)+3(y^2-4y+4)+5(4x^2-4xy+y^2)=0$
$\Leftrightarrow 5(x-1)^2+3(y-2)^2+5(2x-y)^2=0$
Άρα πρέπει $x-1=0,y-2=0$ και $2x-y=0$ δηλαδή $(x,y)=(1,2)$.

2ος τρόπος
$25x^2-(20y+10)x ...

Πρόβλημα 1 - Γ' Λυκείου
Αξιοποιώντας τη δοθείσα σχέση (για $n$ και $n-1$) έχουμε:
$f(1)+f(2)+...+f(n)=2n^2$
$f(1)+f(2)+...+f(n-1)=2(n-1)^2=2n^2-4n+2$
Αφαιρούμε κατά μέλη και παίρνουμε $f(n)=4n-2$ για κάθε $n\in \mathbb{N}^*$.
Άρα $f(n+1)=4(n+1)-2=4n+2$
Επομένως:
$f(n)f(n+1)\leq 2300 ...

Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11
Σύντομα ήρθε και μια διορθωση
Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση:
¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ"

Πρόβλημα ...

Πρόβλημα 1 - Γ' Λυκείου
Είναι $f(x)=\dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}$
Προφανώς $f(x)\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει για $x=0$.
Για το μέγιστο θα δείξουμε ότι $f(x)\leq \dfrac{9}{8}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}\leq \dfrac{9}{8}$
$\Leftrightarrow 9(1+x^2)^2\geq 8(3x^2+x^4 ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
Έχουμε $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2ab$
Επομένως $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(4-2ab)^2-2a^2b^2=2a^2b^2-16ab+16$
Ακόμη $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=8-6ab$
Άρα $A=8(a^3+b^3)-3(a^4+b^4)=8(8-6ab)-3(2a^2b^2-16ab+16)=-6a^2b^2+16$
Όμως $0\leq ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}=1$
$\Leftrightarrow 0 ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 - Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέτοντας $a=\sqrt{x-1}$ και $b=\sqrt{y-1}$ η αρχική σχέση γράφεται:
$2a^2b^2-2a^2b-2ab^2+a^2+b^2\leq 0$
$\Leftrightarrow (a^2b^2-2a^2b+a^2)+(a^2b^2-2ab^2+b^2)\leq 0$
$\Leftrightarrow a^2(b-1)^2+(a-1)^2b^2\leq 0$
$\Leftrightarrow a(b-1)=0$ και $b(a-1)=0$
$\Leftrightarrow (a,b ...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
$f(6n+7)=6f(n)+7\ (1)$
$f(7n-1)=7f(n)-1\ (2)$
Εξισώνοντας τα πρώτα μέλη, δηλαδή για $n=8$ παίρνουμε:
$f(55)=6f(8)+7$
$f(55)=7f(8)-1$
Αφαιρώντας τις 2 παραπάνω σχέσεις κατά μέλη, βρίσκουμε ότι $f(8)=8$ και με αντικατάσταση έχουμε ότι $f(55)=55\ (3)$.
Για $n=55$ η $(1)$ δίνει ...