Η αναζήτηση βρήκε 1055 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Παρ Μαρ 07, 2014 7:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: SEEMOUS 2014
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1870
Re: SEEMOUS 2014
Και μια λύση για το 4ο,: Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle \arctan(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}}, |x|\leqslant 1$, επομένως :$\displaystyle n\int_{0}^{n}{\frac{\arctan\left(\frac{x}{n} \right)}{x\left(1+x^2 \right)}}dx=\int_{0}^{n}{\left(\frac{1}{1+x^2}+\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(...
- Σάβ Δεκ 07, 2013 12:04 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ολοκλήρωμα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 545
Re: Ολοκλήρωμα
Αρχικά έχουμε: $\displaystyle \int_{0}^{1}{\ln\left(1+\frac{\ln^2 x}{4\pi^2} \right)\frac{\ln\left(1-x \right)}{x}}dx=2\pi\int_{0}^{\infty}{\ln\left(1+x^2 \right)\ln\left(1-e^{-2\pi x} \right)}dx$ $\displaystyle =-2\pi\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}\int_{0}^{\infty}{\ln\left(1+x^2 \right)e^{-2\pi kx...
- Δευ Δεκ 02, 2013 9:18 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Όριο με ολοκλήρωμα (1)
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 560
Re: Όριο με ολοκλήρωμα (1)
Έχουμε ότι $\displaystyle \left(1+x^n \right)^{1/n}-1=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\ln^k\left(1+x^n \right)}{n^k}}$ άρα από το θεώρημα Tonelli: $\displaystyle n^2\int_{0}^{1}{\left(\sqrt[n]{1+x^n} -1\right)}dx=n\int_{0}^{1}{\ln\left(1+x^n \right)}dx+\int_{0}^{1}{\ln^2\left(1+x^n \right)}dx+\sum_{k=3}^{...
- Κυρ Δεκ 01, 2013 5:07 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Γενικευμένα Ολοκληρώματα
- Απαντήσεις: 222
- Προβολές: 37689
Re: Γενικευμένα Ολοκληρώματα
66 ) Ας αποδειχθεί οτι $\boxed{\displaystyle{\int_{0}^{\infty}{[(x^n+1)^{\frac{1}{n}}-x]dx}=\frac{1}{2n}B(1-2/n, 1/n)}}$ 67 ) Ας αποδειχθεί οτι $\boxed{\displaystyle{\frac{1}{\pi}{\int_{0}^{\infty}{ln^4(\frac{x}{x^2+1})\frac{dx}{(x^2+1)^2}}}=\frac{19}{960}{\pi}^4+\frac{1}{2}{\pi}^2ln^22+4ln^42+3\ze...
- Δευ Νοέμ 25, 2013 5:48 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Πρώτα συνεχής και μετά φραγμένη
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 480
Re: Πρώτα συνεχής και μετά φραγμένη
Μια λύση με σειρές. Καταρχάς αφού η $f$ φραγμένη στο $(-1,1)$ έπεται ότι υπάρχει $M>0$ : $\displaystyle \left|f\left(x \right)-f\left(\left[x \right] \right) \right|\leq M\Rightarrow \left|f\left(x \right)-\left[x \right]f\left(1 \right) \right|\leqslant M$ από εδώ έπεται $\displaystyle \sup\left\{\...
- Σάβ Νοέμ 23, 2013 2:36 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 7.
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 732
Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 7.
Παρατηρούμε ότι ισχύει: $\displaystyle \int_{0}^{\infty}{\frac{\ln(\cos^2 x)}{e^{2x}+1}}dx=-\frac{\ln^2 2}{2}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{\frac{\ln\left(1+\cos x \right)}{e^x +1 }}dx$. Έχει αποδειχθεί οτι $\displaystyle \ln\left(1+\cos(x) \right)=\ln\left(1-\cos\left(\pi -x \right) \right)=-\ln2 -2...
