Όχι ακόμα καθώς τα περισσότερα ήταν από shortlist.
Η αναζήτηση βρήκε 204 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Παρ Απρ 12, 2024 1:05 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Προκριματικός 2024
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1652
- Τρί Μάιος 16, 2023 8:17 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: S620 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 423
Re: S620 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Από την ανισότητα (η οποία πράγματι ισχύει και για μη θετικούς), για και έχουμε:
- Δευ Μαρ 27, 2023 10:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Περίεργη κατασκευή!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 666
Re: Περίεργη κατασκευή!
Επιλέγουμε $2023$ πρώτους μεγαλύτρους του $3$ με $2p_i<p_{i+1}$ και $a_i=2^{2024-i}p_i$, για κάθε $i=1,2,...2021$,$a_{2022}=3\cdot 2^2 \cdot p_{2022},a_{2023}=3^2\cdot p_{2023}$ Τότε, πράγματι $a_i<a_{i+1}\Leftrightarrow 2^{2024-i}p_i<2^{2023-i}p_{i+1}\Leftrightarrow 2p_i<p_{i+1},$ και με τον ίδιο τ...
- Κυρ Μαρ 26, 2023 5:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Κριτήριο ισοπλεύρου
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 295
Re: Κριτήριο ισοπλεύρου
Το εμβαδόν $E$ τριγώνου $ABC$ με διαμέσους $m_a, m_b, m_c$ δίνεται από τον τύπο $E=\dfrac{\sqrt{m_a^4+m_b^4+m_c^4}}{3}.$ Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Η αντικατάσταση $m_a=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ κυκλικά θα δώσει μετά από πράξεις στην παραπάνω σχέση $E=\dfrac{\sqrt{a^4+b^4+c^4}}{4}$....
- Τετ Μαρ 22, 2023 2:55 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 679
Re: Ανισότητα
Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\frac{16}{27} \left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right )^3 + \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \geq \frac{5}{2}}$ Κατ' αρχάς από την ανισότητα Nesbitt: $\dfr...
- Δευ Φεβ 27, 2023 11:13 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (6η τάξη)
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 821
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (6η τάξη)
Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένα δυο αθροίσματα $1+22+333+4444+55555+666666+7777777+88888888+999999999$ $9+98+987+9876+98765+987654+9876543+98765432+987654321$ Προσδιορίστε ποιο από τα δυο είναι μεγαλύτερο (ή αν είναι ίσα); ( [4 μόρια] Γκ. Α. Γκαλπερίν) Έχουμε $A=1+22+333+4444+55555+666666+77...
- Πέμ Φεβ 23, 2023 6:28 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 734
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Πρόβλημα 1: Δίνεται μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $m, n$, τέτοιοι ώστε $\displaystyle f(m) = f(6m-1) $ και $\displaystyle f(n) = f(3-15n)$...
- Τρί Νοέμ 15, 2022 10:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2022
- Απαντήσεις: 112
- Προβολές: 19659
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Πρόβλημα 2 - Γ' Λυκείου Θέτουμε $\dfrac{1}{x}=a,-\dfrac{3}{y}=b,-\dfrac{1}{z}=c$ Άρα οι δύο σχέσεις γράφονται: $a+b+c=1$ $-ab-bc-ca=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{1}{3}$ Όμως $(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=1^2-3\cdot \dfrac{1}{3}$ $\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-3(ab+bc+ca)=0$ $\Lef...
- Τρί Νοέμ 15, 2022 10:03 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2022
- Απαντήσεις: 112
- Προβολές: 19659
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Πρόβλημα 1 - Α' Λυκείου 1ος τρόπος Η αρχική γράφεται: $(5x^2-10x+5)+(3y^2-12y+12)+(20x^2-20xy+5y^2)=0$ $\Leftrightarrow 5(x^2-2x+1)+3(y^2-4y+4)+5(4x^2-4xy+y^2)=0$ $\Leftrightarrow 5(x-1)^2+3(y-2)^2+5(2x-y)^2=0$ Άρα πρέπει $x-1=0,y-2=0$ και $2x-y=0$ δηλαδή $(x,y)=(1,2)$. 2ος τρόπος $25x^2-(20y+10)x+8...
- Τρί Νοέμ 15, 2022 9:40 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2022
- Απαντήσεις: 112
- Προβολές: 19659
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Πρόβλημα 1 - Γ' Λυκείου Αξιοποιώντας τη δοθείσα σχέση (για $n$ και $n-1$) έχουμε: $f(1)+f(2)+...+f(n)=2n^2$ $f(1)+f(2)+...+f(n-1)=2(n-1)^2=2n^2-4n+2$ Αφαιρούμε κατά μέλη και παίρνουμε $f(n)=4n-2$ για κάθε $n\in \mathbb{N}^*$. Άρα $f(n+1)=4(n+1)-2=4n+2$ Επομένως: $f(n)f(n+1)\leq 2300$ $\Leftrightarro...
- Τρί Νοέμ 15, 2022 9:28 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2022
- Απαντήσεις: 112
- Προβολές: 19659
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11 Σύντομα ήρθε και μια διορθωση Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση: ¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ" Πρόβλημα 1 -...
- Κυρ Νοέμ 13, 2022 9:28 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1133
Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)
Πρόβλημα 1 - Γ' Λυκείου Είναι $f(x)=\dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}$ Προφανώς $f(x)\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει για $x=0$. Για το μέγιστο θα δείξουμε ότι $f(x)\leq \dfrac{9}{8}$ $\Leftrightarrow \dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}\leq \dfrac{9}{8}$ $\Leftrightarrow 9(1+x^2)^2\geq 8(3x^2+x^4)$ $\Leftrightarr...