- Τετ Νοέμ 13, 2013 3:39 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 9
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 493
Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 9
Θα αποδείξουμε ότι ισχύει: $\displaystyle \ln\left(1-\cos x \right)=-\ln 2 -2\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos\left(nx \right)}{n}}, 0<x<\pi, x\neq \pi/2$. Για $r<1$ έχουμε $\displaystyle \ln\left(1-re^{ix} \right)=-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^n e^{inx}}{n}}$ οπότε $\displaystyle Re\left(\ln\left(1-re^...
Re: Σειρά 3.
Ας δούμε άλλη μια λύση για την αρχική: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos\left(n\pi/3 \right)}{n^2}}=\frac{1}{9}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\left(-1 \right)^n}{n^2}}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left(-1 \right)^n}{\left(3n+1 \right)^2}}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left(-1...
- Τετ Οκτ 23, 2013 1:55 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Επέκταση ολοκληρωμάτων Fresnel.
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 613
Re: Επέκταση ολοκληρωμάτων Fresnel.
Αρχικά έχουμε : $\displaystyle \int_{0}^{\infty}{\frac{x^{-1/a}}{x^2 +1}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{-1/2-1/(2a)}}{x+1}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{x^{-1/2 -1/(2a)}e^{-x-xy}dydx}}$ $\displaystyle =_{*}\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2a} \right)\int_{0}^...
- Πέμ Οκτ 17, 2013 9:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 5
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 424
Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 5
Έστω $M>0$ τότε έχουμε $\displaystyle \int_{0}^{M}\frac{\sin(at)\cdot \sin t}{t}dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{M}{\int_{0}^{\infty}{\left(\cos \left((a-1)t \right)-\cos\left((a+1)t \right) \right)e^{-xt} dx dt}}$ και επειδή $\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{M}{\int_{0}^{\infty}{\left|\left(\cos \left((a-...
- Κυρ Οκτ 13, 2013 9:49 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
- Θέμα: Διάσταση χώρου Banach
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 736
Re: Διάσταση χώρου Banach
Συμφωνώ ότι η υπόθεση του συνεχούς κάνει τα πράγματα αρκετά εύκολα, ωστόσο όχι τετριμμένα μιας και χρειάζεται να ξέρει κανείς το θεώρημα Baire για να δείξει ότι ένας πλήρης χώρος έχει υπεραριθμίσιμη βάση Hamel.Παραθέτω ένα σύνδεσμο για την απόδειξη του α: http://user.math.uzh.ch/halbeisen/publicatio...
- Κυρ Οκτ 13, 2013 6:05 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Να αντιγράψουμε τον ...Fourier
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 824
Re: Να αντιγράψουμε τον ...Fourier
κ.Σμυρλή νομίζω πως ισχύει αυτό που λέω:Έστω $\displaystyle x=\frac{a}{b}$ τότε αν $\displaystyle \left(p,q \right)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}:\frac{p}{q}\neq \frac{a}{b}\Rightarrow \left|pb-aq \right|\geqslant 1$ άρα $\displaystyle \left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q} \right|\geqslant \frac{1}{bq}$. Α...
- Κυρ Οκτ 13, 2013 12:53 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Να αντιγράψουμε τον ...Fourier
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 824
Re: Να αντιγράψουμε τον ...Fourier
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα: Άν $\displaystyle x \in \mathbb{Q}\Rightarrow\exists c>0: \forall p,q \in \mathbb{N}$ να ισχύει $\displaystyle \left|x-\frac{p}{q} \right|\geqslant \frac{c}{q}$.Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός μας είναι ρητός ,και έστω $\displaystyle \varepsilon >0\Rightarrow \exists n...
- Σάβ Οκτ 12, 2013 2:10 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
- Θέμα: Διάσταση χώρου Banach
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 736
Re: Διάσταση χώρου Banach
Δείχνουμε αρχικά ότιο ο χώρος έχει υπεραριθμήσιμη διάσταση, πράγματι αν αρνηθούμε το ζητούμενο , έστω $\displaystyle \left\{x_{n}:n\in \mathbb{N} \right\}$ μια αριθμήσιμη βάση Hammel.Tότε ορίζοντας $\displaystyle X_{n}:=\span\left\{x_{i}, 1\leq i\leq n \right\}$, έχουμε ότι είναι κλειστοί υπόχωροι (...