- Σάβ Νοέμ 12, 2022 9:51 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2022
- Απαντήσεις: 112
- Προβολές: 19659
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ Έχουμε $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4-2ab$ Επομένως $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(4-2ab)^2-2a^2b^2=2a^2b^2-16ab+16$ Ακόμη $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=8-6ab$ Άρα $A=8(a^3+b^3)-3(a^4+b^4)=8(8-6ab)-3(2a^2b^2-16ab+16)=-6a^2b^2+16$ Όμως $0\leq ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}=1$ $\Leftrightarrow 0...
- Σάβ Νοέμ 12, 2022 9:17 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2022
- Απαντήσεις: 112
- Προβολές: 19659
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 - Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Θέτοντας $a=\sqrt{x-1}$ και $b=\sqrt{y-1}$ η αρχική σχέση γράφεται: $2a^2b^2-2a^2b-2ab^2+a^2+b^2\leq 0$ $\Leftrightarrow (a^2b^2-2a^2b+a^2)+(a^2b^2-2ab^2+b^2)\leq 0$ $\Leftrightarrow a^2(b-1)^2+(a-1)^2b^2\leq 0$ $\Leftrightarrow a(b-1)=0$ και $b(a-1)=0$ $\Leftrightarrow (a,b)...
- Σάβ Νοέμ 12, 2022 8:42 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2022
- Απαντήσεις: 112
- Προβολές: 19659
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ $f(6n+7)=6f(n)+7\ (1)$ $f(7n-1)=7f(n)-1\ (2)$ Εξισώνοντας τα πρώτα μέλη, δηλαδή για $n=8$ παίρνουμε: $f(55)=6f(8)+7$ $f(55)=7f(8)-1$ Αφαιρώντας τις 2 παραπάνω σχέσεις κατά μέλη, βρίσκουμε ότι $f(8)=8$ και με αντικατάσταση έχουμε ότι $f(55)=55\ (3)$. Για $n=55$ η $(1)$ δίνει $...
- Τετ Σεπ 21, 2022 7:51 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Διοφαντική εξίσωση
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 673
Re: Διοφαντική εξίσωση
Να βρείτε τους ακέραιους $m,n$ για τους οποίους $\displaystyle{n^{n−1} = 4m^2+2m+3.}$ Καλημέρα σας κ. Θανάση! Αφού το 2ο μέλος είναι περιττός τότε και $n=2k+1$. Άρα: $(2k+1)^{2k}=4m^2+2m+3$ $\Leftrightarrow 4(2k+1)^{2k}=16m^2+8m+12$ $\Leftrightarrow [2(2k+1)^k]^2=(4m+1)^2+11$ $\Leftrightarrow [2(2k...
- Πέμ Σεπ 08, 2022 5:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Εξίσωση στους ακέραιους, άθροισμα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 606
Re: Εξίσωση στους ακέραιους, άθροισμα
Κάνοντας τις πράξεις στο 1ο μέλος έχουμε: $a^2c^2+b^2d^2-a^2b^2-c^2d^2=2021$ $\Leftrightarrow (a^2-d^2)(c^2-b^2)=2021$ $\Leftrightarrow (a+d)(a-d)(c-b)(c+b)=43\cdot 47$ Αφού οι $a,b,c,d$ είναι θετικοί ακέραιοι ισχύει ότι $a+d>1,b+c>1$ και καθώς $a+d|2021$ και $b+c|2021$, πρέπει $a+d=43$ και $ b+c=47...
- Πέμ Σεπ 01, 2022 8:03 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Δυνατές τιμές αθροίσματος
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 385
Re: Δυνατές τιμές αθροίσματος
Είναι: $(x+y)^2=(1-z)^2$ $(y+z)^2=(1-x)^2$ $(z+x)^2=(1-y)^2$ Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: $2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+3$ $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+2(x+y+z)-3=0$ $\Leftrightarrow (x+y+z)^2+2(x+y+z)-3=0$ $\Leftrightarrow x+y+z=1$ ή $x+y+z=-3$ (Π.χ. για $x=y=z=\dfr...
- Πέμ Ιούλ 14, 2022 3:40 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: IMO 2022
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 3562
IMO 2022
Καλησπέρα από το πανέμορφο Όσλο της Νορβηγίας, όπου πραγματοποιείται η 63η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα στις 6-16 Ιουλίου! Παραθέτω τα θέματα του διαγωνισμού: Πρόβλημα 1. Η τράπεζα του Όσλο εκδίδει δύο τύπους νομισμάτων: αλουμινίου (τύπου Α) και χαλκού (τύπου Β). Η Μαριάννα διαθέτει $n$ νομίσματα απ...
- Κυρ Ιουν 26, 2022 12:30 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ενδιαφέρουσα διαιρετότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 592
Re: Ενδιαφέρουσα διαιρετότητα
Για περιττό $k$ και φυσικό $i$ ισχύει ότι: $n | i^k+(n-i)^k\Rightarrow n | \sum_{i=0}^{n}( i^k+(n-i)^k)=2(1^k+2^k+...+n^k)$ και $n+1| i^k+(n-i+1)^k\Rightarrow n+1| \sum_{i=1}^{n}( i^k+(n-i+1)^k)=2(1^k+2^k+...+n^k)$. Αφού όμως οι $n,n+1$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, ισχύει ότι: $n(n+1) | 2(1^k+2^k+...+n...