- Τρί Οκτ 08, 2013 12:54 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όμορφο γενικευμένο 2.
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 603
Re: Όμορφο γενικευμένο 2.
Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει: $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\ln\left(1-e^{-2\pi x} \right)}{x^2 +1}dx=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-2k \pi x}}{x^2+1}}dx$. Θέτουμε $\displaystyle I(a):=\int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-ax}}{x^2 +1 }}dx$, τότε από τον κανόνα παραγώγισης το...
- Δευ Οκτ 07, 2013 5:21 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όμορφο γενικευμένο 4.
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 607
Re: Όμορφο γενικευμένο 4.
Πολύ όμορφο θέμα. Θέτουμε $\displaystyle a_{k}:=\int_{0}^{\pi/2}{x \cos^k x dx}$ τότε από το θεώρημα Beppo-Levi έχουμε $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}{x\ln\left(1-2\cos x \right)}dx=-\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{a_{k}}{k}}$.Επίσης έχουμε $\displaystyle a_{k}=\int_{0}^{\pi/2}{x\cos^{k-1}x \left(\sin x \...
- Τετ Οκτ 02, 2013 2:06 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όρια με ολοκληρώματα
- Απαντήσεις: 214
- Προβολές: 24963
Re: Όρια με ολοκληρώματα
$78)$ Αν $\displaystyle{J_{n} :=\int_0^{\pi}\frac {| \sin (n + 1/2)x|}{x(6 - x)}dx}$, δείξτε ότι $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac {J_{n}}{\ln n}=\frac {1}{3\pi}}$. Προφανώς έχουμε $\displaystyle \frac{J_{n}}{\ln n}\geqslant \frac{1}{6}\int_{0}^{\pi}\frac{\left|\sin\left(n+1/2 \right)x \right|}...
- Τετ Οκτ 02, 2013 12:07 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Kyiv Taras 2013 problem 4
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1023
Re: Kyiv Taras 2013 problem 4
Δείχνουμε ότι τουλάχιστον ένας από τους $A,B$ είναι αντιστρέψιμος.Πράγματι αν όχι έστω $r_{1},r_{2}$ οι τάξεις τους που είναι γνήσια μικρότερες του $n$ τότε $\displaystyle A=Q_{1}\begin{pmatrix} I_{r_{1}} & O\\ O & O \end{pmatrix}P_{1},B=Q_{2}\begin{pmatrix} I_{r_{2}} & O\\ O & O \end{pmatrix}P_{2}$...
- Τρί Σεπ 24, 2013 1:24 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Όμορφη από Ρουμανία
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 685
Re: Όμορφη από Ρουμανία
Να γράψω λίγο πιο καθαρά γιατι το όριο είναι πραγματικος αριθμός. Άν $\displaystyle x_{0}:f(x_{0})>x_{0}$ τότε $\displaystyle \left(\frac{x_{0}}{f\left(x_{0} \right)} \right)^n\rightarrow 0$ άρα από την αρχή της μεταφοράς έχουμε $\displaystyle \frac{f(x_{0})}{x_{0}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1...
- Τρί Σεπ 24, 2013 12:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Όμορφη από Ρουμανία
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 685
Re: Όμορφη από Ρουμανία
Και άλλη μια λύση που είχα στείλει χθες στον κ.Σπύρο αλλά ξέχασα να την γράψω: Aρχικά η συναρτησή μας είναι 1-1 και λόγω συνέχειας μονότονη (γνήσιως αύξουσα) και εχει όριο στο άπειρο το άπειρο άρα είναι επί και αντιστρέφεται.Μια συνάρτηση που ικανοποιεί τηνν αρχική σχέση εύκολα προκύπτει ότι ικανοπο...